integrales

Bac Maths + Sc exp
Intégrales
Hadj Salem Habib
Lycée pilote Médenine
1/ DEFINITION:
Rappels
1- Si une fonction est continue sur un intervalle I alors elle possède des
primitives sur cet intervalle.
2- Si F et G deux primitives d’une même fonction sur un intervalle contenant
deux éléments a et b alors G b
Ga
Fb
Fa .
Définition
(définition de l’intégrale)
I2.
Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soit a, b
b
On appelle intégrale de f entre a et b le réel
a
f x dx
Fb
Fa
avec F une primitive de f sur l’intervalle de bornes a et b.
(existenca d’une intégrale)
Remarque
Pour que
b
a
f x dx existe il suffit que f soit continue sur l’intervalle de
bornes les réels a et b. est une de ces primitives alors l’ensemble des primitives
2/ Propriétés
Soient f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle I et a, b et c sont
trois éléments de I.
P1 :
P2 :
P3 :
P4 :
P5 :
a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
f x dx
0
a
f x dx
b
c
f x dx
a
b
f x dx
a
f x dx.
f x dx
g x dx
b
f x dx
a
b
f x dx ( relation de Chasles sur les integrals )
c
b
a
fx
f x dx pour tout
P 6 : Si
x
a, b ; f x
0
P 7 : Si
x
a, b ; f x
gx
P 8 : Si
a
b
g x dx.
alors
b
a
une constante réelle.
b
alors
a
b
alors
a
b
f x dx
f x dx
a
0.
f x dx
b
a
g x dx.
|f x |dx.
3/ Intégration par parties
Théo rème
Soient u et v deux fonctions dérivables a dérivées continues sur un intervalle I.
On a :
a, b
I2;
b
a
u x v x dx
ux vx
4/ Valeur moyenne
Définition Soit f une fonction continue sur un intervalle
b
a
b
a
v x u x dx.
a, b (a b).
On appelle valeur moyenne de f sur a, b le réel f
b
1
b
a
a
f x dx.
Théo rème Soit f une fonction continue sur un intervalle a, b (a b) f est la valeur moyenne
de f sur a, b . On a : Il existe un réel c de a, b tel que f c
f.
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5/ Fonctions définies par intégrale
Théo rème Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soit a un élément de I. On a :
La fonction F : I
en a. par suite x
Théo rème
x
IR; x
f t dt est la primitive de f sur I qui s’annule
a
x
I, F x
f t dt
a
f x et F a
f est une fonction continue sur un intervalle I et a
Si
J, u x
I
ux
définie sur J par F x
ux
F x
Théo rème
I
alors la fonction F
u est une fonction dérivable sur un intervalle J
x
0.
a
f t dt
a
f t dt est dérivable sur J et x
J;
u x. fux .
(autres propriétés du calcul intégrale)
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a
P 9 : Si f est une fonction paire alors
a
a
P 10 : Si f est une fonction impaire alors
P 11 : Si f est de période T alors
a T
a
f x dx
a
a
I.
2
f x dx
f x dx
T
0
a
0
f x dx.
0.
f x dx.
6/ Calcul d’aire et de volume
Théo rème
(Calcul d’aire)
Le plan est rapporté à un repère orthogonal R
O, i , j . Soient f et g deux
fonctions continues sur a, b et de courbe respectives C f et C g dans R.
Désignons par A l’aire du domaine plan limité par C f , C g et les droites
d’équations respectives x a et x b. On a :
b
A
a
y
|f x
x
g x |dx u. a
a
x
c
x
i
avec u. a
j
.
b
Dans de figure ci-contre on a :
A
x
c
a
gx
f x dx
b
c
gx
f x dx
u. a
Cg
Cf
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Cas particulier
y
Quand f est continue et positif
Cf
sur a, b alors le domaine plan D,
limité par : C f , l’axe des abscisses
x ox et les droites d’équations
respectives x
a et x
b
pour aire A
a
0
b, a
x
x
x
a
b
f x dx ua.
remarquer que D est aussi
M x, y
P tel que
a
x
b
0
y
fx
Théo rème
Soient D et D’ deux domaines plans. Soit
Si D et D’ sont symétriques par rapport à
y
x
a
une droite.
alors D et D’ ont même aire.
(C)
: y =x
2
1
C
C
S
-1
0
1
2
y
-1
3x
a
(volumes de solides de révolution)
Théo rème
L’espace est muni d’un repère orthonormé O, i , j , k .
Soit f une fonction continue et positive sur a, b . Le volume V du solution de
revolution engendré par la rotation de l’arc
AB
M x, y tels que y
est le réel V
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b 2
f
a
f x et a
x
b
autour de l’axe O, i
x dx.
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