fonction reciproque

Lycée pilote Médenine
Fonction réciproque
Hadj Salem Habib
Définition
f étant une application d’un ensemble E dans un ensemble F.
On dit que :
f réalise une bijection de E sur F
si et seulement si
y
F ; il existe un seul x
E tel que y
VOCABULAIRE:
Soit f une bijection de I sur J. On note f
Ainsi: f 1 : J
I.
y
J ; ff
x
I ; f
1
1
y
la bijection réciproque de f.
y
fx
Théo rème
1
fx
x.
f étant une fonction définie sur un intervalle I.
si f est strictement monotone sur I alors f réalise une bijection
de I sur f(I).
Remarque importante
f est une bijection de I sur f I J
0
J
fI
0 possède un seul antécédent par f dans I
l’équation f(x) 0 admet une seule solution dans I.
Remarques
O; i ; j
est un repère orthonormé du plan P. S la symétrie axiale
d’axe :y x. On a:
S M a, b
M b, a .
L’image d’une droite D : y a (a
IR par S est la droite D’: x
a
Théo rème
Soit f une fonction strictement monotone sur un intervalle I.
Désignons par f
1
la bijection réciproque de f et par J
fI .
On a:
1 f
1
et f ont même sens de variation.
2 les courbes de f et de f 1 , dans un repère orthonormé, sont symétriques
par rapport à la droite d’équation y
3 si f est continue sur I alors f
Hadj Salem Habib
1
x dite la première bissectrice.
est aussi continue sur J
Bac Maths
(1)
f(I).
Bac Sc exp
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Fonction réciproque
Hadj Salem Habib
y
3
Cf
2
1
1
Cf
-1
0
1
3
2
4
x
-1
Théo rème
f est une bijection d’un intervalle I sur un intervalle J. Soit x 0
I et
y 0 f x 0 . On a:
si f est dérivable en x 0 et f x 0
f x0
y 0 de plus f
1
si f est dérivable sur I 0
dérivable sur f I 0
est dérivable en
1
1
f x0
y0
1
0 alors f
f f
I et f x
1
J0; f
.
I 0 alors f
0; x
J 0 et de plus x
y0
1
1
est
1
x
f f
1
x
.
3. Fonction racine nième
Définition
Théo rème
x n réalise
Soit n un entier supérieur ou égal à 2. La fonction x
x n est
une bijection de IR sur IR . La bijection réciproque de x
la fonction dite racine nième et elle est notée x
Pour tous réels positifs x et y on a :
Propriétés
n
xn
y
x
Soient deux entiers n et p tels que n
b. Alors :
n
np
n
ap ;
n
n
a
n
a;
n
y
2 et p
n
a. b
2 et deux positifs a et
n
a n b;
0.
p
n
ap ;
n p
a
np
a.
IN \ 1 et u une fonction dérivable et strictement positive
sur un intervalle I. On a:
x est continue sur 0;
et dérivable sur 0;
n
x
n
Hadj Salem Habib
a
Soient n
Théo rème
2/ La fonction x
a;
a
avec b
n
b
a
1/ La fonction x
an
n
a
b
n
n
x .
n
ux
n
1
xn
1
;
x
0.
est dérivable sur I et que
Bac Maths
de plus
(2)
n
u x
x
n
Bac Sc exp
n
ux
n 1
;
x
0.
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