calcul integral

Calcul Intégral 1/6
CALCUL INTEGRAL
1. PRIMITIVE D’UNE FONCTION
La primitive F d’une fonction f définie sur un intervalle I de l’ensemble des nombres réels est
telle que F’(x)=f(x)
Pour calculer une primitive d’une fonction f revient à faire l’inverse du calcul de la dérivée
d’une fonction.
Exemples
 Comment calculer une primitive de la fonction g : x  2x ?
Lorsque l’on regarde le tableau des fonctions et de leurs dérivées on a :
Fonction f
x²
Dérivée f’
2x
Une primitive de la fonction g : x 2x est telle que G’(x) = g(x)
Donc une primitive de g est G(x) = x² en effet G’(x) = 2x = g(x)
Pourquoi dit-on une primitive et non pas la primitive ?
Pour la fonction g : x 2x la fonction G(x)=x²+3500 est aussi une primitive, d’une manière
générale toutes les fonctions du type G(x)=x²+ k ( où k est un nombre réel ) sont des
primitives.
Pour une fonction f donnée, il existe une infinité de primitive telle que F’(x) = f(x).
 Comment calculer une primitive de la fonction h : x x² ?
Lorsque l’on regarde le tableau des fonctions et de leurs dérivées on a :
Fonction f
x3
Dérivée f’
3x²
Il faut lors du calcul de la primitive s’arranger pour que le facteur « 3 » disparaisse devant le
x3
x² on prend donc comme primitive de x² la fonction H(x)=
3
2
3x
Vérifions en dérivant : H ' ( x) 
 x 2  g ( x)
3
Calcul Intégral 2/6
Le tableau des fonctions usuelles et de leurs primitives est :
fonction f(x)
xn
Primitive F(x)
cos(x)
sin(x)
cos(ax+b)
sin(x)+C
-cos(x)+C
x n 1
+C
n 1
sin( ax  b)
+C
a
cos(ax  b)

+C
a
sin(ax+b)
Ln(x)+C
1
x
e axb
e axb
a
+C
La primitive d’une somme de fonctions est égle à la somme des primitives des fonctions
La primitive d’une fonction multipliée par une constante est égale à la primitive de cette
fonction multipliée par la constante.
Exemples

Primitive de

Primitive de
x3
x²
f ( x)  2 x ²  3 x  2  F ( x)  2  3  2 x
3
2
3 x 2
e
cos(3x  2)
g ( x)  e3 x2  sin( 3x  2)  G( x) 

3
3
Exercice n°1
Calculer les primitives des fonctions suivantes :
f ( x)  5 x ²  5
g ( x)  sin( 2 x  3) 
m( x)  2 cos( x)  8 sin( x) n( x)  3x 2  5 x  2
q ( x )  e 5 x  2  8 x
r ( x)  2 x ²  1
2
x
h( x)  2e 5 x 8  3x  2
3
x
w( x)  3 cos(2 x  5)
p ( x) 
Calcul Intégral 3/6
2. INTEGRALE D’UNE FONCTION SUR UN INTERVALLE
Par définition l’intégrale I d’une fonction f sur l’intervalle [a ; b] de primitive F est le
nombre :
I  a f ( x)dx  F (b)  F (a)
b
NB : On note également
F (b)  F (a)  [ F ( x)]ba
Exemple : Comment calculer
 (2 x ²  3)dx ?
5
2
Il faut déjà déterminer une primitive de la fonction 2x²-3. Cette primitive F est :
x3
F ( x)  2  3 x
3
D’après la définition :
205
2
207
 (2 x ²  3)dx  [ F ( x)]  F (5)  F (2)  3  3  3
5
5
2
2
Exercice n°2
Calculer les intégrales suivantes :

0 (4 x ²  3)dx

5
0
 (2e  3x)dx
3
sin( 2 x)dx
2x
1
 (5 x  4)dx
 x ²dx
3
1
2
f(x)
0

 3 cos(5 x)dx
120
5
0
100
y
80
3. SIGNIFICATION
GRAPHIQUE DE
L’INTEGRALE
60
40
20
0
-15
-10
-5
0
5
10
x
10
875
 x3 
x
²
dx


 292 à l’unité près
5
3
3
 5
10
15
Pour illustrer cette partie, nous
allons nous intéresser à la
fonction f(x)=x², la
représentation graphique de
cette fonction est une
parabole ( voir ci-contre).
Calculons
Calcul Intégral 4/6
Calculons maintenant l’aire située en dessous de la courbe de f comprise entre x = 5 et x =10.
f(x)
120
100
y
80
R5
60
R4
R3
40
R2
20
R1
0
0
2
4
6
8
10
12
x
Pour cela nous allons utiliser une méthode approchée dite des rectangles :
On va assimiler l’aire totale de la courbe à la somme des aires des rectangles R1, R2, R3, R4
et R5.
L’aire d’un rectangle est A=Ll
Dans notre cas :
AR1  1 f (5)
AR 2  1 f (6)
………
AR 5  1 f (9)
L’aire totale est donc :
ATOT  1 ( f (5)  f (6)  f (7)  f (8)  f (9))
ATOT  1 (25  36  49  64  81)  255 unités d ' aire
Si on recommençait ce calcul avec des rectangle de largeur 0,01 on aurait :
ATOT  0,01 ( f (5)  f (5,01)  ........  f (9,99))  292 à l’unité près
On constate donc que
ATOT  5 x ²dx
10
D’une manière générale, graphiquement l’intégrale d’une fonction positive entre x1 et x2 est
égale à l’aire de la courbe située entre l’axe des abscisses et les droites d’équations x=x1 et
x=x2 .
Calcul Intégral 5/6
4. PROPRIETES DES INTEGRALES
Ces propriétés découlent des propriétés opératoires des fonctions dérivées :
Linéarité :
a k  f ( x)dx k  a f ( x)dx où k est un nombre réel.
b
b
Relation de Chasles :
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
b
c
c
a
b
a
5. MOYENNE
La valeur moyenne, notée
relation :
f , d’une fonction f, sur un intervalle [ a ; b] est donnée par la
1 b
 f ( x)dx
ba a
6. VALEUR EFFICACE
La valeur efficace d’une fonction f sur un intervalle [ a ; b ] est notée Feff et est donnée par la
relation :
Feff 
1 b
 f ( x)2 dx

a
ba
7. EXERCICES D’APPLICATION
1°) Un sèche linge est alimenté par une tension u en fonction du temps donnée par la relation :
u (t )  310 sin(100 t )
Où la tension est exprimée en volts et le temps en secondes
Calculer la valeur moyenne de u sur l’intervalle [0 ; 0,01]
2°) Dans le cas d’une tension alternative sinusoïdale u telle que u(t)=Umaxsin(t) calculer Ueff.
Rappel :
La période T de cette tension est donnée par :
(sin( x))² 
T
1  cos 2 x
2
2

3°) Calculer l’aire délimitée par la courbe représentative de la fonction f(x)=3x²-5x+2 et les
droites d’équations x=2 et x=4.
4°) Calculer les intégrales suivantes :
 (3x  4)dx
 (4e  2)dx


5
2
0 , 01
0
2 sin(314t )dt
1
x
0
2
1
2
dx
x
5°)Un circuit comprenant un générateur de force contreélectromotrice E=18 V, une bobine de
résistance R=12  et d’inductance L=0,24 H. La fermeture à l’instant t=0 provoque
Calcul Intégral 6/6
l’installation d’un régime transitoire. Dans cette phase, l’intensité du courant i(t) à l’instant t
est donné par l relation :
 Rt
E

i(t )  1  e L 
R

i est exprimée en ampères et t en secondes
5.1°) Montrer que i (t )  1,5  1,5e
5.2°) Déterminer la dérivée i’ de la fonction i. Etudier le sens de variation de la fonction i aur
l’intervalle [0 ; 0,1]
5.3°) Compléter le tableau suivant :
t(s)
0
0,01
0,02
0,03
0 ,04
0,05
0,08
0,1
i(A)
arrondi
au
millième
5.4°) Tracer la courbe C représentative de la fonction i dans un repère orthogonal d’unités
graphiques : 1 cm pour 0,01 s en abscisses et 1cm pour 0,1 A en ordonnée
5.5°) Déterminer graphiquement le temps t1 tel que l’intensité soit 0,75 A
5.6°) Calculer la quantité d’électricité Q exprimée en coulombs, mise en jeu entre les temps 0
50t
et 0,1. on rappelle que
Q  0 i (t )dt
0 ,1
6°) La figure ci-dessous est l’oscillogramme obtenu aux bornes d’un onduleur :
400
300
200
100
0
-100
0
0.01
0.02
0.03
0.04
-200
-300
-400
6.1°) Quelle est la période T du signal observé
6.2°) En déduire la pulsation 
6.3°) La fonction de base étant la fonction u définie par
u (t )  220 2 sin(100t )
1 0 , 018
Calculer la valeur moyenne u du signal soit : u  0 , 008 220 2 sin(100t )
T