exercices continuite limites 4e math

L.S.C.J.Gafsa SERIE D’EXERCICES N°2 B.Tabbabi
( limites-continuité 4è.M)
Exercice 1 :
Répondre par vrai ou faux en justifiant.
1.f est une fonction .Si la fonction est continue en un réel a alors f est continue en a.
f
2. Toute fonction polynôme de degré impaire s’annule au moins une fois dans IR.
3.
x 0
1
lim xE 0
x
4. La fonction f définie sur IR par est discontinue en tout entier relatif k.
2
f ( x ) E( x ) x E( x )  
5.On donne ,ci-dessous le tableau de variation d’une fonction f définie et continue sur IR\ .
1
a.L’équation admet dans IR\ exactement deux solutions.
( ) 0f x 
1
b. .
,1 0,f  
c.Pour tout réel x différent de 1,on a :
( ) .f x x
d.Pour tout x<1 on a :
( ) 1.f x x 
e. La courbe de f admet exactement deux asymptotes.
Exercice 2 :
On considère la fonction f définie sur par f ( x ) = .
A
3
2
1 0
1 4 x > 0
x x si x
x x si
( C ) désigne la courbe de f dans le plan muni d'un repère orthonormé .
, ,O i j
1.Calculer et .Interpréter ces résultats graphiquement.
lim ( )
xf x
( )
lim
x
f x
x
2.Montrer que ( C ) admet en + une asymptote oblique dont on donnera une équation.
3.Etudier la continuité de f en 0 puis sur .
A
4.a.Montrer que l'équation f ( x ) = 0 admet dans une solution unique .
1 , 0 
b.Montrer que .
2
1 1
c.Vérifier que pour tout réel x de on a : f ( x ) .
, 0  
21
x x x
d.En déduire que la fonction g: x est prolongeable par continuité en .
3
1x x
x
x
0 1
f
0
-1

Exercice 3 :
On considère la fonction f définie sur par
A
2
3 2
1 cos x si x < 1
x 1
f ( x )
x x
si x 1
2
( C ) est la courbe de f dans un repère orthonormé .
, ,O i j
1.Calculer et .Interpréter graphiquement ces résultats.
lim ( )
xf x
( )
lim
x
f x
x
2.On considère les fonctions u et v définies sur IR par , .
*
2
1 cos
( ) x u x x
v( x ) x 1
a.Vérifier que pour tout x <1 on a : .
2
f ( x ) u v( x )
b.Calculer et en déduire .
1
lim ( )
xu v x
1
lim ( )
x
f x
c.Montrer que f est continue en 1.
3.Calculer .Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
x
lim f ( x )
4.a.Montrer que l’équation admet dans l’intervalle une solution unique .
f ( x ) 0
2,3
b.Donner un encadrement de à 0.5 près.
c.Vérifier que .
2
21
5.Etudier chacune des limites suivantes : et .
x
x 1
lim f x 1
2
x
2 1
lim f x sin x
Exercice 4 :
Dans la figure ci-contre,on a tracé les
courbes de deux fonctions f et
( ) ( )
f g
C et C
g dans un repère orthonormé .
, ,O i j
Chacune des deux courbes admet deux
asymptotes.
1.Par lecture graphique :
a.Donner les ensembles de définitions
respectifs de chacune des fonctions f et g.
b.Donner ,par leurs équations,les
asymptotes à .
( ) ( )
f g
C et C

c.Donner , .
( )
lim ( ) , lim
x x
f x
f x x
2
lim ( ) lim ( )
x
x
g x et g x
d.Déterminer et .
2,g
,1f
e.Calculer .
0
lim ( ) lim ( )
x x
f f x et f g x
2.a.Déterminer .
f g 2,3
b.En déduire que l’équation admet dans au moins une solution.
f g( x ) 1
2,3
Exercice 5 :
Dans la figure ci-contre ,on a tracé les
courbes de deux fonctions f et g dans un
repère orthonormé
, ,O i j
.Les droites et sont des
1y
2y x  
asymptotes à ( Cf ).
.La droite est une asymptote à
1x
( Cg ).
Dans cet exercice, exploiter le graphique
et répondre aux questions.
1.Donner , ,
lim ( )
xf x
lim ( )
xf x
et .
( )
lim
x
f x
x
lim ( )
xf x x
2.Dresser le tableau de variation de f.
3.Donner , et
0,1g
1,1f
.
,1f
4.Déterminer et .
lim ( )
xg f x
1
lim ( )
x
f g x
5. On connait de plus que la droite est une asymptote à ( Cg) au voisinage de .
1y x  
Vérifier que .En déduire .
g( )
lim 1
x
x
x
( )
lim ( )
x
g x
f x
6.a.Montrer que est continue sur .Déterminer
f g
0,1
0,1f g
b.En déduire que l’équation admet dans une solution.
( ) 2f g x  
0,1
* * * * * * * *

est rapporté à un repère orthonormé direct .
, ,O u v
On note A et B les points d’affixes respectives i et –i.
A tout point M d’affixe z i,on associe le point M’ d’affixe .
1
'iz zz i
1.a.Vérifier que .
( )
'i z i zz i
b.Déterminer l’ensemble des points M d’affixes z tels que z’ est réel.
c.Déterminer l’ensemble des points M d’affixes z tels que z’ est imaginaire pur.
d.Déterminer l’ensemble des points M d’affixes z tels que |z’| = 1.
2.a.Vérifier que pour tout z on a : | z’- i| .
i
2
z i
b.En déduire que si M varie sur le cercle de centre A et de rayon ,le point M’ varie sur le même
2
cercle.
b.En déduire l’ensemble des points M d’affixe z tels que z’ est un réel négatif.
3.a.Vérifier que pour tout nombre complexe z différent de i on a :
1
'1
iz
z i iz
b.Soit un réel différent de .On pose .Montrer que z’ est réel.
2
2 ;k k  A
i
z e
c.En déduire l’ensemble sur lequel varie le point M’ lorsque M varie sur le cercle trigonométrique.

Exercice 3 : ( 6 points )
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct .
, ,O u v
Soit z un nombre complexe non nul.
On considère les points A , B , C et D d’affixes respectives
8 8
4, , .
²
A B C D
z z z z et z
z z
1.Montrer que si z est un nombre réel alors les points A,B,C et D sont alignés.
2.Dans la suite de l’exercice,on suppose que z n’est pas réel.
Montrer que ABCD est un parallélogramme si et seulement si .
3 2
4 8 8 0z z z   
3.a.Vérifier que puis résoudre dans l’équation
3 2
4 8 8 ( 2)( ² 2 4)z z z z z z      
A
.
3 2
4 8 8 0z z z   
b.En déduire les valeurs de z pour lesquelles ABCD est un parallélogramme.
voir verso
4.a.Vérifier que et que .
2C
D
A D
z
z
z z
4C
A
B D
z
z
z z