1 Généralités 2 Tangentes - Site Personnel de Arnaud de Saint Julien

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Programme de colle n°8 de la semaine 11 du 26/11 au 02/12
Courbes paramétrées
Dans tout le chapitre, Idésigne un intervalle et le plan R2est muni de son repère orthonormé
canonique (O, −→ i , −→ j). Les coordonnées sont relatives à ce repère.
Questions de cours :
1. Si limt→t0(y(t)−mx(t)) = p, la droite d’équation y=mx +pest asymptote à la courbe.
2. Si M(θ0) n’est pas le pôle, le point n’est pas stationnaire et donc la tangente est dirigée par
le vecteur vitesse f′(θ0).
3. Si M(θ0) est le pôle, la tangente est dirigée par le vecteur −→ u(θ0).
1 Généralités
1. Notion de fonction (vectorielle) de classe Ckde Rdans R2.
2. Notion de courbe paramétrée
Notion de support, exemples, interprétation cinématique.
Ne pas confondre trajectoire et mouvement.
2 Tangentes
Définition 1 Soit (I, f)une courbe paramétrée et t0∈I. On dit que (I, f)admet une tangente
au point M(t0)(de paramètre t0) si la droite sécante à la courbe (M(t)M(t0)) admet une «position
limite» lorsque ttend vers t0, c’est-à-dire si pour tau voisinage de t0, il existe un vecteur directeur
−−→
u(t)de la droite (M(t)M(t0)) tel que lim
t→t0
−−→
u(t) = −→ voù −→ vest un vecteur non nul de R2.
Dans ce cas la droite passant par M(t0)et dirigée par le vecteur −→ vest appelée la tangente en
M(t0)à la courbe (I, f).
Proposition 2 Soit (I, f)une courbe paramétrée de classe Ckavec k>1et t0∈I.
1. (*) Si le vecteur f′(t0)est non nul, le point M(t0)est dit régulier et dans ce cas la courbe
admet en M(t0)une tangente dirigée par le vecteur vitesse f′(t0).
2. Si le vecteur f′(t0)est nul, le point M(t0)est dit stationnaire (vitesse nulle). L’étude des
points stationnaires sera détaillée plus tard dans l’année à l’aide des développements limités.
On peut toutefois utiliser le résultat suivant :
Si lim
t→t0
y′(t)
x′(t)=lavec l∈R∪ {∞}, alors la courbe (I, f)admet en M(t0)une tangente dont
le coefficient directeur vaut lavec la convention que si l=±∞, la tangente est verticale.
Preuve :
1. Pour tout h6= 0, le vecteur f(t0+h)−f(t0) dirige la droite (M(t0)M(t0+h)), donc il en
est de même de f(t0+h)−f(t0)
h. Or comme fest dérivable en t0, on a limh→0f(t0+h)−f(t0) h=
f′(t0)6= 0.
Attention : la classification des points stationnaires n’a pas été traitée et sera faîte plus tard
à l’aide des développements limités.

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3 Branches infinies
Définition 3 Soit (I, f)une courbe paramétrée et t0∈Iou une borne de I. On dit que (I, f )
admet une branche infinie en t0si le «point Mde paramètre ts’éloigne indéfiniment lorsque ttend
vers t0», c’est-à-dire si :
lim
t→t0k−−−−→
OM(t)k= lim
t→t0kf(t)k= +∞.
Si l’une des fonctions composantes de ftend vers ∞, alors (I, f)admet une branche infinie.
⊲Si limt→t0x(t) = ±∞ et limt→t0y(t) = l∈R, alors la branche infinie est une asymptote
horizontale.
⊲Si limt→t0x(t) = ±l∈Ret limt→t0y(t) = ±∞, alors la branche infinie est une asymptote
verticale.
⊲Si limt→t0x(t) = ±∞ et limt→t0y(t) = ±∞, alors on compare xàyen déterminant (lors-
qu’elle existe)
lim
t→t0
y(t)
x(t)=m.
– si m=±∞, alors la branche infinie est une branche parabolique d’axe vertical.
– si m= 0, alors la branche infinie est une branche parabolique d’axe horizontal.
– si m∈R∗, alors on cherche la limite de limt→t0(y(t)−mx(t)) = p.
Si p∈R, la branche infinie est l’asymptote oblique d’équation y=mx +p.
Si p=±∞, la branche infinie est une branche parabolique dont l’axe a pour direction la
droite d’équation y=mx.
Preuve : (*) Traitons le cas de l’asymptote oblique. Soit ∆ la droite d’équation y=mx +p. La
distance de M(t) à ∆ vaut d(M(t),∆) = |mx(t)−y(t) + p|
√m2+ 1 . Comme limt→t0(y(t)−mx(t)) = p,
on a limt→t0d(M(t),∆) = 0, ce qui montre que la courbe admet ∆ comme asymptote oblique. 
4 Comment tracer une courbe paramétrée ?
– On cherche l’ensemble utile pour étudier f(regarder périodicité, parité...) et on traduit en
termes de symétries.
– Deux exemples modèles
5 Courbes paramétrées par l’angle polaire
On note (−→ u(θ),−→ v(θ)) la base polaire d’angle θ.
1. Généralités
Un point Mdu plan peut être repéré par ses coordonnées polaires au lieu de ses coordonnées
cartésiennes. Un cas particulier est celui où la position du point Mne dépend que de son
angle polaire θ= (−→ i , −−→ OM).
L’affixe du point Mest alors de la forme z=ρ(θ)eiθ, ce qui revient à dire que −−−−→ OM(θ) =
ρ(θ)−→ u(θ).
Si ρ:I→Rest de classe Ck, on définit ainsi une courbe paramétrée par f:θ7→ ρ(θ)−→ u(θ).
On dit que (I, f) est la courbe d’équation polaire r=ρ(θ) (un point Mde coordonnées
polaires [r, θ] est sur la courbe si et seulement si r=ρ(θ)).
Une telle courbe peut toujours être décrite en coordonnées cartésiennes, en posant
x(θ) = ρ(θ) cos θet y(θ) = ρ(θ) sin θ.
Vitesse et accélération dans un repère mobile (repère polaire) On a :
–f′(θ) = ρ′(θ)−→
u(θ) + ρ(θ)−→ v(θ) .
–f′′ (θ) = (ρ′′ (θ)−ρ(θ)) −→ u(θ) + 2ρ′(θ)−→ v(θ).

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On en déduit
Proposition 4
– (*) si M(θ0)n’est pas le pôle, le point n’est pas stationnaire et donc la tangente est dirigée
par le vecteur vitesse f′(θ0).
– si M(θ0)est le pôle, la tangente est radiale c’est à dire dirigée par le vecteur −→ u(θ0).
Preuve :
– Comme ρ(θ0)6= 0, et que les coordonnées de f′(θ0) dans la base polaire sont (ρ′(θ0), ρ(θ0)),
le vecteur vitesse f′(θ0)6= 0 est non nul et donc il dirige la tangente.
– Si M(θ0) est le pôle O, alors la droite (M(θ0)M(θ)) est la droite (OM (θ)), elle est donc
dirigée par le vecteur −−→ u(θ). Comme limθ→θ0−−→
u(θ) = −−−→ u(θ0) qui est un vecteur non nul car de
norme 1, on en déduit que la tangente en M(θ0) est dirigée par −−−→ u(θ0).
En particulier, on remarque :
– les points différents du pôle sont tous réguliers
– (*) si M(θ0) n’est pas le pôle et ρ′(θ0) = 0, alors la tangente en M(θ0) est orthoradiale,
c’est à dire dirigée par le vecteur −→ v(θ0).
2. Tracé d’une courbe en coordonnées polaires
– On cherche l’ensemble utile... Attention aux symétries, il y a des pièges...
si ρest T-périodique, alors pour tout θ∈R, le point M(θ+T) est l’image du point M(θ)
par la rotation de centre Oet d’angle T. La preuve 1
– On cherche le signe et les variations de ρ.
– On trace les tangentes.
– Pour les éventuelles branches infinies, aucune méthode propre aux courbes polaires n’a été
citée. On se ramène donc aux coordonnées cartésiennes.
1. On note z(θ) l’affixe du point M(θ). On a −−→ OM (θ+T) = ρ(θ+T)−→ u(θ+T) donc z(θ+T) = ρ(θ)ei(θ+T)=
eiT ρ(θ)eiθ = eiT z(θ).