primitives

I/Définition et propriétés
1)Définition:
Soient fet Fdeux fonctions définies sur un intervalle I.
Fest dite une primitive de fsur I)si et seulement si ( Fest dérivable sur I
et pour tout xde Ion a F
xfx)
2)Remarques:
fdésigne une fonction définie sur un intervalle I.
Fet Gsont deux fonctions définies sur I.
1/Si Fest une primitive de fsur l’intervalle Ialors pour toute constante cde IR
on a la fonction xFxc;xIest aussi une primitive de f
sur I.
2/Si Fet Gsont deux primitives de fsur l’intervalle Ialors il existe une
constante réelle ctelle que xI;GxFxc.
3/Si Fet Gsont deux primitives de fsur l’intervalle Ialors a,bI
2
on a
FbFaGbGa.
4/ D’après les remarques 1/et 2/ on conlut que si fpossède des primitives
sur Idont Fest une de ces primitives alors l’ensemble des primitives
de fsur Iest Faves est une constante réelle .
5/ On suppose que fpossède des primitives sur I.
la fonction x fxdx;xIest une primitive de fsur I.
3)Théorème
Soit fune fonction définie sur un intervalle I. On a:
Si fest continue sur Ialors fpossède des primitives sur I.
4)Théorème
Soit fune fonction définie et continue sur un intervalle I. Soit x
0
I.
Soit y
0
IR. On a: Il existe une seule primitive F de fsur Itelle que Fx
0
y
0
.
5)Primitives usuelles:
dx xcavec et csont deux constantes réelles.
x
n
dx 1
n1x
n1
cavec nIN et cune constante réelle.
1
2xdx xcavec cune constante réelle.
1
x
2
dx 1
xcavec cune constante réelle.
cosxdx sinxcavec cune constante réelle.
sinxdx cosxcavec cune constante réelle.
cosaxbdx1
asinaxbcavec cune constante réelle et aIR
et bIR.
sinaxbdx1
acosaxbcavec cune constante réelle et aIR
et bIR.
........................................................Après les chapitres de Log.et expo.
e
x
dx 1
e
x
cavec cune constante réelle et IR .
1
xdx ln|x|cavec cune constante réelle.
Hadj Salem Habib
Lycée pilote Médenine
Primitives
Page 1
Hadj Salem Habib
Lycée pilote Médenine
Bac Maths + Sc exp

I/Regles de primativations
fet gsont deux fonctions qui vérifient toutes les conditions nécéssaires pour les
règles suivantes :
Règle 1 : u
xdx uxcavec cune constante réelle
Règle 2 : uxdx  uxdx. avec une constante réelle
Règle 3 :
uxvxdx 
uxdx  vxdx.
Règle 4 :rQ\1; u xux
r
dx 1
r1ux
r1
cavec cune constante
Règle 5 :
u x
2uxdx uxcavec cune constante.
Règle 6 :
u
x.vxv xuxdx uxvxcavec cune constante.
Règle 7 :
u
x.vxv xux
vx
2
dx ux
vxcavec cune constante.
Règle 8 : u x.v
uxdx vux cavec cune constante.
.....................................................Après les chapitres de Log.et expo.
Règle 9 :
u x
uxdx ln|ux|cavec cune constante.
Règle 10 : u xe
ux
dx e
ux
cavec cune constante.
Hadj Salem Habib
Lycée pilote Médenine
Primitives
Page 1
Hadj Salem Habib
Lycée pilote Médenine
Bac Maths - Sc exp