O LYMPIADES F RANÇAISES DE M ATHÉMATIQUES 2011-2012 E NVOI N UMÉRO 4 À RENVOYER AU PLUS TARD LE LUNDI 16 JANVIER C ONSIGNES POUR LES EXERCICES D ’ ENTRAÎNEMENT - Les solutions des énoncés d’entraînement ne sont pas à rédiger et à renvoyer. C ONSIGNES POUR LES EXERCICES À RENVOYER - Les exercices doivent être cherchés de manière individuelle. - Utiliser des feuilles différentes pour des exercices différents. - Rédiger les solutions avec soin. N’hésitez pas à utiliser des stylos de couleur. - Indiquer vos noms sur les copies. Exercices à renvoyer Combinatoire Exercice 1 Soit S un ensemble de 2012 points du plan, trois d’entre eux jamais alignés. Soit L l’ensemble des droites déterminées par les paires de points de S. Montrer que l’on peut colorier les points de S à l’aide d’au plus deux couleurs de sorte que, pour tous points A et B distincts appartenant à S, la condition suivante soit vérifiée : Les points A et B sont de la même couleur si et seulement si le nombre de droites de L qui les séparent est impair. (On dit qu’une droite sépare deux points s’ils sont situés de part et d’autre de cette droite, aucun des deux points n’appartenant à la droite.) Exercice 2 Soit n, p ≥ 1 des entiers. 1) Un acheteur a dans son porte-monnaie n pièces. Notons a1 , ..., an la valeur faciale de ces pièces (ce sont des nombres entiers strictement positifs), avec 1 ≤ a1 ≤ ... ≤ an . Convenons d’appeler capacité de ce porte-monnaie le plus grand entier M tel que l’on puisse payer sans rendu de monnaie toute somme entière de 1 à M. Notons C ( a1 , ..., an ) la capacité du porte-monnaie contenant les pièces a1 , ..., an . Comment peut-on choisir les nombres entiers a1 , ..., an pour que la capacité C ( a1 , ..., an ) soit la plus grande possible ? 2) Le marchand chez qui va notre acheteur va faire ses courses possède aussi un portemonnaie, lui permettant de rendre la monnaie. Nommons capacité commune le plus grand nombre entier M tel que l’on puisse payer (c’est-à-dire accomplir la transaction) toute somme qui soit un entier de 1 à M. Comment peut-on choisir les porte-monnaies ( a1 , ..., an ) de l’acheteur et (v1 , ..., v p ) du vendeur afin qu’ils offrent la plus grande capacité commune possible ? Théorie des nombres Exercice 3 Soient m, n des entiers tels que 0 ≤ m ≤ 2n. Montrer que 22n+2 + 2m+2 + 1 est un carré parfait si et seulement si m = n. On rappelle qu’un entier a est appelé carré parfait s’il existe un entier b tel que a = b2 . Exercice 4 2 Trouver tous les entiers strictement positifs x, y tels que y x = x y+2 . Polynômes Exercice 5 Trouver un polynôme P( X ) de degré 3 à coefficients réels tels que X 2 + X + 3 divise P( P( X )). Exercice 6 Soit P( X ) un polynôme de degré n ≥ 2 à coefficients entiers. Montrer qu’il y a au plus n entiers consécutifs qui sont images par P d’un entier. Exercice 7 n −1 Soit P( X ) = X n + ∑ ak X k un polynôme tel que k =0 . pour tout k entre 0 et n − 1, ak est un entier ; . | a0 | est un nombre premier ; n −1 . | a0 | > 1 + ∑ | a k |. k =1 Montrer que si P est le produit de deux polynômes à coefficients entiers A et B, alors l’un des polynômes A ou B est constant égal à 1 ou −1. Énoncés d’entraînement Combinatoire Exercice 8 On considère six points dans le plan, trois jamais alignés. On trace les segments qui les relient deux à deux, et on suppose qu’ils sont de longueurs toutes distinctes. Prouver qu’il existe un triangle dont le plus petit côté est le plus grand côté d’un autre des triangles. Exercice 9 A partir du trinôme ax2 + bx + c, on peut effectuer les deux opérations suivantes : a) échanger a et c, b) remplacer x par x + t, où t est un réel arbitraire. x2 Est-il possible, à l’aide d’un nombre fini de telles opérations, de transformer x2 − x − 2 en − x − 1? Théorie des nombres Exercice 10 n Soit p un nombre premier et n ≥ 1 un entier. Montrer que pn divise ( pp ) − pn−1 . Exercice 11 Trouver tous les entiers strictement positifs ( a, b, p) avec p premier tels que 2a + pb = 19a . Polynômes Exercice 12 Soit P un polynôme à coefficients entiers et n ∈ Z. Montrer que l’entier P(n) divise P(n + P(n)). Exercice 13 Montrer qu’il existe des polynômes Pn et Qn à coefficients réels tels que 1 + X − Pn2 = X n Qn . Exercice 14 Déterminer tous les couples de polynômes ( P, Q) à coefficients réels tels que P2 + Q2 = ( X 2 + 1)2 .