integrales

1/DEFINITION:
Rappel
s
1- Si une fonction est continue sur un intervalle I alors elle possède des
primitives sur cet intervalle.
2-Si F et G deux primitives d’une même fonction sur un intervalle contenant
deux éléments a et b alors GbGaFbFa.
Définition
(définition de l’intégrale)
Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soit a,bI
2
.
On appelle intégrale de f entre a et b le réel
a
b
fxdx FbFa
avec F une primitive de f sur l’intervalle de bornes a et b.
Remarque
(existenca d’une intégrale)
Pour que
a
b
fxdx existe il suffit que f soit continue sur l’intervalle de
bornes les réels a et b.
2/Propriétés
Soient f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle I et a, b et c sont
trois éléments de I.
P
1
:
a
a
fxdx 0
P
2
:
a
b
fxdx 
b
a
fxdx.
P
3
:
a
b
fxdx 
a
c
fxdx 
c
b
fxdx ( relation de Chasles sur les integrals )
P
4
:
a
b
fxdx 
a
b
gxdx 
a
b
fxgxdx.
P
5
:
a
b
fxdx  
a
b
fxdx pour tout une constante réelle.
P
6
:Si xa,b; fx0alors
a
b
fxdx 0.
P
7
:Si xa,b;fxgxalors
a
b
fxdx 
a
b
gxdx.
P
8
:Si abalors
a
b
fxdx 
a
b
|fx|dx.
3/Intégration par parties
Soient u et v deux fonctions dérivables a dérivées continues sur un intervalle I.
On a : a,bI
2
;
a
b
u
xvxdx uxvx
a
b
a
b
v
xuxdx.
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4/Valeur moyenne
Soit f une fonction continue sur un intervalle a,b(ab).
On appelle valeur moyenne de f sur a,ble réel f1
ba
a
b
fxdx.
Théo rème
Définition
Théo rème
Soit f une fonction continue sur un intervalle a,b(ab) f est la valeur moyenne
de f sur a,b. On a : Il existe un réel c de a,btel que fcf .
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est une de ces primitives alors l’ensemble des primitives

5/Fonctions définies par intégrale
Théo rème
Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soit a un élément de I. On a :
La fonction F : I IR;x 
a
x
ftdt est la primitive de f sur I qui s’annule
en a. par suite xI, Fx
a
x
ftdt fxet Fa0.
Théo rème
Si f est une fonction continue sur un intervalle I et a I
u est une fonction dérivable sur un intervalle J
xJ, uxIalors la fonction F
définie sur J par Fx
a
ux
ftdt est dérivable sur J et xJ;
F
x
a
ux
ftdt u x. fux.
Théo rème
(autres propriétés du calcul intégrale)
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a I.
P
9
:Si f est une fonction paire alors
a
a
fxdx 2
0
a
fxdx.
P
10
:Si f est une fonction impaire alors
a
a
fxdx 0.
P
11
:Si f est de période T alors
a
aT
fxdx 
0
T
fxdx.
6/Calcul d’aire et de volume
Théo rème
(Calcul d’aire)
Le plan est rapporté à un repère orthogonal RO, i , j . Soient f et g deux
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fonctions continues sur a,bet de courbe respectives C
f
et C
g
dans R.
Désignons par Al’aire du domaine plan limité par C
f
, C
g
et les droites
d’équations respectives x a et x b. On a :
A
a
b
|fxgx|dx u.aavec u.a ij .
xa x b
C
g
C
f
x
y
xc
Dans de figure ci-contre on a :
A
a
c
gxfxdx 
c
b
gxfxdx u.a
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Théo rème
Soient D et D’ deux domaines plans. Soit une droite.
Si D et D’ sont symétriques par rapport à alors D et D’ ont même aire.
0
1 2 3
1
2
-1
- 1
x
y
: y =x
(C)
C S
C
xa
ya
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Cas particulier
Quand f est continue et positif
sur a,balors le domaine plan D,
limité par : C
f
, l’axe des abscisses
x
oxet les droites d’équations
respectives x a et x b, a
pour aire A
a
b
fxdx ua.
0
x
b
xa
C
f
x
y
remarquer que D est aussi Mx,yP tel que axb
0yfx
Théo rème
(volumes de solides de révolution)
L’espace est muni d’un repère orthonormé O, i , j , k .
Soit f une fonction continue et positive sur a,b. Le volume V du solution de
revolution engendré par la rotation de l’arc
ABMx,ytels que y fxet a xbautour de l’axe O, i
est le réel V  
a
b
f
2
xdx.
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