4.1. CALCUL DES VARIATIONS 1
4.1 Calcul des variations
4.1.1 Minimiser la longueur d’arc
Un exemple typique de probl`eme est celui qui concerne les arcs de courbe param´etr´ees joignant deux points
Aet Bdu plan. Quelle est l’arc de longueur minimum ? R´eponse : le segment de droite !
Posons le probl`eme. Si l’arc est donn´e par f:t7→ (x(t), y(t)) t∈[a, b], et f(a) = A, f(b) = B, on sait que
la longueur de l’arc est
L=Zb
apx0(t)2+y0(t)2dt
Le probl`eme pos´e revient donc a minimiser cette int´egrale relativement `a la ”collection” des arcs d’extr´emit´es
Aet B.
Proposition 4.1.1. Pour tout arc comme indiqu´e ci-dessus, on a
Zb
apx0(t)2+y0(t)2dt ≥ kB−Ak
avec ´egalit´e ssi l’arc est le segment de droite.
D´emonstration : On peut choisir les coordonn´ees de sorte que A= (α, 0), B = (β, 0), α < β. Alors
Zb
apx0(t)2+y0(t)2dt ≥Zb
a|x0(t)|dt ≥Zb
a
x0(t)dt =x(B)−x(A) = β−α
L’´egalit´e impose `a avoir l’´egalit´e dans les deux in´egalit´es, soit y0(t) = 0 pour tout tet |x0(t)|=x0(t). Donc
y(t) est constante et x(t) est croissante. Comme y(a) = y(b) = 0, on voit que y(t) = 0. Donc la courbe
param´etr´ee qui r´ealise le minimum est t∈[a, b]7→ (x(t),0). C’est le segment de droite [A, B] avec une certaine
param´etrisation.
Remarque : Si on appelle ´energie de l’arc param´etr´e γ(t) = (x(t), y(t)) sur [0,1] la quantit´e (d´ependant du
param´etrage contrairement `a la longueur)
E(γ) = Z1
0
(x0(t)2+y0(t)2)dt
une preuve similaire (la faire) montrerait que l’arc param´etr´ee d’´energie minimale entre Aet Best le segment
entre Aet Bparcouru `a vitesse constante.
4.1.2 Courbe de moindre ´energie dans une famille
Soit la famille des courbes param´etr´ees γsd´ependant du param`etre ssuivante t7→ (t, ys(t)) d´efinie sur [0,1]
o`u ys(t) = 3st2+t. On cherche dans cette famille la courbe (s’il y en a une) d’´energie minimale. Ceci revient `a
chercher le minimum de la fonction de ssuivante :
ϕ(s) = E(γs) = Z1
0
(1 + (1 + 6st)2)dt
Un calcul facile donne ϕ(s) = 12s2+ 6s+ 2 qui a un minimum pour ϕ0(s) = 24s+ 6 = 0 c’est-`a-dire pour
s=−1/4. Donc la courbe de la famille qui a l’´energie minimale est γ−1/4d’´energie ϕ(−1/4) = 5/4.
Dans cet exemple, on aurait pu calculer ϕ0(s) en d´erivant l’int´egrale E(γs) d´ependant du param`etre ssous
le signe somme ce qui aurait donn´e aussi :
Z1
0
d
ds(1 + (1 + 6st)2)dt =Z1
0
12t(1 + 6st)dt = 24s+ 6
mais cette fa¸con l`a de calculer ϕ0(s) d´epend du r´esultat g´en´eral qui suit.
4.1.3 D´eriv´ee d’une int´egrale d´ependant d’un param`etre
Soit f(t, s) une fonction de deux variables qui sera suppos´ee de classe C2et d´efinie sur [a, b]×[α, β]. On
consid`ere la fonction de s(le param`etre) d´efinie par
ϕ(s) = Zb
a
f(t, s)dt