4.1 Calcul des variations

4.1. CALCUL DES VARIATIONS 1
4.1 Calcul des variations
4.1.1 Minimiser la longueur d’arc
Un exemple typique de probl`eme est celui qui concerne les arcs de courbe param´etr´ees joignant deux points
Aet Bdu plan. Quelle est l’arc de longueur minimum ? R´eponse : le segment de droite !
Posons le probl`eme. Si l’arc est donn´e par f:t7→ (x(t), y(t)) t∈[a, b], et f(a) = A, f(b) = B, on sait que
la longueur de l’arc est
L=Zb
apx0(t)2+y0(t)2dt
Le probl`eme pos´e revient donc a minimiser cette int´egrale relativement `a la ”collection” des arcs d’extr´emit´es
Aet B.
Proposition 4.1.1. Pour tout arc comme indiqu´e ci-dessus, on a
Zb
apx0(t)2+y0(t)2dt ≥ kB−Ak
avec ´egalit´e ssi l’arc est le segment de droite.
D´emonstration : On peut choisir les coordonn´ees de sorte que A= (α, 0), B = (β, 0), α < β. Alors
Zb
apx0(t)2+y0(t)2dt ≥Zb a|x0(t)|dt ≥Zb a
x0(t)dt =x(B)−x(A) = β−α
L’´egalit´e impose `a avoir l’´egalit´e dans les deux in´egalit´es, soit y0(t) = 0 pour tout tet |x0(t)|=x0(t). Donc
y(t) est constante et x(t) est croissante. Comme y(a) = y(b) = 0, on voit que y(t) = 0. Donc la courbe
param´etr´ee qui r´ealise le minimum est t∈[a, b]7→ (x(t),0). C’est le segment de droite [A, B] avec une certaine
param´etrisation.
Remarque : Si on appelle ´energie de l’arc param´etr´e γ(t) = (x(t), y(t)) sur [0,1] la quantit´e (d´ependant du
param´etrage contrairement `a la longueur)
E(γ) = Z1
0
(x0(t)2+y0(t)2)dt
une preuve similaire (la faire) montrerait que l’arc param´etr´ee d’´energie minimale entre Aet Best le segment
entre Aet Bparcouru `a vitesse constante.
4.1.2 Courbe de moindre ´energie dans une famille
Soit la famille des courbes param´etr´ees γsd´ependant du param`etre ssuivante t7→ (t, ys(t)) d´efinie sur [0,1]
o`u ys(t) = 3st2+t. On cherche dans cette famille la courbe (s’il y en a une) d’´energie minimale. Ceci revient `a
chercher le minimum de la fonction de ssuivante :
ϕ(s) = E(γs) = Z1
0
(1 + (1 + 6st)2)dt
Un calcul facile donne ϕ(s) = 12s2+ 6s+ 2 qui a un minimum pour ϕ0(s) = 24s+ 6 = 0 c’est-`a-dire pour
s=−1/4. Donc la courbe de la famille qui a l’´energie minimale est γ−1/4d’´energie ϕ(−1/4) = 5/4.
Dans cet exemple, on aurait pu calculer ϕ0(s) en d´erivant l’int´egrale E(γs) d´ependant du param`etre ssous
le signe somme ce qui aurait donn´e aussi :
Z1
0
d
ds(1 + (1 + 6st)2)dt =Z1
0
12t(1 + 6st)dt = 24s+ 6
mais cette fa¸con l`a de calculer ϕ0(s) d´epend du r´esultat g´en´eral qui suit.
4.1.3 D´eriv´ee d’une int´egrale d´ependant d’un param`etre
Soit f(t, s) une fonction de deux variables qui sera suppos´ee de classe C2et d´efinie sur [a, b]×[α, β]. On
consid`ere la fonction de s(le param`etre) d´efinie par
ϕ(s) = Zb
a
f(t, s)dt

2
On dit que ϕ(s) est d´efinie comme int´egrale d´ependant du param`etre s. La question qui se pose si l’on veut
´etudier les variations et les extrema de ϕ(s) est de savoir si ϕ(s) est d´erivable. La r´eponse est positive dans le
r´esultat suivant
Proposition 4.1.2. (D´erivation sous signe somme ) Soit f(t, s)une fonction de classe C2, la fonction
ϕ(s) = Zb
a
f(t, s)dt est d´erivable et sa d´eriv´ee est donn´ee par la formule de d´erivation sous signe somme :
ϕ0(s) = Zb
a
∂f
∂s (t, s)dt
D´emonstration : Soit s0∈[α, β]. La formule de Taylor nous dit que ϕ(s0+h)−ϕ(s0) = ∂f
∂s (t, s0)h+∂2f ∂s2(t, c(t))h2
o`u c(t)∈[α, β]. Nous admettrons que la fonction continue ∂2f
∂s2est born´ee sur [a, b]×[α, β] ce qui permet de
v´erifier en divisant par hque ϕ0(s0) = lim
s→s0
ϕ(s0+h)−ϕ(s0)
h=∂f ∂s (t, s0).
4.1.4 Equation d’Euler-Lagrange
Soit pour simplifier un arc γqui repr´esente le graphe d’une fonction t7→ y(t) d´efinie sur [a, b]. Il joint les
points A= (a, y(a)) et B= (b, y(b)). On forme si f=f(x, y, z) : U⊂R3→Rest une fonction avec des d´eriv´ees
partielles continues `a l’ordre deux, l’int´egrale
I(γ) = Zb
a
f(t, y(t), y0(t))dt
On dit que f(x, y, z) est le Lagrangien du probl`eme. On cherche `a minimiser I, c’est `a dire trouver la fonction
y0(t) qui minimise l’int´egrale. On note I=I(y) l’int´egrale, faisant valoir le fait que la ”variable” est la fonction
y(t). On sait que dans le cas classique un extremum atteint en y0doit s’accompagner de
dI
dy = 0
le symbole dn’est pas une d´erivation, car la variable yn’est pas un scalaire, mais une fonction.
Pour avoir la r´eponse, on va perturber y0et demander que I(y0) soit un minimum. On consid`ere une fonction
d’une variable η(t) de classe C2, d´efinie sur [a, b], et qui satisfait `a η(a) = η(b) = 0. Cette fonction ´etant fix´ee,
on consid`ere l’int´egrale d´ependant du param`etre s:
ϕ(s) = Zb
a
f(t, y0(t) + sη(t), y0
0(t) + sη0(t))dt
Si y0est la fonction qui minimise I(y), ceci veut dire en particulier que ϕ(s) est minimale en s= 0. Mais
l’int´egrale ϕ(s) d´ependant du param`etre sest d´erivable et a pour d´eriv´ee
ϕ0(s) = Zb
a
∂
∂s (f(t, y0(t) + sη(t), y0
0(t) + sη0(t)))dt
On a :
∂
∂s (f(t, y0(t)+sη(t), y0
0(t)+sη0(t))) = η(t)∂f
∂y (t, y0(t)+sη(t), y0
0(t)+sη0(t))+η0(t)∂f
∂z (t, y0(t)+sη(t), y0
0(t)+sη0(t))
Donc
ϕ0(0) = Zb
a
η(t)∂f
∂y (t, y0(t), y0
0(t)) dt +Zb
a
η0(t)∂f
∂z (t, y0(t), y0
0(t)) dt
Par int´egration par parties, on a :
Zb
a
η0(t)∂f
∂z (t, y0(t), y0
0(t)) dt =hη(t)∂f
∂z (t, y0(t), y0
0(t))ib
a−Zb
a
η(t)d
dt
∂f
∂z (t, y0(t), y0
0(t)dt
et donc
ϕ0(0) = Zb
a
η(t)∂f
∂y (t, y0(t), y0
0(t)) −d
dt
∂f
∂z (t, y0(t), y0
0(t)dt

4.1. CALCUL DES VARIATIONS 3
Si donc la fonction y0r´ealise le minimum de I(y) alors pour toute fonction η(t) de classe C2, d´efinie sur
[a, b] satisfaisant `a η(a) = η(b) = 0, on a
Zb
a
η(t)∂f
∂y (t, y0(t), y0
0(t)) −d
dt
∂f
∂z (t, y0(t), y0
0(t)dt = 0
Une telle propri´et´e entraine que pour tout t∈[a, b]
ψ(t) = ∂f
∂y (t, y0(t), y0
0(t)) −d
dt
∂f
∂z (t, y0(t), y0
0(t)) = 0
Ceci est facile `a voir si fet y0sont de classe C3car dans ce cas, on peut faire le choix η(t) = (t−a)2(t−b)2ψ(t)
et alors on a Zb
a
(t−a)2(t−b)2ψ2(t)dt = 0 ⇐⇒ ψ(t)=0∀t∈[a, b] car ψ(t) est continue.
Donc une fonction y0(t) qui minimise I(y) v´erifie n´ecessairement l’´equation diff´erentielle du second ordre,
dite de Euler-Lagrange :
(EL)∂f
∂y (t, y, y0)−d dt
∂f
∂z (t, y, y0)=0
Dans cette ´equation, on peut ´ecrire aussi d
dt
∂f
∂z (t, y, y0) = ∂2f ∂x∂z (t, y, y0) + y0∂2f ∂y∂z (t, y, y0) + y00 ∂2f ∂z2(t, y, y0)
Cette ´equation est simplement une condition n´ecessaire. Dans beaucoup de cas heureusement, fne d´epend
pas de t, c’est-`a-dire f=f(y, z). Alors par un calcul simple de d´eriv´ee, on note que l’´equation de dessus, jointe
`a ∂f
∂t = 0, ´equivaut `a l’´equation bien plus simple d dt y0∂f ∂z (y, y0)−f(y, y0)= 0. Donc si fne d´epend pas de t:
(EL0)y0∂f
∂z (y, y0)−f(y, y0) = Cte.
qui reste une ´equation du premier ordre qui peut ˆetre encore assez compliqu´ee ...
Exemples 4.1.3. 1) f=√1 + z2. L’´equation d’Euler-Lagrange devient
y0
p1 + y02−p1 + y02=−1 p1 + y02= cte
c’est `a dire y0= Cte, donc y(x) = cx +d. C’est le r´esultat de la section 1.
2) La brachistochrone ou revoil`a la cyclo¨ıde f=s1 + z2
y. On obtient dans ce cas l’´equation diff´erentielle
y0=r2c−y
y.
pour une constante c. Pour avoir la solution, on fait un changement de fonction y=c(1 −cos θ) L’´equation
devient cθ0sin θ=r1 + cos θ
1−cos θ=scos2(θ
2)
sin2(θ
2)soit 2cθ0sin θ
2cos θ 2=cos θ
2
sin θ
2
, finalement θ0(t) = 1
2 sin2θ
2
qu’on peut
interpr´eter comme dt
dθ = 2csin2θ 2
La solution est t(θ) = c(θ−sin θ). Cela joint `a y=c(1 −cos θ), montre que la solution est un arc de cyclo¨ıde.
3) La cat´eno¨ıde f=yp1 + z2.
On cherche dans R3muni du rep`ere Oxyt la surface de r´evolution autour de l’axe Ot d’aire minimale parmi
toutes les surfaces reliant les deux cercles de rayon Rdans les plans t=−het t=h. Si on pose y(t) la fonction
qui d´ecrit la trace d’une telle surface dans le plan Oyt, il est facile de voir que l’aire de cette surface est donn´ee
par la formule A(y) = Rh
−h2πyp1 + y02dt. L’´equation d’Euler-Lagrange devient
yy02
p1 + y02−yp1 + y02=−y p1 + y02= Cte
dont les solutions non constantes sont y(t) = ch at
a. La constante aest d´etermin´ee par aR = ch ah.

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Figure 4.1 – Rampe de skate
Figure 4.2 – Cat´eno¨ıde
4.1.5 Principe de moindre action
Au temps t, la quantit´e
L(q, ˙q) = 1
2m˙q2−V(q, ˙q)
o`u 1
2m˙q2est l’´energie cin´etique et V(q, ˙q) l’´energie potentielle est appel´ee le lagrangien du syst`eme.
L’action de la trajectoire entre t1et t2est la somme
S=Zt2
t1
L(q, ˙q)dt
Il y a moindre action si Euler-Lagrange :
˙q∂L(q, ˙q)
∂˙q−L(q, ˙q) = Cte