DS1 TES Fonctions er continuité corrigé

Corrigé
Exercice 1. (5 points)
On considère la fonction f définie sur [ - 2 ; 3 ] par f(x) = x
3
– 3x
2
+ 6.
1) f est dérivable sur [ - 2 ; 3 ] et f '(x) = 3x
2
– 6x = 3x(x – 2).
x–2 0 2 3
f '(x) + 0 – 0 +
f(x)–14
6
2
6
2) f est strictement croissante et dérivable donc continue sur [ - 2 ; 0 ]. f(- 2) = –14 et f(0) = 6 donc
l'équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans l'intervalle [ - 2 ; 0 ], d'après le théorème des valeurs
intermédiaires. Sur [ 0 ; 3 ], la fonction reste positive donc l'équation f(x) = 0 n'admet pas d'autre solution.
L'équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans l'intervalle [ - 2 ; 3 ].
3) Tableau de signes : x
–2 α 3
f(x)
– 0 +
On en déduit que f(x) < 0 sur [ - 2 ; α[ et f(x) > 0 sur ] α ; 3.]
4) Tableau de valeurs, à l'aide de la calculatrice : α ≈ – 1,20.
Exercice 2. (2 points)
On considère la fonction f définie sur  par :
f(x) =
{
2x+3 si x⩽2
x
2
+2 si x>2
.
1) V graphique ci-contre.
2) La fonction n'est pas continue sur  car elle n'est pas continue en 2.
3) f est continue sur ] – ∞ ; 2] et sur ] 2 ; + ∞ [, par exemple.
Exercice 3. (3 points)
Le tableau de variation d'une fonction f définie et dérivable sur [ 0 ; 10 ] est donné ci-dessous :
x0 2 5 10
f(x)
–2
3
1
8

1) Pour tout x de ] 0 ; 10 ], f(x) ≥ 0 est faux car f(0) = – 2.
2) Pour tout x de [ 2 ; 10 ], f ' (x) ≥ 0 est faux car f est décroissante sur [ 2 ; 5 ].
3) L'équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans l'intervalle [ 0 ; 10 ] est vraie car l'équation admet
une unique solution sur [ 0 ; 2 ] et la fonction reste positive sur [ 2 ; 10 ].
Exercice 4. (5 points)
Le bénéfice d'une entreprise en milliers d'euros, en fonction de la quantité x d'objets vendus, en milliers
d'unités, est modélisé par B(x) = -
2
3
x
3
+
11
2
x
2
+ 6x – 20 pour x ∈ [0 ; 10].
1) B est dérivable sur [0 ; 10] et B' (x) = -
2
3
(3x
2
) +
11
2
(2x) + 6 = - 2x
2
+ 11x + 6.
2) On étudie le signe de B'.
∆ = b
2
– 4ac = 169 et
√
∆
= 13.
x = 6 ou x = -
1
2
.
D'où le tableau de variation sur [0 ; 10] :
x0 6 10
f ' (x) + +
f(x)–20 70 B(10)
Avec B(10) ≈ – 76,6.
3) On admet que B(x) = 0 admet deux solutions x
1
et x
2
dans [0 ; 10], avec x
1
< x
2
.
x
1
≈ 1,548 et x
2
≈ 8,883 à 10
– 3
près.
4) La quantité minimale et la quantité maximale que l'entreprise doit vendre pour que son activité soit
rentable sont 1548 et 8883 unités.