Dérivation - David Caffin

PCSI
TD du Chapitre 8 – Fonctions numériques - Dérivation
Exercice 1
Soit f : ℝ → ℝ . On dit que f admet une dérivée symétrique en a ∈ ℝ si
f (a + h) − f (a − h)
admet une limite
2h
finie quand h tend vers 0.
1. Montrer que si f est dérivable à droite et à gauche en a, alors f y admet une dérivée symétrique.
2. Justifier que la réciproque est fausse.
Exercice 2
Soit n ∈ ℕ* . Déterminer la dérivée nième des fonctions f : x ֏ sin 3 x , g : x ֏ e x sin x et h : x ֏ x n −1 ln x .
Exercice 3
−
Soit la fonction f définie par f (x) = e
1
x
si x > 0 et f (x) = 0 si x ≤ 0 . Prouver que f est de classe C ∞ sur ℝ .
☺ On pourra déterminer la forme les dérivées successives de f sur ℝ*+ .
Exercice 4
On cherche à déterminer les fonctions f définies sur ℝ*+ , non nulles, dérivables en 1 et telles que :
∀ (x, y) ∈ ℝ*+ × ℝ*+ , f (xy) = f (x)f (y) .
1. Montrer qu’une telle fonction est dérivable sur ℝ*+ , puis de classe C ∞ sur ℝ*+ .
2. Montrer que ∀ x ∈ ℝ*+ , f (x) > 0 .
3. En posant alors g = ln f , répondre au problème.
Exercice 5
On dit qu’un réel a est un point d’inflexion d’une fonction f lorsque la courbe représentative de f « traverse sa
tangente » au point d’abscisse a. Montrer que si f est une fonction de classe C 3 au voisinage de a avec
f "(a) = 0 et f '''(a) ≠ 0 , alors f admet un point d’inflexion en a. La réciproque est-elle vraie ?
Exercice 6
Soit f :[a , b] → ℝ dérivable et telle que f '(a) < f '(b) . Montrer que f ' vérifie la propriété des valeurs
intermédiaires, c’est-à-dire que ∀ k ∈ [f '(a) , f '(b)] , il existe c ∈ [a , b] tel que f '(c) = k .
☺ On pourra commencer par le cas où k = 0 et montrer qu’alors f admet un minimum sur [a , b] .
PCSI
Exercice 7
Soient f et g deux fonctions continues sur [a , b] et dérivables sur ]a , b[ telles que ∀ x ∈ ]a , b[ , g '(x) ≠ 0 .
f (a) − f (b) f '(c)
=
.
g(a) − g(b) g '(c)
f '(x)
f (x)
2) On suppose maintenant que f (a) = g(a) = 0 et que lim
= ℓ ∈ ℝ . Montrer que lim
= ℓ.
x → a g '(x)
x → a g(x)
1) On suppose que g(a) ≠ g(b) . Montrer qu’il existe c ∈ ]a , b[ tel que
Exercice 8
Soit f une fonction de classe C 1 sur [a , b] et deux fois dérivable sur ]a , b[ .
1
1) Montrer qu’il existe c ∈ ]a , b[ tel que f (b) = f (a) + (b − a)f '(a) + (b − a)²f "(c) .
2
1
☺ On pourra poser g(x) = f (b) − f (x) − (b − x)f '(x) − k(b − x)² avec k bien choisi.
2
1
2) Montrer qu’il existe d ∈ ]a , b[ tel que f (a) = f (b) + (a − b)f '(b) + (a − b)²f "(d) .
2
Exercice 9
Soit f une fonction de classe C 2 sur [a , b].
f (a) + f (b)
 a + b  (b − a)²
=f
f "(c) .
+
2
8
 2 
a+b
a+b
☺ On pourra utiliser les résultats de l’exercice précédent d’abord sur [a ,
] , puis sur [
, b] .
2
2
f (x) + f (y)
x+y
2. Déterminer toutes les fonctions de classe C 2 sur ℝ telles que ∀ (x, y) ∈ ℝ ² ,
=f
.
2
 2 
1. Montrer qu’il existe c ∈ ]a , b[ tel que
Exercice 10
Soit P une fonction polynôme à coefficients réels admettant n racines réelles distinctes. Montrer que P ' + P
admet au moins n racines réelles distinctes.
Exercice 11
Soient a, b et c trois réels tels que a < b < c et f une fonction dérivable sur [a , b] telle que f (a) = f (b) = 0 .
Montrer qu’il existe une tangente au graphe de f qui passe par le point (c; 0) .
Exercice 12
1) Prouver que toute combinaison linéaire de deux fonctions lipschitziennes sur un intervalle I est
lipschitziennes sur I.
2) Le produit de deux fonctions lipschitziennes est-il lipschitzien ? Et si ces fonctions sont bornées ?