Intégration sur un segment de fonctions à valeurs dans C

I Intégration des fonctions à valeurs dans C.
Dans tout ce paragraphe, I désigne un intervalle infini de R, a et b deux réels, et on
convient que si
ba 
, la notation
ba,
désigne le segment
ab,
.
A) Notations et rappels
Soit
CIf :
une fonction (dite « complexe, d’une variable réelle »)
Soient
fRe
et
fIm
les parties réelles et imaginaires de f (c'est-à-dire les
fonctions de I dans R définies par :
))(Im())(Re()(, xfixfxfIx 
)
On rappelle que f est continue sur I si et seulement si
fRe
et
fIm
sont continues
sur I. On notera de plus
f
et
f
les fonctions définies sur I par :
)()(, xfxfIx 
et
)()(, xfxfIx 
. Bien entendu, si f est continue sur I, alors
f
et
f
le sont aussi.
B) Fonctions continues par morceaux sur un segment
Soit
Cbaf ,:
. On dit que f est continue par morceaux sur
ba,
lorsqu’il
existe une subdivision
),...,( 10 n xxx
de
ba,
telle que, pour tout
ni ,1
:
- f est continue sur
ii xx , 1
- f a une limite (dans C) à droite en
1i
x
- f a une limite (dans C) à gauche en
i
x
(C’est la définition analogue à celle qui concerne les fonctions à valeurs dans R)
On prouve immédiatement que, pour
Cbaf ,:
:
f continue par morceaux
fRe
et
fIm
continues par morceaux.
Et donc, aisément :
Si f et g sont continues par morceaux sur
ba,
, alors les fonctions
f
,
f
gf
(où
C ,
) sont aussi continues par morceaux.
C) Définition
Soit
Cbaf ,:
, continue par morceaux. On peut définir :
  b
a
b
a
b
adttfidttfdttf ))(Im())(Re()( déf
Remarque : s’il se trouve que f est à valeurs réelles, on retrouve bien l’intégrale de
f sur
ba,
au sens du chapitre précédent.
D) Premières propriétés
En utilisant la définition et les propriétés des intégrales des fonctions réelles, on
établit aisément les propriétés suivantes :
1) Linéarité
Si f et g sont deux fonctions complexes continues par morceaux sur
ba,
,
alors pour tous
C ,
:
Intégration sur un segment de fonctions à valeurs dans C

  b
a
b
a
b
adttgdttfdttgf )()())((
Remarque : la relation de définition du C) peut maintenant être vue comme
une conséquence de la linéarité.
2) Conjugaison
Si
Cbaf ,:
est continue par morceaux :
 b
a
b
adttfdttf )()(
3) Chasles
Si f est une fonction complexe continue par morceaux sur un segment
contenanta, b, c :
  b
c
c
a
b
adttfdttfdttf )()()(
4) Fonctions « presque partout égales »
Si f et g sont continues par morceaux sur
ba,
et si f et g ne diffèrent que
sur un nombre fini de points, alors
 b
a
b
adttgdttf )()(
.
Il en résulte, comme pour les fonctions à valeurs dans R, que le calcul de
l’intégrale d’une fonction continue par morceaux se ramène au calcul d’une
somme d’intégrales de fonctions continues.
5) Majoration du module
Soit
Cbaf ,:
, continue par morceaux.
Si
ba 
, alors
 b
a
b
adttfdttf )()(
Démonstration :
Posons
i
b
aredttf 
)(
, avec
RR   ),( r
(alors
rdttf
b
a
)(
)
Alors :
   b
a
i
b
a
idttfedttfer )()(
Soient u et v les parties réelles et imaginaires de la fonction
)(tfet i
.
Alors
 RR
R   b
a
b
adttvidttur )()(
. Donc
0)( 
b
adttv
et
rdttu
b
a
)(
.
Or, pour tout
bat ,
,
)()()()()( tftfetivtutu i 
Donc
  b
a
b
adttftur )()(
.
E) Intégrale d’une fonction continue et primitives
Rappels :
Soit
CIf :
. Alors f est dérivable si et seulement si
fRe
et
fIm
sont
dérivables, et on a alors :
)()'(Im)()'(Re)(', xfixfxfIx 

Soit
CIf :
, dérivable. Si
0)(',  xfIx
, alors
kxfIxk  )(,,C
(évident puisque
0)'(Im)'(Re0'  fff
, et I est un intervalle)
Soit
CIf :
. Une primitive de f (sur I) est une fonction
CIF :
, dérivable,
telle que
fF '
. Si f admet une primitive F, alors l’ensemble des primitives de f est
l’ensembles des fonctions
kF 
, k décrivant C. (C’est un corollaire du point précédent)
Exemple :
Rappelons que pour
ivuz 
avec
2
),( Rvu
, on définit
z
e
par :
)sin(cos viveeee uivuz 
Soit
Cm
, et soit
CR :f
la fonction définie par :
mx
exfx  )(,R
.
Alors f est dérivable sur R et :
mx
mexfx  )(',R
.
En effet, si on pose
im 
avec
2
),( R
, on a :
)sin(cos)(, xixexfx x  R
.
Donc f est dérivable sur R et, pour tout
Rx
:
mxxixix
xx
meieee
xxiexxexf
)(
)cossin()sincos()('
Il en résulte que si
*Cm
, la fonction
mx
e
m
x1
est une primitive sur R de la
fonction
mx
ex 
.
Théorème :
Soit
CIf :
, continue. Alors, pour tout
Ia
:
La fonction
x
adttfx CIF )(
:
est dérivable, de dérivée f.
Conséquence 1 :
Soit
CIf :
, continue. Alors f admet des primitives sur I, et, de plus, pour
chaque
Ia
,
x
adttfx )(
est l’unique primitive de f sur I qui prenne la valeur 0 en a.
Conséquence 2 :
Soit
Cbaf ,:
, continue, et soit F une primitive de f sur
ba,
. Alors :
)()()( aFbFdttf
b
a
(qu’on note
b
a
xF )(
)
Démonstration du théorème :
Avec les hypothèses du théorème, notons
ff Re
1
et
ff Im
2
.
Alors, pour tout
Ix
:
  x
a
x
a
x
adttfidttfdttf )()()( 21
, et on sait que les
fonctions
x
adttfx )(
1
et
x
adttfx )(
2
sont dérivables sur I, de dérivées respectives
1
f
et
2
f
(puisque
1
f
et
2
f
sont continues), d’où le résultat.
Les conséquences du théorème se démontrent exactement comme dans le cas réel.
Application à la recherche de primitives des fonctions réelles.
Exemple :
Nous allons déterminer une primitive sur R de la fonction réelle
xex x2cos
3
.
On peut le faire à partir de deux intégrations par partie, mais on peut faire autrement :
Pour tout
Rx
, on a
xti xtdtetdte 0
)23(
0
3Re2cos
(selon la définition du C)
Or,
)1)2sin2(cos(
1323
)1(
23 1 23 3)23(
0
)23(
0
)23( 
xixe
i
e
ii
e
dtexxi
x
ti
xti

Donc
13
3
)2sin22cos3(
13
2cos 3
0
3
xx
e
tdte x
xt
F) Intégration par parties
Rappel :
Soient
CIgf :,
Si f et g sont continues, alors
fg
est continue.
Si f et g sont dérivables, alors
fg
est dérivable, de dérivée
'')'(fggffg 
.
Soit
Nn
. Une fonction
CIf :
est dite de classe
n
C
(sur I) lorsqu’elle est n
fois dérivable sur I et lorsque sa dérivée n-ième est continue sur I.
On établit aisément que f est de classe
n
C
si et seulement si
fRe
et
fIm
le sont.
De ces résultats, on tire immédiatement, comme dans le cas réel :
Théorème :
Soient
Cbagf ,:,
.
Si f et g sont de classe
1
C
sur
ba,
:
  b
a
b
a
b
adttgtftgtfdttgtf )(')()()()()('
Conséquence : Formule de Taylor avec reste intégral (à l’ordre
1n
)
Si
Cbaf ,:
est de classe
n
C
(
1n
) sur
ba,
:
b
a
n
n
n
ndxxf
nxb
af
nab
af
ab
afabafbf )(
)!1( )(
)(
)!1( )(
...)(''
!2 )(
)(')()()( )(
1
)1(
12
(La démonstration est analogue à celle fait dans le cas réel : faire une récurrence)
Conséquence : Inégalité de Taylor-Lagrange (à l’ordre
1n
)
Si f est de classe
n
C
(
1n
) sur
ba,
, et si M désigne un majorant du module de
)(n
f
sur
ba,
(il en existe car une fonction complexe continue sur un segment de R est
bornée), alors :
M
n
ab
af
nab
af
ab
afabafbf
n
n
n
!
)(
)!1( )(
...)(''
!2 )(
)(')()()( )1(
12 
Démonstration :
Selon le théorème précédent, il suffit de montrer que :
M
n
ab
dxxf
nxb n
b
a
n
n
!
)(
)!1( )( )(
1
 Si
ba 
, on a alors :
 b
a
n
n
b
a
n
ndxxf
nxb
dxxf
nxb )( )!1( )(
)(
)!1( )( )(
1
)(
1
Or, pour tout
bax ,
,
)!1( )(
)(
)!1( )(
)(
)!1( )( 1
)(
1
)(
1
nxb
Mxf
nxb
xf
nxb n
n
n
n
n
D’où, selon les résultats concernant les intégrales de fonctions réelles :
!)( !)( )!1( )(
)(
)!1( )( 1
)(
1
nab
M
nxb
Mdx
nxb
Mdxxf
nxb n
b
a
n
b
a
n
b
a
n
n
 Si
ab 
, on procède de même en écrivant :
 a
b
n
n
b
a
n
ndxxf
nxb
dxxf
nxb )( )!1( )(
)(
)!1( )( )(
1
)(
1

et que, pour tout
bax ,
,
)(
)!1( )(
)(
)!1( )( )(
1
)(
1xf
nbx
xf
nxb n
n
n
n
.
Remarque importante (rappel)
Pour
1n
, on obtient l’inégalité des accroissements finis, mais on rappelle que
l’égalité des accroissements finis est fausse pour les fonctions à valeurs dans C :
Si
32
)( ixxxf 
sur
1,0
, il n’existe pas de
1,0c
tel que
)(')01()0()1( cfff 
car il faudrait que
2
321 icci 
, ce qui est impossible.
G) Changement de variable
Théorème :
Soit
Rba,:
de classe
1
C
, et soit
CIf :
, continue, avec
Iba ),(
.
Alors
 )(
)( )()(')(( b a
b
aduufdtttf
La démonstration est analogue à celle faite dans le cas où f est à valeurs réelles, en
utilisant bien sûr le fait que si
CIF :
est une primitive de f sur I, alors
F
est
dérivable sur
ba,
et
)('))(()('))((')()'(,, ttfttFtFbat
H) Remarque importante pour finir
De même que l’égalité des accroissements finis est fausse pour les fonctions à
valeurs dans C, le théorème de la moyenne est faux aussi pour f à valeurs dans C.
(même exemple que pour l’égalité des accroissements finis)
II Intégration des fonctions rationnelles (à coefficients dans C)
A) Méthode générale
Rappel :
Soit
)(XF C
, admettant des pôles complexes
p
aaa ,..., 21
avec les multiplicités
p
nnn ,..., 21
. Alors F se décompose en éléments simples dans
)(XC
sous la forme :
 p
i
n
jj
i
ji
i
aX
EF 1 1
,
)(
Où E est un polynôme à coefficients dans C (qui est la partie entière de F), et où
les
ji,
sont des éléments de C.
Soit maintenant I un intervalle de R ne contenant aucun pôle de F. Pour trouver
une primitive de
)(tFt 
sur I, on est donc ramené à la recherche de primitives des
fonctions polynôme et des fonctions du type
n
at
t)( 1
, où
*, NC  na
.
 Cas des fonctions polynomiales : évident
 Cas de
n
at
t)( 1
, où
2n
:
Soit I un intervalle de R ne contenant pas a.
Alors la fonction
n
at
t)( 1
admet sur I la primitive
1
)( 1 1
1
n
atn
t
.
(La vérification est immédiate en dérivant…)
 Cas de
at
t
1
(Les logarithmes de complexes ne sont pas au programme !!)