d - Mathématiques

Notion de primitive à l’usage du physicien …
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En physique, un chapitre est consacré au « mouvement de projectiles ».
L’exercice qui suit, extrait d’un manuel de physique, définit les outils mathématiques nécessaires.
Énoncé : « Mouvement parabolique du centre d’inertie d’une boule de pétanque »
Un joueur de pétanque lance une boule de masse m d’un
point A situé à une hauteur
OA 1,5 m
h
= =
au-dessus du
sol. Le vecteur vitesse initiale
0
v
de la boule fait un angle
60
α
= °
avec l’horizontale.
La boule atteint le sol à une distance
7,2m
d
=
de la
verticale du point A.
1°) Trouver l’équation de la trajectoire du centre d’inertie G
de la boule dans le repère
(
)
O ; , ,
i j k
représenté sur le
schéma.
2°) Calculer la valeur de la vitesse initiale.
Donnée : valeur du champ de pesanteur :
2
9,8m.s
g
−
= .
Solution 1°) Le système mécanique étudié est la boule, dont on étudie le mouvement du centre d’inertie G. On se place
dans un référentiel terrestre, que l’on peut considérer comme galiléen.
Forces exercées sur la boule :
• Son poids
P m g
= , vertical, vers le bas, de valeur
P m g
=
• Les forces exercées par l’air : la poussée d’Archimède et la force de frottement sont négligeables par rapport au
poids.
On rappelle que le point mobile G est repéré à l’instant t par le vecteur position
(
)
OG ; ;
x y z
. Les vecteurs vitesse
et accélération du point G à l’instant t sont alors respectivement définis par ; ;
x y z
dx dy dz
v v v v
dt dt dt
= = =
et
; ;
y
x
z
x y z
dv
dv
dv
a a a a
dt dt dt
= = = . D’après la deuxième loi de NEWTON :
ext
F m a
= . On obtient
g a
=
.
• De
(
)
0; 0;
x y z
a a a a g
= = = −
,
on déduit :
(
)
1 2 3
; ;
x y z
v v C v C v g t C
= = = − + .
La vitesse initiale est
(
)
0 0 0
0; cos ; sinv v v
α α
.
D’où :
(
)
0 0
0 ; cos ; sin
x y z
v v v v v g t v
α α
= = = − + .
• De
(
)
0 0
0 ; cos ; sin
x y z
v v v v v g t v
α α
= = = − + ,
on déduit :
( ) ( )
2
1 0 2 0 3
1
OG ; cos ; sin
2
C v t C g t v t C
α α + − + + .
La position initiale est donnée par
(
)
OA 0; 0;
h
.
On obtient finalement :
( ) ( )
2
0 0
1
OG 0; cos ; sin
2
v t g t v t h
α α
− + +
.
Le mouvement se produit dans le plan yOz d’équation
0
x
=
et, dans le repère
(
)
O ; ,
j k
, l’équation de la trajectoire est
( )
( )
2
2
0
tan
2 cos
g
z y y h
v
α
α
= − + +
.
2°) La boule atteint le sol au point de coordonnées
7,2
y d
= =
m et
0
z
=
.
À partir de l’équation de la trajectoire, on obtient
( )
2
02
2cos tan
g d
v
d h
α α
=
+
, ce qui donne
1
0
8,5m.s
v
−
= .
Les coordonnées du vecteur
v
, fonctions de t, sont des
primitives des coordonnées du vecteur
a
.
Chacune de ces coordonnées est alors définie à une constante
près, correspondant aux conditions initiales.
Les coordonnées du vecteur
OG
,
fonctions de t, sont des primitives des
coordonnées du vecteur
v
.

Notion de primitive à l’usage du physicien …
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Les encadrés précédents mettent clairement en évidence les notions à mettre en place en mathématiques pour que les
élèves puissent aborder l’étude du mouvement de projectiles en physique.
L’exercice a montré que les fonctions mises en œuvre en physique sont très simples. Pour ces fonctions, l’existence des
primitives va de soi et les calculs sont relativement faciles.
On pourra donc retenir l’idée suivante :
On peut rentrer dans l’étude des primitives en mathématiques avec des objectifs et des exigences très modestes.
Les élèves peuvent alors se concentrer sur le sens et la nature des objets mathématiques, plutôt que sur les
difficultés techniques.
Dans un premier temps, on se limitera à :
• donner la définition d’une primitive F d’une fonction f sur un intervalle I
• démontrer que, si F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle I, alors les primitives de f sur I sont les
fonctions G définies sur I par
G( ) F( ) C
x x
= +
, où C est un nombre réel
• déterminer une primitive sur R des fonctions du type
n
x x
, où n est un entier naturel non nul
• utiliser les règles de dérivation (somme de fonctions et produit d’une fonction par une constante) pour
rechercher une primitive de fonctions polynômes
• rechercher une primitive particulière (on pensera à prendre pour variable t)
• exercer les élèves à la recherche d’une fonction f deux fois dérivable sur R , dont la dérivée seconde est
constante, connaissant les nombres
(0)
f
et
'(0)
f .
Un exercice comme le suivant permet de préparer les élèves aux calculs faits en mécanique.
L’espace est rapporté à un repère
(
)
O ; , ,
i j k
.
Un point mobile M est repéré à l’instant t par le vecteur position
(
)
OM ( ); ( ); ( )
x f t y g t z h t
= = = , où f, g et
h sont des fonctions deux fois dérivables sur l’intervalle
[
[
0;
+∞
.
Les vecteurs vitesse et accélération à l’instant t sont respectivement définis par
(
)
( ) '( ); '( ) ; '( )
v t f t g t h t
et
(
)
(
)
''( ); ''( ); ''( )
a t f t g t h t
.
Déterminer les coordonnées du point M à l’instant t sachant que, pour tout
0
t
≥
, on a
(
)
(
)
0; 0; 12
a t et
qu’à l’instant
0
t
=
, le mobile part du point
(
)
0
M 0; 1; 1
−
avec une vitesse initiale
(
)
(
)
0 1; 0; 3
v .
Dans notre progression concertée, l’étude décrite ci-dessus fait l’objet de la semaine 15. Elle est complétée semaine 24
par le théorème fondamental de l’intégration, qui permet en particulier de prouver que toute fonction continue sur un
intervalle admet des primitives. Dans le but de les « faire vivre » entre les semaines 15 et 24, on revisitera régulièrement
les primitives dans des situations variées permettant de les enrichir de manière très progressive.