primitives d`une fonction dérivable 1. définitions et théoremes

PRIMITIVES D’UNE FONCTION DÉRIVABLE
1. DÉFINITIONS ET THÉOREMES
Exemple : Soient les fonctions définies sur IR par : f(x) = 6x – 5 et F(x) = 3x2 – 5x + 3 .
On peut vérifier que pour tout nombre réel x , F' (x) = f(x). La fonction f est donc la dérivée de F. Nous pouvons
aussi dire que F est une primitive de f sur IR.
Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I de IR.
Une fonction F est une primitive de f sur I lorsqu’elle est dérivable sur I et que F' = f.
Théorème : (admis) Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.
Théorème : Soit f une fonction continue sur un intervalle I et soit F une primitive de f sur I.
Alors f admet une infinité de primitives sur I de la forme : G(x) = F(x) + C où C est une constante réelle.
Preuve :
Théorème : Soit f une fonction admettant des primitives sur I. Pour deux nombres réels x0 et y0 donnés, avec x0 ∈ I,
il existe une et une seule primitive G de f vérifiant G(x0) = y0
Preuve :
Exemple : Soit la fonction f définie sur IR par : f(x) = 12x2 – 7 .
Une primitive de f est : F(x) = 4x3 – 7x .
L’ensemble des primitives de f est de la forme : G(x) = 4x3 – 7x + C où C∈ IR.
Cherchons l’unique primitive de f qui prenne la valeur 0 quand x prend la valeur 1 :
On cherche C tel que G(1) = 0 : c’est C=3. La primitive cherchée est donc : G(x) = 4x3 – 7x + 3.
2. OPÉRATIONS SUR LES PRIMITIVES
Somme : Soit F et G des primitives de f et g sur un intervalle I, alors F + G est une primitive de f + g sur I.
Produit par un nombre réel : Si F est une primitive de f sur I et a un nombre réel alors aF est une primitive de af
Exemple : Cherchons une primitive de f définie sur ]0 ; +∞[ par : f(x) = x2 + 5x – 3.
1
1
5
Une primitive de x2 : x3 /// Une primitive de x : x2 donc une primitive de 5x : x2 ///
3
2
2
1 3 5 2
Une primitive de f(x) est donc : F(x) = x + x – 3x
2
3
-1-
Une primitive de –3 : –3x
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3. TABLEAUX ET CALCULS DE PRIMITIVES
Les numéros des exemples correspondent aux numéros des formules dans les tableaux.
La fonction u est une fonction de la variable réelle x définie et dérivable sur un intervalle Iu.
A. PUISSANCES
Numéro
Fonction
Primitive
Domaine de validité
1
a
ax
IR
2
xn , n ∈ IN
xn+1
n+1
IR
cas particulier de 2
(n = 1)
x
x2
2
IR
3
1
, n ∈ IN et n ≠ 1
xn
cas particulier de 3
(n = 2)
1
x2
–
1
(n–1)xn–1
IR*
1
x
IR*
–
Exemples :
1 et 2. Soit f(x) =6x3 – 7x2 + 12x définie sur IR alors : F(x) =
F(x) =
3 5
Soit f(x) = – 3 + 7
x x
3.
définie sur IR+* alors :
F(x) =
F(x) =
Numéro
Fonction
Primitive
Domaine de validité
4
u ′u n , n ∈ IN
un+1
n+1
Iu
cas particulier de 4
(n = 1)
u ′u
u2
2
Iu
u′
, n ∈ IN et n ≠ 1
un
u′
u2
5
cas particulier de 5
(n = 2)
−
1
( n − 1)u n − 1
Iu ∩ {u ≠ 0}
1
u
Iu ∩ {u ≠ 0}
–
Exemples :
4.
Soit la fonction f définie sur IR par : f(x) = 3(1 – 2x)3
En posant u(x) = 1 – 2x on constate que l’on n’a pas exactement u ′u 3 (Il faut donc ajuster la constante
multiplicative). On peut présenter le calcul dans un tableau :
Fonction
×
Primitive
(1 – 2x)4
4
–2(1 – 2x)3
×
3(1 – 2x)3
Alors les primitives sont : F(x) =
-2-
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5
(4 – 2x)2
u′
En posant u(x) = 4 – 2x on constate que l’on a pas exactement 2 , on utilise le tableau :
u
Fonction
Primitive
–2
1
–
×
(4 – 2x)2
4 – 2x
×
5
(4 – 2x)2
5.
Soit la fonction f définie sur ]2 ; +∞[ par : f(x) =
Alors les primitives sont : F(x) =
B. AVEC LA FONCTION EXPONENTIELLE
Numéro
Fonction
Primitive
Domaine de validité
6
ex
ex
IR
7
u ′e u
eu
Iu
Exemples :
6.
Les primitives sur IR de : f(x) = –5ex sont les fonctions : F(x) =
2
Les primitives sur IR de : f(x) = − 3 xe x sont les fonctions : F(x) =
7.
C. AVEC LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Numéro
Fonction
1
x
u′
si u > 0
u
u′
si u < 0
u
8
9
10
Primitive
Domaine de validité
ln x
]0 ; +∞[
ln ( u )
Iu si u >0
ln ( – u )
Iu si u < 0
Exemples :
8.
3
Sur ]0 ; +∞[ , les primitives de f(x) = – sont : F(x) =
x
9.
Soit f(x) =
Sur cet intervalle : x + 5
10.
Soit f(x) =
Sur cet intervalle : x + 5
2
définie sur ]–5 ; +∞[
x+5
. Donc les primitives sont : F(x) =
2
définie sur ]–∞ ; –5[
x+5
. Donc les primitives sont : F(x) =
C. AVEC LES FONCTIONS CIRCULAIRES
Numéro
11
12
13
14
15
Fonction
cos x
sin x
1 + tan2 x
u’ cos (u)
u’ sin (u)
Primitive
sin x
– cos x
tan x
sin (u)
– cos (u)
-3-
Domaine de validité
IR
IR
x ≠ π/2 + kπ , k ∈ZZ
IR
IR
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Exemples :
11.
Les primitives sur IR de : f(x) = 7 cos x sont de la forme : F(x) =
12.
Les primitives sur IR de : f(x) = 9 sin x sont de la forme : F(x) =
14.
π
Les primitives sur IR de : f(x) = 2 cos (3x – ) sont de la forme : F(x) =
6
15.
π
Les primitives sur IR de : f(x) = 5 sin (2x – ) sont de la forme : F(x) =
4
D. AVEC LA FONCTION RACINE CARRÉE
Numéro
16
17
Fonction
1
x
u’
u
Primitive
Domaine de validité
2 x
]0 ; +∞[
2 u
Iu si u >0
Exemples :
16.
Sur ]0 ; +∞[ , les primitives de f(x) = –
17.
Sur IR les primitives de f(x) =
3
sont : F(x) =
x
3x
sont : F(x) =
x2 + 1
4. EXERCICES
A. Calculer les primitives des fonctions suivantes :
1
1
1
b(x) = x5 – x3 – x + 2 sur IR
a(x) = –2x3 – 5x2 + x + 7 sur IR
3
2
4
1 2
2 3
c(x) = 3 – 2 + 3
sur IR*
d(x) = 2x – 7 + 4 – 5 sur IR*
x x
x x
e(x) = (x + 7)2
sur IR
f(x) = (2x – 1)4
sur IR
–1
3
g(x) = –3(1 – 2x)
sur IR
h(x) =
sur ]7; +∞[
(x – 7)2
3x
i(x) = 2
sur ]–∞; 2[
j(x) = (3x3 – 2x + 2)99 sur IR
(x – 2)3
5
o(x) = – ex
sur IR
p(x) = –3 e2x
sur IR
3
2
q(x) = 3x
sur IR
r(x) = – 5 cos x
sur IR
e
π
3
π
s(x) = sin x
sur IR
t(x) =
sur IR \ { + kπ, k ∈ZZ}
4
cos2 x
2
1 π
3
π
u(x) = –6 sin ( x – ) sur IR
v(x) =
cos (4x + ) sur IR
2 6
2
2
7
5 sin x
w(x) = –
sur ]0 ; +∞[
y(x) =
sur IR
x
cos x + 2
B. FONCTIONS CIRCULAIRES
Soient f et g les fonctions définies sur IR par : f(x) = cos x cos 2x et g(x) = sin x sin 2x
1. Vérifier que la fonction f – g s’écrit sous la forme cos (u) où u est une fonction que l’on déterminera.
2. En déduire une primitive de f – g sur IR.
3. Déterminer une primitive de f + g sur IR.
4. En déduire les primitives de f et g sur IR.
-4-
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