Enoncés - Animath

OLYMPIADES FRANÇAISES DE MATHÉMATIQUES
2011-2012
ENVOI NUMÉRO 4
ÀRENVOYER AU PLUS TARD LE LUNDI 16 JANVIER
CONSIGNES POUR LES EXERCICES D’ENTRAÎNEMENT
- Les solutions des énoncés d’entraînement ne sont pas à rédiger et à renvoyer.
CONSIGNES POUR LES EXERCICES À RENVOYER
- Les exercices doivent être cherchés de manière individuelle.
- Utiliser des feuilles différentes pour des exercices différents.
- Rédiger les solutions avec soin. N’hésitez pas à utiliser des stylos de couleur.
- Indiquer vos noms sur les copies.

Exercices à renvoyer
Combinatoire
Exercice 1
Soit Sun ensemble de 2012 points du plan, trois d’entre eux jamais alignés. Soit Ll’ensemble
des droites déterminées par les paires de points de S. Montrer que l’on peut colorier les points
de Sà l’aide d’au plus deux couleurs de sorte que, pour tous points Aet Bdistincts appartenant
àS, la condition suivante soit vérifiée :
Les points Aet Bsont de la même couleur si et seulement si le nombre de droites de Lqui les
séparent est impair.
(On dit qu’une droite sépare deux points s’ils sont situés de part et d’autre de cette droite,
aucun des deux points n’appartenant à la droite.)
Exercice 2
Soit n,p≥1 des entiers.
1) Un acheteur a dans son porte-monnaie npièces. Notons a1, ..., anla valeur faciale de
ces pièces (ce sont des nombres entiers strictement positifs), avec 1 ≤a1≤... ≤an.
Convenons d’appeler capacité de ce porte-monnaie le plus grand entier Mtel que l’on
puisse payer sans rendu de monnaie toute somme entière de 1 à M. Notons C(a1, ..., an)
la capacité du porte-monnaie contenant les pièces a1, ..., an.
Comment peut-on choisir les nombres entiers a1, ..., anpour que la capacité C(a1, ..., an)
soit la plus grande possible ?
2) Le marchand chez qui va notre acheteur va faire ses courses possède aussi un porte-
monnaie, lui permettant de rendre la monnaie.
Nommons capacité commune le plus grand nombre entier Mtel que l’on puisse payer
(c’est-à-dire accomplir la transaction) toute somme qui soit un entier de 1 à M. Comment
peut-on choisir les porte-monnaies (a1, ..., an)de l’acheteur et (v1, ..., vp)du vendeur afin
qu’ils offrent la plus grande capacité commune possible ?
Théorie des nombres
Exercice 3
Soient m,ndes entiers tels que 0 ≤m≤2n. Montrer que 22n+2+2m+2+1 est un carré parfait
si et seulement si m=n.
On rappelle qu’un entier a est appelé carré parfait s’il existe un entier b tel que a =b2.
Exercice 4
Trouver tous les entiers strictement positifs x,ytels que yx2=xy+2.

Polynômes
Exercice 5
Trouver un polynôme P(X)de degré 3 à coefficients réels tels que X2+X+3 divise P(P(X)).
Exercice 6
Soit P(X)un polynôme de degré n≥2 à coefficients entiers. Montrer qu’il y a au plus nentiers
consécutifs qui sont images par Pd’un entier.
Exercice 7
Soit P(X) = Xn+n−1
∑
k=0akXkun polynôme tel que
.pour tout kentre 0 et n−1, akest un entier ;
.|a0|est un nombre premier ;
.|a0|>1+n−1
∑
k=1|ak|.
Montrer que si Pest le produit de deux polynômes à coefficients entiers Aet B, alors l’un des
polynômes Aou Best constant égal à 1 ou −1.
Énoncés d’entraînement
Combinatoire
Exercice 8
On considère six points dans le plan, trois jamais alignés. On trace les segments qui les relient
deux à deux, et on suppose qu’ils sont de longueurs toutes distinctes.
Prouver qu’il existe un triangle dont le plus petit côté est le plus grand côté d’un autre des
triangles.
Exercice 9
A partir du trinôme ax2+bx +c, on peut effectuer les deux opérations suivantes :
a) échanger aet c,
b) remplacer xpar x+t, où test un réel arbitraire.
Est-il possible, à l’aide d’un nombre fini de telles opérations, de transformer x2−x−2 en
x2−x−1?
Théorie des nombres
Exercice 10
Soit pun nombre premier et n≥1 un entier. Montrer que pndivise (pn
p)−pn−1.

Exercice 11
Trouver tous les entiers strictement positifs (a,b,p)avec ppremier tels que 2a+pb=19a.
Polynômes
Exercice 12
Soit Pun polynôme à coefficients entiers et n∈Z.
Montrer que l’entier P(n)divise P(n+P(n)).
Exercice 13
Montrer qu’il existe des polynômes Pnet Qnà coefficients réels tels que
1+X−P2
n=XnQn.
Exercice 14
Déterminer tous les couples de polynômes (P,Q)à coefficients réels tels que
P2+Q2= (X2+1)2.