Chapitre 1

Calculs de primitives
Dénition 1 Soit I un intervalle de R et f, F :−→ R deux fonctions. On dit que F est une
primitive de f si F est dérivable et si pour tout t ∈ I , F 0 (t) = f (t).
On rappelle le théorème suivant :
Théorème 1 Soit I un intervalle de R et f : I −→ R, continue. Alors f possède une
primitive F sur I .
La primitive, si elle existe, n'est pas unique : par exemple, toute constante est primitive de
la fonction nulle. On a :
Proposition 1 Soit I un intervalle de R et f : I −→ R. Soient F1 et F2 deux primitives de f .
Alors F1 et F2 dièrent d'une constante, c'est-à-dire qu'il existe C ∈ R, tel que F1 (t) = F2 (t) + C
pour tout t ∈ I .
par
Notation. Si f est une fonction continue sur un intervalle I , on note toute primitive de f
Z
f (t)dt.
Le signe
R
est dû à Leibniz 1 .
La lecture inverse du tableau donnant les dérivées des fonctions usuelles permet de calculer
certaines primitives.
Proposition 2 Soient f et g deux fonctions continues dénies sur un même intervalle I et
soit λ ∈ R.
Z
Z
(f (t) + g(t))dt =
Exemple.
Z
Z
f (t)dt +
2
tet dt =
Z
Z
g(t)dt,
2 t2
1
te dt =
2
2
Z
λf (t)dt = λ
Z
f (t)dt.
1 2
2
2tet dt = et .
2
Dénition 2 Soit I un intervalle de R, f : I −→ R, continue. Soient a, b dans I . L'intégrale
de f entre a et b est le nombre réel :
Z
b
f (t)dt = F (b) − F (a),
a
où F est une primitive de f sur I .
Comme deux primitives de f dièrent d'une constante, ab f (t)dt ne dépend pas du choix de
Rb
F . Rappelons que si f est une fonction positive et continue, a f (t)dt s'interprète comme l'aire
du domaine :
R
{(x, y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)}.
1. Gottfried Wilhelm Leibniz, philosophe, scientique, mathématicien, logicien, diplomate, juriste, bibliothécaire et philologue allemand, 16461716.
1
1
Intégration par parties
Théorème 2 (Formule d'intégration par parties) Soient f, g : I −→ R deux fonctions
dérivables, dont les dérivées sont continues (on dit que f et g sont de classe C 1 ). Alors :
Z
Z
0
f 0 (t)g(t)dt.
f (t)g (t)dt = f g −
Preuve. Soit
F une primitive de f g 0 et G un primitive de f g 0 . Alors F + G est dérivable
et a pourR dérivée f 0 g + Rf g 0 = (f g)0 : elle dière donc de f g par une constante. En notation de
Leibniz, f (t)g 0 (t)dt + f 0 (t)g(t)dt = f g .
2
Reformulée pour les intégrales, on obtient :
Théorème 3 (Formule d'intégration par parties) Soient f, g : I
de classe C 1 , a, b dans I . Alors :
Z
b
0
f (t)g (t)dt =
[f g]ba
b
Z
−
−→ R
deux fonctions
f 0 (t)g(t)dt,
a
a
avec la notation [h]ba = h(b) − h(a) pour toute fonction h dénie sur [a, b].
Exemples.
1.
Z
te2t dt = t
e2t
−
2
e2t
e2t 1
dt = t
−
2
2
2
Z
Z
e2t dt = t
e2t 1 e2t
e2t e2t
−
=t
−
.
2
2 2
2
4
e
0
2t
0
ROnnaαtpris f = t et g = e , donc f = 1 et g = 2 . La même méthode permet de calculer
t e dt pour tout n ≥ 1, en eectuant n intégrations par parties.
2t
2.
Z
π
2
t cos(t)dt = [t
2
sin(t)]π0
π
Z
−2
t sin(t)dt
Z π
π
= 0 − 2[t cos(t)]0 − 2
cos(t)dt
0
0
0
= −2π −
2[sin(t)]π0
= −2π.
On a procédé à deux intégrations par parties successives. Pour la première, f = t2 et
g 0 = cos(t), donc f 0 = 2t et g = sin(t). Pour la seconde, f = t et g 0 = sin(t), donc f 0 = 1
et g = − cos(t). Attention aux nombreux signes − !
3.
Z
Z
ln(t)dt = t ln(t) −
On a pris f = ln(t) et g 0 = 1, donc f 0 =
2
t
dt = t ln(t) −
t
1
t
Z
dt = t ln(t) − t.
et g = t.
Changement de variables
Théorème 4 Soit f : I −→ R, continue,
Alors pour tout a, b dans J :
Z
b
φ : J −→ R,
f (φ(t))φ0 (t)dt =
a
Z
φ(b)
f (t)dt.
φ(a)
2
de classe C 1 et telle que φ(J) ⊆ I .
Preuve. Soit F une primitive de f . Alors la fonction F ◦ φ est dérivable sur J et pour tout
t ∈ J,
(F ◦ φ)0 (t) = F 0 (φ(t))φ0 (t).
En conséquence :
b
Z
f (φ(t))φ0 (t)dt = F (φ(b)) − F (φ(a)) =
a
Z
φ(b)
f (t)dt.
φ(a)
2
Exemples.
1.
√
Z
√
t2 .
On a pris φ(t) =
2π
2t cos(t2 )dt =
Autre façon de rédiger : on pose x = t2 . Alors dx = 2tdt et donc :
√
√
Z
0
π
2
cos(t)dt = [sin(t)]2π
π = 0.
π
π
Z
2.
2π
Z
sin(t)e
2π
Z
2
2π
cos(x)dt.
2t cos(t )dt =
π
π
cos(t)
Z
dt = −
0
x
Z
e dx =
1
0
On a posé x = cos(t), alors dx = − sin(t)dt.
3
1
ex dx = [ex ]10 = e − 1.