1 Généralités 2 Tangentes - Site Personnel de Arnaud de Saint Julien

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©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2012-2013
Programme de colle n°8 de la semaine 11 du 26/11 au 02/12
Courbes paramétrées
Dans tout le chapitre, I désigne un intervalle et le plan R2 est muni de son repère orthonormé
−
→ −
→
canonique (O, i , j ). Les coordonnées sont relatives à ce repère.
Questions de cours :
1. Si limt→t0 (y(t) − mx(t)) = p, la droite d’équation y = mx + p est asymptote à la courbe.
2. Si M (θ0 ) n’est pas le pôle, le point n’est pas stationnaire et donc la tangente est dirigée par
le vecteur vitesse f ′ (θ0 ).
→
3. Si M (θ ) est le pôle, la tangente est dirigée par le vecteur −
u (θ ).
0
1
0
Généralités
1. Notion de fonction (vectorielle) de classe C k de R dans R2 .
2. Notion de courbe paramétrée
Notion de support, exemples, interprétation cinématique.
Ne pas confondre trajectoire et mouvement.
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Tangentes
Définition 1 Soit (I, f ) une courbe paramétrée et t0 ∈ I. On dit que (I, f ) admet une tangente
au point M (t0 ) (de paramètre t0 ) si la droite sécante à la courbe (M (t)M (t0 )) admet une «position
limite» lorsque t tend vers t0 , c’est-à-dire si pour t au voisinage de t0 , il existe un vecteur directeur
−−→
−−→ →
→
u(t) de la droite (M (t)M (t0 )) tel que lim u(t) = −
v où −
v est un vecteur non nul de R2 .
t→t0
→
Dans ce cas la droite passant par M (t0 ) et dirigée par le vecteur −
v est appelée la tangente en
M (t0 ) à la courbe (I, f ).
Proposition 2 Soit (I, f ) une courbe paramétrée de classe C k avec k > 1 et t0 ∈ I.
1. (*) Si le vecteur f ′ (t0 ) est non nul, le point M (t0 ) est dit régulier et dans ce cas la courbe
admet en M (t0 ) une tangente dirigée par le vecteur vitesse f ′ (t0 ).
2. Si le vecteur f ′ (t0 ) est nul, le point M (t0 ) est dit stationnaire (vitesse nulle). L’étude des
points stationnaires sera détaillée plus tard dans l’année à l’aide des développements limités.
On peut toutefois utiliser le résultat suivant :
y ′ (t)
Si lim ′
= l avec l ∈ R ∪ {∞}, alors la courbe (I, f ) admet en M (t0 ) une tangente dont
t→t0 x (t)
le coefficient directeur vaut l avec la convention que si l = ±∞, la tangente est verticale.
Preuve :
1. Pour tout h 6= 0, le vecteur f (t0 + h) − f (t0 ) dirige la droite (M (t0 )M (t0 + h)), donc il en
(t0 )
(t0 )
est de même de f (t0 +h)−f
. Or comme f est dérivable en t0 , on a limh→0 f (t0 +h)−f
=
h
h
′
f (t0 ) 6= 0.
Attention : la classification des points stationnaires n’a pas été traitée et sera faîte plus tard
à l’aide des développements limités.
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Branches infinies
Définition 3 Soit (I, f ) une courbe paramétrée et t0 ∈ I ou une borne de I. On dit que (I, f )
admet une branche infinie en t0 si le «point M de paramètre t s’éloigne indéfiniment lorsque t tend
vers t0 », c’est-à-dire si :
−−−−→
lim kOM (t)k = lim kf (t)k = +∞.
t→t0
t→t0
Si l’une des fonctions composantes de f tend vers ∞, alors (I, f ) admet une branche infinie.
⊲ Si limt→t0 x(t) = ±∞ et limt→t0 y(t) = l ∈ R, alors la branche infinie est une asymptote
horizontale.
⊲ Si limt→t0 x(t) = ±l ∈ R et limt→t0 y(t) = ±∞, alors la branche infinie est une asymptote
verticale.
⊲ Si limt→t0 x(t) = ±∞ et limt→t0 y(t) = ±∞, alors on compare x à y en déterminant (lorsqu’elle existe)
y(t)
lim
= m.
t→t0 x(t)
– si m = ±∞, alors la branche infinie est une branche parabolique d’axe vertical.
– si m = 0, alors la branche infinie est une branche parabolique d’axe horizontal.
– si m ∈ R∗ , alors on cherche la limite de limt→t0 (y(t) − mx(t)) = p.
Si p ∈ R, la branche infinie est l’asymptote oblique d’équation y = mx + p.
Si p = ±∞, la branche infinie est une branche parabolique dont l’axe a pour direction la
droite d’équation y = mx.
Preuve : (*) Traitons le cas de l’asymptote oblique. Soit ∆ la droite d’équation y = mx + p. La
|mx(t) − y(t) + p|
√
distance de M (t) à ∆ vaut d(M (t), ∆) =
. Comme limt→t0 (y(t) − mx(t)) = p,
m2 + 1
on a limt→t0 d(M (t), ∆) = 0, ce qui montre que la courbe admet ∆ comme asymptote oblique. 4
Comment tracer une courbe paramétrée ?
– On cherche l’ensemble utile pour étudier f (regarder périodicité, parité...) et on traduit en
termes de symétries.
– Deux exemples modèles
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Courbes paramétrées par l’angle polaire
→
→
On note (−
u (θ), −
v (θ)) la base polaire d’angle θ.
1. Généralités
Un point M du plan peut être repéré par ses coordonnées polaires au lieu de ses coordonnées
cartésiennes. Un cas particulier est celui où la position du point M ne dépend que de son
−
→ −−→
angle polaire θ = ( i , OM ).
−−−−→
L’affixe du point M est alors de la forme z = ρ(θ)eiθ , ce qui revient à dire que OM (θ) =
→
ρ(θ)−
u (θ).
→
Si ρ : I → R est de classe C k , on définit ainsi une courbe paramétrée par f : θ 7→ ρ(θ)−
u (θ).
On dit que (I, f ) est la courbe d’équation polaire r = ρ(θ) (un point M de coordonnées
polaires [r, θ] est sur la courbe si et seulement si r = ρ(θ)).
Une telle courbe peut toujours être décrite en coordonnées cartésiennes, en posant
x(θ) = ρ(θ) cos θ
et
y(θ) = ρ(θ) sin θ.
Vitesse et accélération dans un repère mobile (repère polaire) On a :
→
→
u (θ) + ρ(θ)−
v (θ) .
– f ′ (θ) = ρ′ (θ)−
−
→
→
′′
′′
– f (θ) = (ρ (θ) − ρ(θ)) u (θ) + 2ρ′ (θ)−
v (θ).
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On en déduit
Proposition 4
– (*) si M (θ0 ) n’est pas le pôle, le point n’est pas stationnaire et donc la tangente est dirigée
par le vecteur vitesse f ′ (θ0 ).
→
– si M (θ0 ) est le pôle, la tangente est radiale c’est à dire dirigée par le vecteur −
u (θ0 ).
Preuve :
– Comme ρ(θ0 ) 6= 0, et que les coordonnées de f ′ (θ0 ) dans la base polaire sont (ρ′ (θ0 ), ρ(θ0 )),
le vecteur vitesse f ′ (θ0 ) 6= 0 est non nul et donc il dirige la tangente.
– Si M (θ0 ) est le pôle O, alors la droite (M (θ0 )M (θ)) est la droite (OM (θ)), elle est donc
−−→ −−−→
−−→
dirigée par le vecteur u(θ). Comme limθ→θ0 u(θ) = u(θ0 ) qui est un vecteur non nul car de
−−−→
norme 1, on en déduit que la tangente en M (θ0 ) est dirigée par u(θ0 ).
En particulier, on remarque :
– les points différents du pôle sont tous réguliers
– (*) si M (θ0 ) n’est pas le pôle et ρ′ (θ0 ) = 0, alors la tangente en M (θ0 ) est orthoradiale,
→
c’est à dire dirigée par le vecteur −
v (θ0 ).
2. Tracé d’une courbe en coordonnées polaires
– On cherche l’ensemble utile... Attention aux symétries, il y a des pièges...
si ρ est T -périodique, alors pour tout θ ∈ R, le point M (θ + T ) est l’image du point M (θ)
par la rotation de centre O et d’angle T . La preuve 1
– On cherche le signe et les variations de ρ.
– On trace les tangentes.
– Pour les éventuelles branches infinies, aucune méthode propre aux courbes polaires n’a été
citée. On se ramène donc aux coordonnées cartésiennes.
−−→
−
1. On note z(θ) l’affixe du point M (θ). On a OM (θ + T ) = ρ(θ + T )→
u (θ + T ) donc z(θ + T ) = ρ(θ)ei(θ+T ) =
eiT ρ(θ)eiθ = eiT z(θ).