Enoncé

Mardi 10 janvier 2017
8h-13h
Il sera tenu compte de facon importante de la qualité de la rédaction
et de l’argumentation.
En particulier, répondre juste à une question est valorisé, répondre
faux est pénalisé et ne pas répondre n’est ni valorisé ni pénalisé.
Ce sujet est constitué d’un exercice et d’un problème.
Il est extrait et adapté du CAPLP interne 2007 et de la première épreuve du Capes agricole 2001.
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EXERCICE
• On note P le plan rapporté à un repère orthonormé direct (O, #„
u , #„
v ).
• On note P∗ le plan P privé de l’origine O et C∗ l’ensemble des nombres complexes non
nuls.
• À tout point M du plan P de coordonnées ( x, y), on associe son affixe z = x + iy.
• On note f l’application de C∗ dans C∗ qui à tout nombre complexe z associe le comk
plexe z0 défini par z0 = f (z) = , où k est un nombre réel non nul.
z
• On note I l’application de P∗ dans P∗ qui à tout point M d’affixe z associe le point
k
M0 = I ( M) d’affixe z0 = f (z) = .
z
L’application I est appelée inversion de centre O et de puissance k.
• Un cercle (ou une droite) passant par le point O, mais privé(e) de O, sera par la suite
également dénommé(e) cercle (respectivement droite).
I.
Quelques généralités.
I.1. Exprimer la longueur OM0 en fonction de la longueur OM.
# „ # „
I.2. Montrer que les points O, M et M0 sont alignés et que le produit scalaire OM · OM0
est égal à k.
I.3. Déterminer, en fonction du nombre réel non nul k, la nature de l’ensemble des points
M de P∗ invariants par l’application I.
I.4. Vérifier que l’inversion I est involutive, c’est-à-dire que I ◦ I = id, où id est l’application
identité du plan.
I.5. Déterminer l’image par l’application I du cercle de centre O et de rayon r > 0.
II.
Image par l’inversion I d’un cercle passant par le point O.
Soit C un cercle de centre Ω (d’affixe ω 6= 0) et de rayon r > 0, passant par le point O.
On note H le point du cercle C diamétralement opposé au point O.
On note H 0 l’image du point H par l’inversion I et on note D la droite passant par le
point H 0 orthogonale à la droite (OH ).
Soit M un point du cercle C différent du point O et du point H.
Soit N le point d’intersection des droites (OM ) et D.
II.1. On suppose k < 0.
II.1.a) Justifier que les triangles OMH et OH 0 N sont semblables.
II.1.b) En déduire que le point N est l’image du point M par l’inversion I.
II.1.c) Quelle est l’image du cercle C par l’inversion I ?
II.2. On suppose k > 0. Quelle est la nature de l’image du cercle C par l’inversion I ?
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III.
Image par l’inversion I d’un cercle ne passant pas par le point O.
Soit C un cercle de centre Ω (d’affixe ω) et de rayon r > 0, ne passant pas par le point
O.
Soient M un point de P∗ d’affixe z et M0 son image par l’inversion I.
On note z0 l’affixe du point M0 .
III.1. Démontrer que :
M ∈ C ⇐⇒ zz − ωz − ωz = r2 − ωω.
III.2. En déduire que l’image du cercle C par l’inversion I est un cercle C 0 ne passant pas
par le point O.
III.3. Justifier que le cercle C 0 est aussi l’image du cercle C par une homothétie de centre O.
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PROBLEME
Le thème de ce problème est l’approche, par plusieurs outils mathématiques, du nombre
réel π 2 .
• Le problème est divisé en trois parties, A, B et C indépendantes.
• Le plan P est rapporté au repère orthonormé direct R = (O, ( #„
u , #„
v )).
• La fonction cotangente est notée cot, c’est-à-dire que pour tout x ∈ R qui n’est pas
cos x
.
dans πZ on a cot x =
sin x
Partie A.
π 2 en tant que somme de série ou comme intégrale
1. Préciser pourquoi la fonction cotangente est une bijection de l’intervalle ]0 ;
π
] sur [0; +∞[.
2
2. Si P est un polynôme de degré p à coefficients complexes, P = a p X p + a p−1 X p−1 + · · · + a0 ,
p
ayant pour racines z1 , . . . , z p , donner la formule liant s =
∑ zk aux coefficients ai .
k =1
π
1
1
], on a : cot x 6 6
.
2
x
sin x
x
4. Pour x réel non nul, on pose : g( x ) = x
.
e −1
4.a) Prouver que g se prolonge en une fonction continue sur R.
3. Démontrer que pout tout réel x de ]0 ;
Pour simplifier les notations, ce prolongement sera encore noté g dans la suite.
4.b) Quelle est alors la valeur de g(0)?
4.c) Etudier la dérivabilité de g en 0.
4.d) Après avoir donné les limites de g en −∞ et +∞, donner le tableau de variations de
g (on pourra être amené à étudier le signe sur R de h : x 7→ (1 − x )e x − 1).
4.e) (Cette question ne sert pas dans la suite du problème.)
Démontrer que la courbe représentative de g dans le repère R admet au voisinage de
−∞ une asymptote dont on donnera une équation cartésienne.
Dans tout le reste de cette partie, n désigne un entier strictement positif.
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5. Pour 1 6 k 6 n, on pose : rk = cot2
distincts.
kπ
. Prouver que ces nombres sont deux à deux
2n + 1
6. En utilisant la formule de Moivre, établir l’égalité suivante, valable pour tout réel a :
2n+1 sin a cos2n a − 2n+1 sin3 a cos2n−2 a + · · · + (−1)n 2n+1 sin2n+1 a
2n
+
1
3
1
= sin((2n + 1) a).
7. 7.a) A l’aide de la question précédente, montrer qu’il existe une fonction polynôme à
coefficients réels notée Pn que l’on explicitera, telle que pour tout réel a qui n’est pas
dans πZ, on ait :
sin((2n + 1) a)
= Pn (cot2 a).
2n+1
sin
a
7.b) Etablir l’unicité d’un tel polynôme Pn .
7.c) Déterminer les racines du polynôme Pn .
n
8. 8.a) Calculer le nombre S =
∑
k =1
n
rk =
kπ
∑ cot2 2n + 1 .
k =1
8.b) En déduire la valeur de T, où T =
n
1
k =1
kπ
sin
2n + 1
∑
.
2
n
9. Après avoir encadré
∞
10. Calculer
1
∑ k2 , retrouver le célèbre résultat dû à Euler :
k =1
∞
1
π2
=
∑ l2 6 .
l =1
1
∑ (2l + 1)2 .
l =0
11. g désigne toujours la fonction définie en 4.
11.a) Justifier l’existence de l’intégrale généralisée K =
Z +∞
11.b) On pose, pour n entier strictement positif, Kn =
avoir justifié son existence.
n −1
11.c) Vérifier que pour tout x non nul,
∑ e−kx =
k =0
g( x )dx.
Z +∞
0
xe−nx dx. Calculer Kn après
1 − e−nx
; en déduire que :
1 − e− x
1
1
K = 1+ +···+ 2 +
4
n
11.d) Montrer que K =
0
Z +∞
0
g( x )e−nx dx.
π2
.
6
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Partie B.
π 2 et les séries entières
Dans cette partie, on étudie la série entière ∑ 2
∞
cette série, on posera F ( x ) =
4n (n!)2 2n+2
x
; en cas de convergence de
(2n + 2)!
4n (n!)2
∑ 2 (2n + 2)! x2n+2.
n =0
On notera enfin, pour n ∈ N, an = 2
4n (n!)2
.
(2n + 2)!
a n +1
et donner le rayon de convergence de la série entière ∑ an x2n+2 .
an
a n +1
b
1
2. 2.a) Déterminer les constantes a et b telles que
= a+ +o
.
an
n
n
1
1
et wn = n−5/4 . Montrer que, pour n assez grand :
2.b) Pour n > 1, on pose vn = −
n n+1
1. Calculer le quotient
v n +1
a
w
6 n +1 6 n +1 .
vn
an
wn
2.c) En déduire l’existence de deux constantes strictements positives c et d (qu’on ne
cherchera pas à préciser) telles que, pour n assez grand : cvn 6 an 6 dwn .
2.d) Que peut-on en déduire sur la convergence de la série ∑ an ?
3. Justifier avec soin que lim F ( x ) =
x →1
∑ an .
4. Le but de cette question est d’expliciter la fonction F. On pose G ( x ) = (arcsin x )2 quand
c’est possible.
4.a) Donner l’ensemble de définition de la fonction G. Sur quel intervalle I la fonction G
est-elle dérivable et même de classe C ∞ ?
4.b) Vérifier que G est solution sur I de l’équation différentielle notée ( L) :
(1 − x2 )y00 ( x ) − xy0 ( x ) = 2.
4.c) Calculer les nombres F (0), F 0 (0), G (0), G 0 (0).
4.d) Démontrer que ∀ x ∈ I, F ( x ) = G ( x ).
5. Déterminer la somme de chacune des deux séries numériques ∑
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an
et ∑ an .
4n
Partie C.
Irrationnalité de π 2
1. Soit u continue sur l’intervalle [0; 1], montrer que, si U est définie sur R par :
U (x) =
Z 1
0
u(t) cos( xt)dt,
alors U est dérivable sur R et pour tout x ∈ R on a U 0 ( x ) = −
R1
0
u(t)t sin( xt)dt.
Il y a plusieurs méthodes pour parvenir à ce résultat, l’une d’elles consiste à revenir à la définition
du nombre dérivé en un point et à utiliser l’inégalité suivante (qu’on justifiera), valable pour tous
réels a et b :
( b − a )2
|cos b − cos a + (b − a) sin a| 6
2
2. Soit P une fonction polynôme à coefficients réels. Montrer que la fonction P est paire si et
seulement si elle est combinaire linéaire de fonctions monômes de degrés pairs.
3. Soient P et Q deux fonctions polynômes à coefficients réels telles que :
∀ x ∈ R, P( x ) cos x + Q( x ) sin x = 0.
Démontrer que P et Q sont nulles.
4. On pose, pour tout réel x et pour tout entier naturel n (n > 1),
x2n+1
f n (x) =
·
2 × 4 × 6 × · · · × 2n
Z 1
0
(1 − t2 )n cos( xt)dt.
4.a) Calculer f n0 sur R en justifiant.
4.b) Donner un lien algébrique entre f n+1 , f n et f n0 .
5. Calculer f 1 ( x ) pour tout réel x.
6. Démontrer que, quel que soit l’entier naturel n (n > 1), il existe un unique couple de
fonctions polynômes ( An , Bn ) à coefficients entiers tel que :
â ∀ x ∈ R, f n ( x ) = An ( x ) cos x + Bn ( x ) sin x,
â An est impaire et Bn est paire,
â les degrés de An et de Bn sont inférieurs ou égaux à n.
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7. Supposons que l’on puisse écrire
π2
p
= où p est q sont deux entiers naturels non nuls.
4
q
7.a) Montrer qu’alors, le nombre un défini par
2n
p
r
Z 1
π p
q
n
·
· (1 − t2 )2n cos t dt
un = q
q 2 × 4 × 6 × · · · × 4n 0
2
est un entier naturel non nul.
Z 1
π 2
2n
7.b) Démontrer que (1 − t ) cos
t dt 6 1 et que pour tout n > p on a un 6
2
0
r n
p p
1
.
q 4q n!
8. En considérant la suite (un )n>1 , démontrer que π 2 est irrationnel.
FIN
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