controle TES n°1

TES1
DEVOIR SURVEILLE N°3 : jeudi 18 novembre 2010 (2 heures)
EXERCICE 1
( 4 points )
Pour chacune des questions, une seule réponse parmi les trois est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de
la question et la réponse choisie correspondante puis justifier cette réponse.
Chaque réponse exacte et justifiée rapportera 1 point. Une réponse fausse non justifiée enlève 0,5 point.
On donne le tableau de variation d’une fonction f définie et dérivable sur ℝ
−∞
x
−1
f (x)
+∞
3
2
0
−∞
−∞
1. L’équation f ( x)  0 admet :
A. une solution
B. deux solutions
C. trois solutions
2. On note f ' la dérivée de la fonction f. On peut affirmer que :
A.
f '(2)  f '(1)  0
B.
f '(2)  f '(5)  0
C.
f '(4)  f '(7)  0
3. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction f. Les droites T et T’ sont tangentes à la
courbe aux points d’abscisses respectives −1 et 1
2
T
T'
1
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
A. f '(1)  0
B.
f '(1)  2  f '(1)
C.
f '(1)  2  f '(1)
4. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f ' . Déterminer laquelle.
A. courbe C1
B. courbe C2
C. courbe C3
4
4
4
2
2
2
0
-4
-2
0
0
2
4
-4
-2
0
0
2
4 -4
-2
0
-2
-2
-2
-4
-4
-4
2
4
EXERCICE 2
( 4 points )
Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes dérivables sur leur ensemble de définition
1. f est définie sur ℝ par ( )
2. g est définie sur ]0 ; +∞[ par ( )
EXERCICE 3
√
( 6 points )
Soit f la fonction définie sur ℝ par ( )
.
1) On note
la dérivée de la fonction f.
a. Calculer ( ).
b. Étudier le signe de ( ).
c. Donner le tableau des variations de f.
admet une solution unique dans l'intervalle [
Donner, à l’aide de la calculatrice, un encadrement de au dixième près.
2) Montrer que l’équation ( )
EXERCICE 4
;
].
( 6 points )
Un entomologiste a fait des relevés sur la taille de 50 courtilières adultes.
33, 35, 36, 36, 37, 37, 37, 38, 38, 38, 39, 39, 39, 39, 40, 40, 40, 40, 40, 41, 41, 41, 41, 41, 41, 41, 42, 42, 42,
42, 42, 42, 43, 43, 43, 43, 44, 44, 44, 44, 45, 45, 45, 46, 46, 47, 47, 48, 48, 50.
1. Organiser les relevés dans le tableau d’effectifs suivant :
Valeur
Effectif
Effectif cumulé
croissant
33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
2. Représenter les données par un diagramme à bâtons. Un diagramme circulaire serait-il intéressant ?
3. Calculer la moyenne de la série. Déterminer sa médiane. Déterminer les premiers et troisième quartiles
puis les premier et neuvième déciles.
4. Construire le diagramme en boîte correspondant.
TES1
DEVOIR SURVEILLE N°3 : jeudi 18 novembre 2010
CORRIGE
EXERCICE 1
( 4 points )
Pour chacune des questions, une seule réponse parmi les trois est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie
correspondante puis justifier cette réponse. Chaque réponse exacte et justifiée rapportera 1 point. Une réponse fausse non justifiée enlève 0,5 point.
On donne le tableau de variation d’une fonction f définie et dérivable sur ℝ
−∞
x
−1
f (x)
+∞
3
2
0
−∞
−∞
1. L’équation f ( x)  0 admet :
A. une solution
B. deux solutions
C. trois solutions
2. On note f ' la dérivée de la fonction f. On peut affirmer que :
A. f '(2)  f '(1)  0
B. f '(2)  f '(5)  0
C. f '(4)  f '(7)  0
3. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction f. Les droites T et T’ sont tangentes à la
courbe aux points d’abscisses respectives −1 et 1
2
T
T'
1
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
A.
(
)
B.
( )
C.
( )
4. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f ' . Déterminer laquelle.
A. courbe C1
B. courbe C2
C. courbe C3
4
4
4
2
2
2
0
-4
-2
0
0
2
4
-4
-2
-2
EXERCICE-42
( 4 points )
0
0
2
4 -4
-2
0
-2
-2
-4
-4
Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes dérivables sur leur ensemble de définition
1. f est définie sur ℝ par ( )
est définie et dérivable sur ℝ car
2.
g est définie sur ]0 ; +∞[ par ( )
n’est jamais nul (Δ<0) et
√
est définie et dérivable sur ]0 ; +∞[ et
( )
√
√
( )
2
4
EXERCICE 3
( 6 points )
Soit f la fonction définie sur ℝ par ( )
1)
.
On note la dérivée de la fonction f.
a. Calculer ( ).
est définie et dérivable sur ℝ, et
b.
Étudier le signe de
(
)
Comme
c.
( )
( ).
(
)
Comme Δ est positif, donc le trinôme a deux racines : et
( ) est positif sur ]
, on déduit que
; [ et négatif sur ] ∞ ;
.
[ ] ; +∞[
Donner le tableau des variations de f.
⁄
∞
( )
0
+∞
0
⁄
2)
Montrer que l’équation ( )
admet une solution unique dans l'intervalle [
un encadrement de au dixième près.
;
]. Donner, à l’aide de la calculatrice,
est continue et strictement décroissante sur [
;
].
La fonction décroit de ( )
à ( )
donc elle ne prend qu’une seule fois la valeur
intermédiaire 7. On en déduit que l’équation ( )
admet une unique solution .
A l’aide de la calculatrice on obtient le tableau suivant :
( )
18
8,336
7
6,375
-1
EXERCICE 4
On en déduit que
( 6 points )
Un entomologiste a fait des relevés sur la taille de 50 courtilières adultes.
33, 35, 36, 36, 37, 37, 37, 38, 38, 38, 39, 39, 39, 39, 40, 40, 40, 40, 40, 41, 41, 41, 41, 41, 41, 41, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 43, 43, 43,
43, 44, 44, 44, 44, 45, 45, 45, 46, 46, 47, 47, 48, 48, 50.
1. Organiser les relevés dans le tableau d’effectifs suivant :
Valeur
Effectif
Effectif cumulé
croissant
33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
1 0 1 2 3 3 4 5 7 6 4 4 3 2 2 2 0 1
1
1
2
4
7
10 14 19 26 32 36 40 43 45 47 49 49 50
2.
Représenter les données par un diagramme à bâtons. Un diagramme circulaire serait-il intéressant ?
3.
Calculer la moyenne de la série. Déterminer sa médiane. Déterminer les premiers
et troisième quartiles puis les premier et neuvième déciles.
̅
; Me=41 ; Q1=39 et Q3=44 ; d1=37 et d9=46
4. Construire le diagramme en boîte correspondant.