calcul integral

Calcul Intégral 1/6
CALCUL INTEGRAL
1. PRIMITIVE D’UNE FONCTION
La primitive F d’une fonction f définie sur un intervalle I de l’ensemble des nombres réels est
telle que F’(x)=f(x)
Pour calculer une primitive d’une fonction f revient à faire l’inverse du calcul de la dérivée
d’une fonction.
Exemples
 Comment calculer une primitive de la fonction g : x  2x ?
Lorsque l’on regarde le tableau des fonctions et de leurs dérivées on a :
Fonction f
Dérivée f’
x²
2x
Une primitive de la fonction g : x 2x est telle que G’(x) = g(x)
Donc une primitive de g est G(x) = x² en effet G’(x) = 2x = g(x)
Pourquoi dit-on une primitive et non pas la primitive ?
Pour la fonction g : x 2x la fonction G(x)=x²+3500 est aussi une primitive, d’une manière
générale toutes les fonctions du type G(x)=x²+ k ( où k est un nombre réel ) sont des
primitives.
Pour une fonction f donnée, il existe une infinité de primitive telle que F’(x) = f(x).
 Comment calculer une primitive de la fonction h : x x² ?
Lorsque l’on regarde le tableau des fonctions et de leurs dérivées on a :
Fonction f
Dérivée f’
x3
3x²
Il faut lors du calcul de la primitive s’arranger pour que le facteur « 3 » disparaisse devant le
x² on prend donc comme primitive de x² la fonction H(x)=
3
3
x
Vérifions en dérivant :
)(
3
3
)(' 2
2xgx
x
xH 

Calcul Intégral 2/6
Le tableau des fonctions usuelles et de leurs primitives est :
fonction f(x)
Primitive F(x)
xn
1
1
n
xn
+C
cos(x)
sin(x)+C
sin(x)
-cos(x)+C
cos(ax+b)
abax )sin( 
+C
sin(ax+b)
abax )cos( 
+C
x
1
Ln(x)+C
bax
e
a
ebax
+C
La primitive d’une somme de fonctions est égle à la somme des primitives des fonctions
La primitive d’une fonction multipliée par une constante est égale à la primitive de cette
fonction multipliée par la constante.
Exemples
 Primitive de
23²2)(  xxxf
x
xx
xF 2
2²
3
3
2)( 3
 Primitive de
)23sin()( 23  xexg x
3)23cos( 3
)( 23
xe
xG x
Exercice n°1
Calculer les primitives des fonctions suivantes :
)52cos(3)(1²2)(8)(
3
)(253)()sin(8)cos(2)(
232)(
2
)32sin()(5²5)(
25
2
85
xxwxxrxexq x
xpxxxnxxxm
xexh
x
xxgxxf
x
x

Calcul Intégral 3/6
f(x)
0
20
40
60
80
100
120
-15 -10 -5 0 5 10 15
x
y
2. INTEGRALE D’UNE FONCTION SUR UN INTERVALLE
Par définition l’intégrale I d’une fonction f sur l’intervalle [a ; b] de primitive F est le
nombre :
 b
aaFbFdxxfI )()()(
NB : On note également
b
a
xFaFbF )]([)()( 
Exemple : Comment calculer
5
2)3²2( dxx
?
Il faut déjà déterminer une primitive de la fonction 2x²-3. Cette primitive F est :
x
x
xF 3
3
2)( 3
D’après la définition :
3
207
32 3
205
)2()5()]([)3²2( 5
2
5
2
FFxFdxx
Exercice n°2
Calculer les intégrales suivantes :
5
0)3²4( dxx
0)2sin( dxx
3
1
2)32( dxxe x
3
1)45( dxx
2
0²dxx
5
0)5cos(3
dxx
3. SIGNIFICATION
GRAPHIQUE DE
L’INTEGRALE
Pour illustrer cette partie, nous
allons nous intéresser à la
fonction f(x)=x², la
représentation graphique de
cette fonction est une
parabole ( voir ci-contre).
Calculons
292
3
875
3
²
10
5
10
5
3
x
dxx
à l’unité près

Calcul Intégral 4/6
Calculons maintenant l’aire située en dessous de la courbe de f comprise entre x = 5 et x =10.
Pour cela nous allons utiliser une méthode approchée dite des rectangles :
On va assimiler l’aire totale de la courbe à la somme des aires des rectangles R1, R2, R3, R4
et R5.
L’aire d’un rectangle est A=Ll
Dans notre cas :
)5(1
1fAR
)6(1
2fAR
………
)9(1
5fAR
L’aire totale est donc :
airedunitésA
fffffA
TOT
TOT
'255)8164493625(1
))9()8()7()6()5((1
Si on recommençait ce calcul avec des rectangle de largeur 0,01 on aurait :
292))99,9(........)01,5()5((01,0  fffATOT
à l’unité près
On constate donc que
10
5²dxxATOT
D’une manière générale, graphiquement l’intégrale d’une fonction positive entre x1 et x2 est
égale à l’aire de la courbe située entre l’axe des abscisses et les droites d’équations x=x1 et
x=x2 .
f(x)
0
20
40
60
80
100
120
0246810 12
x
y
R1
R2
R3
R4
R5

Calcul Intégral 5/6
4. PROPRIETES DES INTEGRALES
Ces propriétés découlent des propriétés opératoires des fonctions dérivées :
Linéarité :
  b
a
b
adxxfkdxxfk )()(
où k est un nombre réel.
Relation de Chasles :
  c
a
c
b
b
adxxfdxxfdxxf )()()(
5. MOYENNE
La valeur moyenne, notée
f
, d’une fonction f, sur un intervalle [ a ; b] est donnée par la
relation :
b
adxxf
ab )(
1
6. VALEUR EFFICACE
La valeur efficace d’une fonction f sur un intervalle [ a ; b ] est notée Feff et est donnée par la
relation :
b
a
eff dxxf
ab
F2 )(
1
7. EXERCICES D’APPLICATION
1°) Un sèche linge est alimenté par une tension u en fonction du temps donnée par la relation :
)100sin(310)( ttu
Où la tension est exprimée en volts et le temps en secondes
Calculer la valeur moyenne de u sur l’intervalle [0 ; 0,01]
2°) Dans le cas d’une tension alternative sinusoïdale u telle que u(t)=Umaxsin(t) calculer Ueff.
Rappel : La période T de cette tension est donnée par :
2
T
22cos1
))²(sin( x x
3°) Calculer l’aire délimitée par la courbe représentative de la fonction f(x)=3x²-5x+2 et les
droites d’équations x=2 et x=4.
4°) Calculer les intégrales suivantes :
2
1
01,0
0
1
0
5
22
)314sin(2
)24()43(
dx
x
dtt
dxedxxx
5°)Un circuit comprenant un générateur de force contreélectromotrice E=18 V, une bobine de
résistance R=12  et d’inductance L=0,24 H. La fermeture à l’instant t=0 provoque