primitives d`une fonction dérivable 1. définitions et théoremes

DMartin_LAH
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PRIMITIVES D’UNE FONCTION DÉRIVABLE
1. DÉFINITIONS ET THÉOREMES
Exemple : Soient les fonctions définies sur IR par : f(x) = 6x – 5 et F(x) = 3x
2
– 5x + 3 .
On peut vérifier que pour tout nombre réel x , F' (x) = f(x). La fonction f est donc la dérivée de F. Nous pouvons
aussi dire que F est une primitive de f sur IR.
Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I de IR.
Une fonction F est une primitive de f sur I lorsqu’elle est dérivable sur I et que F' = f.
Théorème : (admis) Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.
Théorème : Soit f une fonction continue sur un intervalle I et soit F une primitive de f sur I.
Alors f admet une infinité de primitives sur I de la forme : G(x) = F(x) + C où C est une constante réelle.
Preuve :
Théorème : Soit f une fonction admettant des primitives sur I. Pour deux nombres réels x
0
et y
0
donnés, avec x
0
∈
I,
il existe une et une seule primitive G de f vérifiant G(x
0
) = y
0
Preuve :
Exemple : Soit la fonction f définie sur IR par : f(x) = 12x
2
– 7 .
Une primitive de f est : F(x) = 4x
3
– 7x .
L’ensemble des primitives de f est de la forme : G(x) = 4x
3
– 7x + C où C∈ IR.
Cherchons l’unique primitive de f qui prenne la valeur 0 quand x prend la valeur 1 :
On cherche C tel que G(1) = 0 : c’est C=3. La primitive cherchée est donc : G(x) = 4x
3
– 7x + 3.
2. OPÉRATIONS SUR LES PRIMITIVES
Somme : Soit F et G des primitives de f et g sur un intervalle I, alors F + G est une primitive de f + g sur I.
Produit par un nombre réel : Si F est une primitive de f sur I et a un nombre réel alors aF est une primitive de af
Exemple : Cherchons une primitive de f définie sur ]0 ; +∞[ par : f(x) = x
2
+ 5x – 3.
Une primitive de x
2
: 1
3 x
3
/// Une primitive de x : 1
2x
2
donc une primitive de 5x :5
2 x
2
/// Une primitive de –3 : –3x
Une primitive de f(x) est donc : F(x) = 1
3x
3
+ 5
2x
2
– 3x

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3. TABLEAUX ET CALCULS DE PRIMITIVES
Les numéros des exemples correspondent aux numéros des formules dans les tableaux.
La fonction u est une fonction de la variable réelle x définie et dérivable sur un intervalle I
u
.
A. PUISSANCES
Numéro Fonction Primitive Domaine de validité
1 a a x IR
2 x
n
, n
∈
IN x
n+1
n+1 IR
cas particulier de 2
(n = 1) x x
2
2 IR
3 1
x
n
, n
∈
IN et n ≠
≠≠
≠ 1 – 1
(n–1)x
n–1
IR
*
cas particulier de 3
(n = 2) 1
x
2
– 1
x IR
*
Exemples :
1 et 2. Soit f(x) =6x
3
– 7x
2
+ 12x définie sur IR alors : F(x) =
F(x) =
3. Soit f(x) = –3
x
3
+ 5
x
7
définie sur IR
+*
alors : F(x) =
F(x) =
Numéro Fonction Primitive Domaine de validité
4
n
uu′, n
∈
IN u
n+1
n+1 I
u
cas particulier de 4
(n = 1)
uu
′
u
2
2 I
u
5
n
u
u
′
, n
∈
IN et n ≠
≠≠
≠ 1
1
)1( 1
−
−−
−
−
−−
−
−
−−
−
n
un
I
u
∩ {u ≠ 0}
cas particulier de 5
(n = 2)
2
u
u
′
– 1
u I
u
∩ {u ≠ 0}
Exemples :
4. Soit la fonction f définie sur IR par : f(x) = 3(1 – 2x)3
En posant u(x) = 1 – 2x on constate que l’on n’a pas exactement
3
uu′ (Il faut donc ajuster la constante
multiplicative). On peut présenter le calcul dans un tableau :
Fonction Primitive
× –2(1 – 2x)3
(
1
–
2
x
)
4
4
×
3(1 – 2x)3
Alors les primitives sont : F(x) =

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5. Soit la fonction f définie sur ]2 ; +∞[ par : f(x) = 5
(4 – 2x)
2
En posant u(x) = 4 – 2x on constate que l’on a pas exactement 2
u
u
′
, on utilise le tableau :
Fonction Primitive
×
–
2
(4 – 2 x )
2
–
1
4 – 2 x
×
5
(4 – 2 x )
2
Alors les primitives sont : F(x) =
B. AVEC LA FONCTION EXPONENTIELLE
Numéro Fonction Primitive Domaine de validité
6 e
x
e
x
IR
7
u
eu′ e
u
I
u
Exemples :
6. Les primitives sur IR de : f(x) = –5 e
x
sont les fonctions : F(x) =
7. Les primitives sur IR de : f(x) =
2
3
x
xe−sont les fonctions : F(x) =
C. AVEC LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Numéro Fonction Primitive Domaine de validité
8 1
x ln x ]0 ; +
∞ [
9
u
u
′
si u > 0 ln ( u )
I
u
si u >0
10
u
u
′
si u < 0 ln ( – u )
I
u
si u < 0
Exemples :
8. Sur ]0 ; +∞[ , les primitives de f(x) = – 3
x sont : F(x) =
9. Soit f(x) = 2
x + 5 définie sur ]–5 ; +∞[
Sur cet intervalle : x + 5 . Donc les primitives sont : F(x) =
10. Soit f(x) = 2
x + 5 définie sur ]–∞ ; –5[
Sur cet intervalle : x + 5 . Donc les primitives sont : F(x) =
C. AVEC LES FONCTIONS CIRCULAIRES
Numéro Fonction Primitive Domaine de validité
11 cos x sin x
IR
12 sin x – cos x
IR
13 1 + tan
2
x tan x
x
≠
π/2 + kπ , k
∈
ZZ
14 u’ cos (u) sin (u)
IR
15 u’ sin (u) – cos (u)
IR

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Exemples :
11. Les primitives sur IR de : f(x) = 7 cos x sont de la forme : F(x) =
12. Les primitives sur IR de : f(x) = 9 sin x sont de la forme : F(x) =
14. Les primitives sur IR de : f(x) = 2 cos (3x – π
6) sont de la forme : F(x) =
15. Les primitives sur IR de : f(x) = 5 sin (2x – π
4) sont de la forme : F(x) =
D. AVEC LA FONCTION RACINE CARRÉE
Numéro Fonction Primitive Domaine de validité
16
1
x 2 x ]0 ; +
∞ [
17 u’
u 2 u I
u
si u >0
Exemples :
16. Sur ]0 ; +∞[ , les primitives de f(x) = – 3x sont : F(x) =
17. Sur IR les primitives de f(x) = 3x
x
2
+ 1 sont : F(x) =
4. EXERCICES
A. Calculer les primitives des fonctions suivantes :
a(x) = –2x
3
– 5x
2
+ x + 7 sur IR b(x) = 1
3x
5
– 1
2x
3
– 1
4x + 2 sur IR
c(x) = 3 – 1
x
2
+ 2
x
3
sur IR
*
d(x) = 2x – 7 + 2
x
4
– 3
x
5
sur IR
*
e(x) = (x + 7)
2
sur IR f(x) = (2x – 1)
4
sur IR
g(x) = –3(1 – 2x)
3
sur IR h(x) = –1
(x – 7)
2
sur ]7; +∞[
i(x) = 3x
(x
2
– 2)
3
sur ]–∞; 2[
j(x) = (3x
3
– 2x + 2)
99
sur IR
o(x) = – 5
3 e
x
sur IR p(x) = –3 e
2x
sur IR
q(x) = 2
e
3x
sur IR r(x) = – 5 cos x sur IR
s(x) = π
4 sin x sur IR t(x) = 3 cos
2
x sur IR \ {π 2 + kπ, k
∈
ZZ}
u(x) = –6 sin (1
2x – π 6) sur IR v(x) = 3 2 cos (4x + π 2) sur IR
w(x) = – 7x sur ]0 ; + ∞ [ y(x) = 5 sin x
cos x + 2 sur IR
B. FONCTIONS CIRCULAIRES
Soient f et g les fonctions définies sur IR par : f(x) = cos x cos 2x et g(x) = sin x sin 2x
1. Vérifier que la fonction f – g s’écrit sous la forme cos (u) où u est une fonction que l’on déterminera.
2. En déduire une primitive de f – g sur IR.
3. Déterminer une primitive de f + g sur IR.
4. En déduire les primitives de f et g sur IR.