Enoncé

Mardi 10 janvier 2017
8h-13h
Il sera tenu compte de facon importante de la qualit´ e de la r´ edaction
et de l’argumentation.
En particulier, r´ epondre juste ` a une question est valoris´ e, r´ epondre
faux est p´ enalis´ e et ne pas r´ epondre n’est ni valoris´ e ni p´ enalis´ e.
Ce sujet est constitu´e d’un exercice et d’un probl`eme.
Il est extrait et adapt´e du CAPLP interne 2007 et de la premi`ere ´epreuve du Capes agricole 2001.
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EXERCICE
•On note Ple plan rapport´ e` a un rep` ere orthonorm´ e direct (O,#„ u,#„ v).
•On note P∗le plan Ppriv´ e de l’origine Oet C∗l’ensemble des nombres complexes non
nuls.
•` A tout point Mdu plan Pde coordonn´ ees (x,y), on associe son affixe z=x+iy.
•On note fl’application de C∗dans C∗qui ` a tout nombre complexe zassocie le com-
plexe z0d´ efini par z0=f(z) = k
z, o `
ukest un nombre r´ eel non nul.
•On note Il’application de P∗dans P∗qui ` a tout point Md’affixe zassocie le point
M0=I(M)d’affixe z0=f(z) = k
z.
L’application Iest appel´ ee inversion de centre Oet de puissance k.
•Un cercle (ou une droite) passant par le point O, mais priv´ e(e) de O, sera par la suite
´
egalement d´ enomm´ e(e) cercle (respectivement droite).
I. Quelques g´en´eralit´es.
I.1. Exprimer la longueur OM0en fonction de la longueur OM.
I.2. Montrer que les points O,Met M0sont align´ es et que le produit scalaire
# „
OM ·
# „
OM0
est ´ egal ` ak.
I.3. D´ eterminer, en fonction du nombre r´ eel non nul k, la nature de l’ensemble des points
Mde P∗invariants par l’application I.
I.4. V´ erifier que l’inversion Iest involutive, c’est-` a-dire que I◦I=id, o ` u id est l’application
identit´ e du plan.
I.5. D´ eterminer l’image par l’application Idu cercle de centre Oet de rayon r>0.
II. Image par l’inversion Id’un cercle passant par le point O.
Soit Cun cercle de centre Ω(d’affixe ω6=0) et de rayon r>0, passant par le point O.
On note Hle point du cercle Cdiam´ etralement oppos´ e au point O.
On note H0l’image du point Hpar l’inversion Iet on note Dla droite passant par le
point H0orthogonale ` a la droite (OH).
Soit Mun point du cercle Cdiff´ erent du point Oet du point H.
Soit Nle point d’intersection des droites (OM)et D.
II.1. On suppose k<0.
II.1.a) Justifier que les triangles OMH et OH0Nsont semblables.
II.1.b) En d´ eduire que le point Nest l’image du point Mpar l’inversion I.
II.1.c) Quelle est l’image du cercle Cpar l’inversion I?
II.2. On suppose k>0. Quelle est la nature de l’image du cercle Cpar l’inversion I?
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III. Image par l’inversion Id’un cercle ne passant pas par le point O.
Soit Cun cercle de centre Ω(d’affixe ω) et de rayon r>0, ne passant pas par le point
O.
Soient Mun point de P∗d’affixe zet M0son image par l’inversion I.
On note z0l’affixe du point M0.
III.1. D´ emontrer que :
M∈C⇐⇒ zz −ωz−ωz=r2−ωω.
III.2. En d´ eduire que l’image du cercle Cpar l’inversion Iest un cercle C0ne passant pas
par le point O.
III.3. Justifier que le cercle C0est aussi l’image du cercle Cpar une homoth´ etie de centre O.
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PROBLEME
Le th` eme de ce probl` eme est l’approche, par plusieurs outils math´ ematiques, du nombre
r´ eel π2.
•Le probl` eme est divis´ e en trois parties, A,Bet Cind´ ependantes.
•Le plan Pest rapport´ e au rep` ere orthonorm´ e direct R= (O,(#„ u,#„ v)).
•La fonction cotangente est not´ ee cot, c’est-` a-dire que pour tout x∈Rqui n’est pas
dans πZon a cot x=cos x
sin x.
Partie A.
π2en tant que somme de s´ erie ou comme int´ egrale
1. Pr´ eciser pourquoi la fonction cotangente est une bijection de l’intervalle ]0 ; π
2]sur [0; +∞[.
2. Si Pest un polynˆ ome de degr´ ep` a coefficients complexes, P=apXp+ap−1Xp−1+· · · +a0,
ayant pour racines z1, . . . , zp, donner la formule liant s=
p
∑
k=1
zkaux coefficients ai.
3. D´ emontrer que pout tout r´ eel xde ]0 ; π
2], on a : cot x61 x61 sin x.
4. Pour xr´ eel non nul, on pose : g(x) = x
ex−1.
4.a) Prouver que gse prolonge en une fonction continue sur R.
Pour simplifier les notations, ce prolongement sera encore not´e g dans la suite.
4.b) Quelle est alors la valeur de g(0)?
4.c) Etudier la d´ erivabilit´ e de gen 0.
4.d) Apr` es avoir donn´ e les limites de gen −∞et +∞, donner le tableau de variations de
g(on pourra ˆ etre amen´ e` a´ etudier le signe sur Rde h:x7→ (1−x)ex−1).
4.e) (Cette question ne sert pas dans la suite du probl`eme.)
D´ emontrer que la courbe repr´ esentative de gdans le rep` ere Radmet au voisinage de
−∞une asymptote dont on donnera une ´ equation cart´ esienne.
Dans tout le reste de cette partie, nd´ esigne un entier strictement positif.
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5. Pour 1 6k6n, on pose : rk=cot2kπ
2n+1. Prouver que ces nombres sont deux `
a deux
distincts.
6. En utilisant la formule de Moivre, ´ etablir l’´ egalit´ e suivante, valable pour tout r´ eel a:
2n+1
1sin acos2na−2n+1
3sin3acos2n−2a+· · · + (−1)n2n+1
2n+1sin2n+1a
=sin((2n+1)a).
7. 7.a) A l’aide de la question pr´ ec´ edente, montrer qu’il existe une fonction polynˆ ome ` a
coefficients r´ eels not´ ee Pnque l’on explicitera, telle que pour tout r´ eel aqui n’est pas
dans πZ, on ait :
sin((2n+1)a)
sin2n+1a=Pn(cot2a).
7.b) Etablir l’unicit´ e d’un tel polynˆ ome Pn.
7.c) D´ eterminer les racines du polynˆ ome Pn.
8. 8.a) Calculer le nombre S=
n
∑
k=1
rk=
n
∑
k=1
cot2kπ
2n+1.
8.b) En d´ eduire la valeur de T, o ` uT=
n
∑
k=1
1
sin2kπ
2n+1
.
9. Apr` es avoir encadr´ e
n
∑
k=1
1
k2, retrouver le c´
el` ebre r´ esultat d ˆ u` a Euler :
∞
∑
l=1
1
l2=π2
6.
10. Calculer
∞
∑
l=0
1
(2l+1)2.
11. gd´ esigne toujours la fonction d´ efinie en 4.
11.a) Justifier l’existence de l’int´ egrale g´ en´ eralis´ ee K=Z+∞
0g(x)dx.
11.b) On pose, pour nentier strictement positif, Kn=Z+∞
0xe−nxdx. Calculer Knapr`
es
avoir justifi´ e son existence.
11.c) V´ erifier que pour tout xnon nul,
n−1
∑
k=0
e−kx =1−e−nx
1−e−x; en d´
eduire que :
K=1+1
4+· · · +1
n2+Z+∞
0g(x)e−nxdx.
11.d) Montrer que K=π2
6.
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