Corrigé Exercice 1. (5 points) On considère la fonction f définie sur [ - 2 ; 3 ] par f(x) = x3 – 3x2 + 6. 1) f est dérivable sur [ - 2 ; 3 ] et f '(x) = 3x2 – 6x = 3x(x – 2). x –2 0 f '(x) + 2 0 – 0 6 3 + 6 f(x) –14 2 2) f est strictement croissante et dérivable donc continue sur [ - 2 ; 0 ]. f(- 2) = –14 et f(0) = 6 donc l'équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans l'intervalle [ - 2 ; 0 ], d'après le théorème des valeurs intermédiaires. Sur [ 0 ; 3 ], la fonction reste positive donc l'équation f(x) = 0 n'admet pas d'autre solution. L'équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans l'intervalle [ - 2 ; 3 ]. 3) Tableau de signes : x –2 α 3 f(x) – 0 + On en déduit que f(x) < 0 sur [ - 2 ; α[ et f(x) > 0 sur ] α ; 3.] 4) Tableau de valeurs, à l'aide de la calculatrice : α ≈ – 1,20. Exercice 2. (2 points) On considère la fonction f définie sur f(x) = par : { 2 x +3 si x⩽2 . x 2+ 2 si x >2 1) V graphique ci-contre. 2) La fonction n'est pas continue sur car elle n'est pas continue en 2. 3) f est continue sur ] – ∞ ; 2] et sur ] 2 ; + ∞ [, par exemple. Exercice 3. (3 points) Le tableau de variation d'une fonction f définie et dérivable sur [ 0 ; 10 ] est donné ci-dessous : x 0 2 5 3 8 f(x) –2 10 1 1) Pour tout x de ] 0 ; 10 ], f(x) ≥ 0 est faux car f(0) = – 2. 2) Pour tout x de [ 2 ; 10 ], f ' (x) ≥ 0 est faux car f est décroissante sur [ 2 ; 5 ]. 3) L'équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans l'intervalle [ 0 ; 10 ] est vraie car l'équation admet une unique solution sur [ 0 ; 2 ] et la fonction reste positive sur [ 2 ; 10 ]. Exercice 4. (5 points) Le bénéfice d'une entreprise en milliers d'euros, en fonction de la quantité x d'objets vendus, en milliers 2 3 11 2 x + x + 6x – 20 pour x ∈ [0 ; 10]. 3 2 2 11 1) B est dérivable sur [0 ; 10] et B' (x) = (3x2) + (2x) + 6 = - 2x2 + 11x + 6. 3 2 2) On étudie le signe de B'. d'unités, est modélisé par B(x) = - ∆ = b2 – 4ac = 169 et √ ∆ = 13. 1 x = 6 ou x = - . 2 D'où le tableau de variation sur [0 ; 10] : x 0 f ' (x) 6 + f(x) 10 + 70 –20 B(10) Avec B(10) ≈ – 76,6. 3) On admet que B(x) = 0 admet deux solutions x1 et x2 dans [0 ; 10], avec x1 < x2. x1 ≈ 1,548 et x2 ≈ 8,883 à 10 – 3 près. 4) La quantité minimale et la quantité maximale que l'entreprise doit vendre pour que son activité soit rentable sont 1548 et 8883 unités.