primitives

Primitives
Hadj Salem Habib
Bac Maths + Sc exp
Lycée pilote Médenine
I/ Définition et propriétés
1) Définition:
Soient f et F deux fonctions définies sur un intervalle I.
F est dite une primitive de f sur I ) si et seulement si ( F est dérivable sur I
et pour tout x de I on a F x
fx )
2) Remarques:
f désigne une fonction définie sur un intervalle I.
F et G sont deux fonctions définies sur I.
1/ Si F est une primitive de f sur l’intervalle I alors pour toute constante c de IR
on a la fonction x
F x c; x I est aussi une primitive de f
sur I.
2/ Si F et G sont deux primitives de f sur l’intervalle I alors il existe une
constante réelle c telle que x I; G x
F x c.
3/ Si F et G sont deux primitives de f sur l’intervalle I alors a, b
I 2 on a
Fb Fa
Gb Ga .
4/ D’après les remarques 1/ et 2/ on conlut que si f possède des primitives
sur I dont F est une de ces primitives alors l’ensemble des primitives
de f sur I est F
aves est une constante réelle .
5/ On suppose que f possède des primitives sur I.
la fonction x
f x dx; x I est une primitive de f sur I.
3) Théorème
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On a:
Si f est continue sur I alors f possède des primitives sur I.
4) Théorème
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I. Soit x 0 I.
Soit y 0 IR. On a: Il existe une seule primitive F de f sur I telle que F x 0
y0.
5) Primitives usuelles:
dx
x
c avec
et c sont deux constantes réelles.
1 x n 1 c avec n IN et c une constante réelle.
x n dx
n 1
1 dx
x c avec c une constante réelle.
2 x
1 c avec c une constante réelle.
1 dx
x
x2
cos xdx sin x c avec c une constante réelle.
sin xdx
cos x c avec c une constante réelle.
cos ax b dx 1a sin ax b c avec c une constante réelle et a IR et b IR.
sin ax b dx a1 cos ax b c avec c une constante réelle et a IR et b IR.
........................................................Après les chapitres de Log. et expo.
1 e x c avec c une constante réelle et
e x dx
IR .
1 dx ln|x| c avec c une constante réelle.
x
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I/ Regles de primativations
f et g sont deux fonctions qui vérifient toutes les conditions nécéssaires pour les
règles suivantes :
Règle 1 : u x dx u x c avec c une constante réelle
Règle 2 :
Règle 3 :
u x dx
ux
Règle 4 : r
u x dx. avec
1 ;
Règle 5 :
u x
dx
2 ux
Règle 6 :
u x .v x
Règle 7 :
Règle 8 :
u x dx
v x dx
Q\
une constante réelle
r
u x ux
ux
v x dx.
dx
ux
1
r 1
c avec c une constante
c avec c une constante.
v x u x dx
u x .v x v x u x
vx 2
u x . v u x dx
1
r
dx
vux
ux vx
ux
vx
c avec c une constante.
c avec c une constante.
c avec c une constante.
.....................................................Après les chapitres de Log. et expo.
u x
Règle 9 :
dx ln|u x | c avec c une constante.
ux
Règle 10 :
Hadj Salem Habib
u x e u x dx
eu x
c avec c une constante.
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