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Table des matières
1 Identités remarquables 5
1.1 Formuledubinôme ................................................. 5
1.2 Sommesremarquables ............................................... 6
1.3 Inégalitésremarquables .............................................. 6
1.4 Résolution des équations algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Formules de la géométrie analytique plane 7
2.1 Equationd’unedroite ................................................ 7
3 Progression 7
3.1 Progressionarithmétique.............................................. 7
3.2 Progressiongéométrique .............................................. 7
4 Les nombres complexes 8
4.1 Définition ....................................................... 8
4.2 Opérations....................................................... 8
4.3 Partieréelleetimaginaire ............................................. 8
4.4 Calculs......................................................... 9
4.5 Conjugué,module .................................................. 9
4.6 Racines carrées, équation du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.7 Racines carrées d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.8 Équationduseconddegré.............................................. 11
4.9 Théorème fondamental de l’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.10 Argumentettrigonométrie ............................................ 11
4.11 Formule de Moivre, notation exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.12 Racines n-ième ................................................... 12
4.13 Applications à la trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5 Formules trigonométriques 15
5.1 Définition ....................................................... 15
5.2 Formulesanglesassociés .............................................. 15
5.3 Formulesd’addition ................................................. 16
5.4 Formulesdeduplication............................................... 16
5.5 Formulesdelinéarisation.............................................. 16
5.6 Formulesdetransformation ............................................ 16
5.7 Formules de transformation de produits en sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.8 Formules de transformation de sommes en produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.9 Formuledel’angledouble.............................................. 16
5.10Formuledel’anglemoitié.............................................. 17
5.11 Formule des multiples d’un angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.12 Puissances des fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6 Formules de trigonométrie hyperboliques 17
7 Etude globale d’une fonction 19
7.1 Limitesuselles .................................................... 19
7.2 Opérationssurleslimites.............................................. 19
7.3 Dérivée......................................................... 19
7.4 Opérationsurlesdérivées ............................................. 19
7.5 Dérivées des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8 Fonctions circulaires 19
8.1 Propriétés des fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8.2 Graphe des fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9 Fonctions logarithme et exponentielle 21
9.1 Logarithme ...................................................... 21
9.2 Exponentielle..................................................... 22
9.3 Puissanceetcomparaison.............................................. 23
2

10 Fonctions circulaires inverses 23
10.1Arccosinus....................................................... 23
10.2Arcsinus ........................................................ 24
10.3Arctangente...................................................... 25
11 Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses 25
11.1 Cosinus hyperbolique et son inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
11.2 Sinus hyperbolique et son inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
11.3 Tangente hyperbolique et son inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
11.4Trigonométriehyperbolique ............................................ 27
12 Développement limité 28
12.1Développementlimité................................................ 28
12.2OpérationssurlesDL ............................................... 29
12.3Etudelocaled’unecourbe.............................................. 29
13 Intégration et dérivation 29
13.1 Primitive et intégration d’une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
13.2 Intégrationparparties............................................... 30
13.3 Changementdevariable.............................................. 30
13.4 FormuledeTaylor ................................................. 30
13.5Exempledecalculeprimitive............................................ 31
13.6Tabledecertainesprimitives............................................ 32
14 Equation différentielle 33
14.1 Equation différentielle linéaire du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
14.2 Equation différentielle linéaire du second ordre à coeffcients constants. . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
14.3 Dérivées et primitives de fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3

Formulaire réalisé par le professeur : E. Labriji,
Algèbre
1. Identités Remarquables.
2. Inégalités Remarquables.
3. Résolution des équations algébriques.
4. Progression.
5. Nombres complexes
4

Formulaire réalisé par le professeur : E. Labriji,
1 Identités remarquables
1.1 Formule du binôme
1.1.1 Factoriel d’un entier naturel
∀n∈N∗,n!=1×2×3×...×(n−1)×n.
Par convention, on pose
0! =1.
On a
n!=(n−1)!×n.
1.1.2 Le nombre de combinaisons de kéléments parmis n
Ùk
n=n(n−1)(n−2)...(n−k+1)
k!=n! k!(n−k)!.
Ùk
n+Ùk+1 n=Ùk+1
n+1.
1.1.3 Cas particuliers de la formule du binôme
(x+y)2=x2+y2+2xy.
(x−y)2=x2+y2−2xy.
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3.
(x−y)3=x3−3x2y+3xy2−y3.
(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4.
(x−y)4=x4−4x3y+6x2y2−4xy3+y4.
(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.
(x−y)5=x5−5x4y+10x3y2−10x2y3+5xy4−y5.
(x+y)6=x6+6x5y+15x4y2+20x3y3+15x2y4+6xy5+y6.
(x−y)6=x6−6x5y+15x4y2−20x3y3+15x2y4−6xy5+y6.
1.1.4 Formule du binôme
(x+y)n=xn+Ù1
nxn−1y+Ù2 nxn−2y2+Ù3 nxn−3y3+...+Ùn−1 nxyn−1+yn.
Cas particulièrs
2n= =(1+1)n=Ù0
n+Ù1 n+Ù2 n+Ù3 n+...+Ùn−1 n+Ùn n.
0= =(1+(−1))n=Ù0
n−Ù1 n+Ù2 n−Ù3 n+...+(−1)n−1Ùn−1 n+(−1)nÙn n.
Le triangle de Pascal pour calculer les coefficients Ùp
nde la formule du binôme.
Ù0
0
Ù0
1Ù1
1.
Ù0
2Ù1
2Ù2 2
Ù0
3Ù1
3Ù2 3Ù3
3
Ù0
4Ù1
4Ù2 4Ù3
4Ù4
4
Ù0
5Ù1
5Ù2 5Ù3
5Ù4
5Ù5
5
Ù0
6Ù1
6Ù2 6Ù3
6Ù4
6Ù5
6Ù6 6
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
Les résultats ci-dessous sont des cas particuliers de la formule du binôme
x2−y2=(x−y)(x+y)
x3−y3=(x−y)(x2+xy +y2)
x3+y3=(x+y)(x2−xy +y2)
x4−y4=(x−y)(x+y)(x2+y2)
x5−y5=(x−y)(x4+x3y+x2y2+xy3+y4)
x5+y5=(x+y)(x4−x3y+x2y2−xy3+y4)
x6−y6=(x−y)(x+y)(x2+xy +y2)(x2−x y +y2)
On généralise les résultats ci-dessus pour n∈N.
x2n+1−y2n+1=(x−y)(x2n+x2n−1y+x2n−2y2+... +y2n)
x2n+1+y2n+1=(x+y)(x2n−x2n−1y+x2n−2y2−... +y2n)
x2n−y2n=(x−y)(x+y)(xn−1+xn−2y+xn−3y2+...)(xn−1−xn−2y+xn−3y2−...)
xn+1−1=(x−1)(1+x+x2+x3+...+xn)
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