Intégration sur un segment de fonctions à valeurs dans C

Intégration sur un segment de fonctions à valeurs dans C
I Intégration des fonctions à valeurs dans C.
Dans tout ce paragraphe, I désigne un intervalle infini de R, a et b deux réels, et on
convient que si a  b , la notation a, b désigne le segment b, a  .
A) Notations et rappels
Soit f : I  C une fonction (dite « complexe, d’une variable réelle »)
Soient Re f et Im f les parties réelles et imaginaires de f (c'est-à-dire les
fonctions de I dans R définies par : x  I , f ( x)  Re( f ( x))  i Im( f ( x)) )
On rappelle que f est continue sur I si et seulement si Re f et Im f sont continues
sur I.
On notera de plus f et f les fonctions définies sur I par : x  I , f ( x)  f ( x) et
x  I , f ( x)  f ( x) . Bien entendu, si f est continue sur I, alors f et f le sont aussi.
B) Fonctions continues par morceaux sur un segment
Soit f : a, b  C . On dit que f est continue par morceaux sur a, b lorsqu’il
 
existe une subdivision   ( x0 , x1 ,...xn ) de a, b telle que, pour tout i  1, n :
- f est continue sur xi 1 , xi 
- f a une limite (dans C) à droite en xi 1
- f a une limite (dans C) à gauche en x i
(C’est la définition analogue à celle qui concerne les fonctions à valeurs dans R)
On prouve immédiatement que, pour f : a, b  C :
f continue par morceaux  Re f et Im f continues par morceaux.
Et donc, aisément :
Si f et g sont continues par morceaux sur a, b , alors les fonctions f , f f  g
(où  ,   C ) sont aussi continues par morceaux.
C) Définition
Soit f : a, b  C , continue par morceaux. On peut définir :

b
a
b
b
déf a
a
f (t )dt   Re( f (t )) dt  i  Im( f (t )) dt
Remarque : s’il se trouve que f est à valeurs réelles, on retrouve bien l’intégrale de
f sur a, b au sens du chapitre précédent.
D) Premières propriétés
En utilisant la définition et les propriétés des intégrales des fonctions réelles, on
établit aisément les propriétés suivantes :
1) Linéarité
Si f et g sont deux fonctions complexes continues par morceaux sur a, b ,
alors pour tous  ,   C :
b
b
a
a
 (f  g )(t )dt   
b
f (t )dt    g (t )dt
a
Remarque : la relation de définition du C) peut maintenant être vue comme
une conséquence de la linéarité.
2) Conjugaison
Si f : a, b  C est continue par morceaux :

b
a
b
f (t )dt   f (t )dt
a
3) Chasles
Si f est une fonction complexe continue par morceaux sur un segment
contenanta, b, c :

b
a
c
b
a
c
f (t )dt   f (t )dt   f (t )dt
4) Fonctions « presque partout égales »
Si f et g sont continues par morceaux sur a, b et si f et g ne diffèrent que
sur un nombre fini de points, alors

b
a
b
f (t )dt   g (t )dt .
a
Il en résulte, comme pour les fonctions à valeurs dans R, que le calcul de
l’intégrale d’une fonction continue par morceaux se ramène au calcul d’une
somme d’intégrales de fonctions continues.
5) Majoration du module
Soit f : a, b  C , continue par morceaux.
Si a  b , alors

b
a
b
f (t )dt   f (t ) dt
a
Démonstration :
Posons

b
a
f (t )dt  re i , avec (r , )  R   R (alors

b
a
f (t )dt  r )
Alors :
b
b
a
a
r  e i  f (t )dt   e i f (t )dt
Soient u et v les parties réelles et imaginaires de la fonction t  e i f (t ) .
b
b
Alors r   u (t )dt  i  v(t )dt . Donc
a
a


 


R
R
b
b
a
a
 v(t )dt  0 et  u(t )dt  r .
R
Or, pour tout t  a, b , u (t )  u (t )  iv (t )  e i f (t )  f (t )
b
b
a
a
Donc r   u(t )   f (t ) dt .
E) Intégrale d’une fonction continue et primitives
Rappels :
Soit f : I  C . Alors f est dérivable si et seulement si Re f et Im f sont
dérivables, et on a alors : x  I , f ' ( x)  (Re f )' ( x)  i (Im f )' ( x)
Soit f : I  C , dérivable. Si x  I , f ' ( x)  0 , alors k  C , x  I , f ( x)  k
(évident puisque f '  0  (Re f )'  (Im f )'  0 , et I est un intervalle)
Soit f : I  C . Une primitive de f (sur I) est une fonction F : I  C , dérivable,
telle que F '  f . Si f admet une primitive F, alors l’ensemble des primitives de f est
l’ensembles des fonctions F  k , k décrivant C. (C’est un corollaire du point précédent)
Exemple :
Rappelons que pour z  u  iv avec (u, v)  R 2 , on définit e z par :
e z  e u e iv  e u (cos v  i sin v)
Soit m  C , et soit f : R  C la fonction définie par : x  R , f ( x)  e mx .
Alors f est dérivable sur R et : x  R , f ' ( x)  memx .
En effet, si on pose m    i avec ( ,  )  R 2 , on a :
x  R , f ( x)  ex (cos x  i sin x) .
Donc f est dérivable sur R et, pour tout x  R :
f ' ( x)  ex ( cos x   sin x)  ie x ( sin x   cos x)
 ex (e ix  ie ix )  me mx
Il en résulte que si m  C * , la fonction x 
1 mx
e est une primitive sur R de la
m
fonction x  e mx .
Théorème :
Soit f : I  C , continue. Alors, pour tout a  I :
La fonction F : I  C
est dérivable, de dérivée f.
x
x  f (t )dt
a
Conséquence 1 :
Soit f : I  C , continue. Alors f admet des primitives sur I, et, de plus, pour
x
chaque a  I , x   f (t )dt est l’unique primitive de f sur I qui prenne la valeur 0 en a.
a
Conséquence 2 :
Soit f : a, b  C , continue, et soit F une primitive de f sur a, b . Alors :

b
a
f (t )dt  F (b)  F (a) (qu’on note F ( x)a )
b
Démonstration du théorème :
Avec les hypothèses du théorème, notons f1  Re f et f 2  Im f .
x

x
Alors, pour tout x  I :
x
fonctions x   f1 (t )dt et
a
a
x
a
x
x
a
a
f (t )dt   f1 (t )dt  i  f 2 (t )dt , et on sait que les
f 2 (t )dt sont dérivables sur I, de dérivées respectives
f1 et f 2 (puisque f1 et f 2 sont continues), d’où le résultat.
Les conséquences du théorème se démontrent exactement comme dans le cas réel.
Application à la recherche de primitives des fonctions réelles.
Exemple :
Nous allons déterminer une primitive sur R de la fonction réelle x  e 3 x cos 2 x .
On peut le faire à partir de deux intégrations par partie, mais on peut faire autrement :
x
x
Pour tout x  R , on a  e 3t cos 2tdt  Re  e (3 2i )t dt  (selon la définition du C)
0
0


x
Or,

x
0
e
( 3 2 i ) t
 e ( 3 2 i ) t 
1
3  2i 3 x
dt  
(e (3 2i ) x  1) 
(e (cos 2 x  i sin 2 x)  1)
 
13
 3  2i  0 3  2i
Donc

x
0
e 3t cos 2tdt 
e3x
3
(3 cos 2 x  2 sin 2 x) 
13
13
F) Intégration par parties
Rappel :
Soient f , g : I  C
Si f et g sont continues, alors fg est continue.
Si f et g sont dérivables, alors fg est dérivable, de dérivée ( fg )'  f ' g  fg ' .
Soit n  N . Une fonction f : I  C est dite de classe C n (sur I) lorsqu’elle est n
fois dérivable sur I et lorsque sa dérivée n-ième est continue sur I.
On établit aisément que f est de classe C n si et seulement si Re f et Im f le sont.
De ces résultats, on tire immédiatement, comme dans le cas réel :
Théorème :
Soient f , g : a, b  C .
Si f et g sont de classe C 1 sur a, b :

b
a
f ' (t ) g (t )dt   f (t ) g (t )a   f (t ) g ' (t )dt
b
b
a
Conséquence : Formule de Taylor avec reste intégral (à l’ordre n  1 )
Si f : a, b  C est de classe C n ( n  1) sur a, b :
f (b)  f (a)  (b  a) f ' (a) 
n 1
b (b  x)
(b  a) 2
(b  a) n1 ( n1)
f ' ' (a)  ... 
f
(a)  
f ( n ) ( x)dx
a (n  1)!
2!
(n  1)!
(La démonstration est analogue à celle fait dans le cas réel : faire une récurrence)
Conséquence : Inégalité de Taylor-Lagrange (à l’ordre n  1 )
Si f est de classe C n ( n  1) sur a, b , et si M désigne un majorant du module de
f (n ) sur a, b (il en existe car une fonction complexe continue sur un segment de R est
bornée), alors :

(b  a) 2
(b  a) n1 ( n1)  b  a
f (b)   f (a)  (b  a) f ' (a) 
f ' ' (a)  ... 
f
(a)  
M
2!
(n  1)!
n!


Démonstration :
Selon le théorème précédent, il suffit de montrer que :
n
n 1
b (b  x )
ba
(n)
a (n  1)! f ( x)dx  n! M
n
Si a  b , on a alors :
n 1
n 1
b (b  x)
b (b  x)
(n)
(n)
a (n  1)! f ( x)dx  a (n  1)! f ( x) dx

(b  x) n1 ( n )
(b  x) n1 ( n )
(b  x) n1
f ( x) 
f ( x)  M
(n  1)!
(n  1)!
(n  1)!
D’où, selon les résultats concernant les intégrales de fonctions réelles :
Or, pour tout x  a, b,
b

b
a
n 1
b (b  x )
 (b  x) n 
(b  x) n 1 ( n )
(b  a) n
f ( x) dx  M 
dx  M 
 M
a
(n  1)!
(n  1)!
n!  a
n!

Si b  a , on procède de même en écrivant :
n 1
n 1
b (b  x)
a (b  x)
(n)
(n)
f
(
x
)
dx

a (n  1)!
b (n  1)! f ( x)dx

(b  x) n1 ( n )
( x  b) n1 ( n )
et que, pour tout x  a, b,
f ( x) 
f ( x) .
(n  1)!
(n  1)!
Remarque importante (rappel)
Pour n  1, on obtient l’inégalité des accroissements finis, mais on rappelle que
l’égalité des accroissements finis est fausse pour les fonctions à valeurs dans C :
Si
f ( x)  x 2  ix 3 sur 0,1 , il n’existe pas de
c  0,1 tel que
2
f (1)  f (0)  (1  0) f ' (c) car il faudrait que 1  i  2c  3ic , ce qui est impossible.
G) Changement de variable
Théorème :
Soit  : a, b  R de classe C 1 , et soit f : I  C , continue, avec  (a, b)  I .
Alors

b
a
 (b )
f ( (t ) ' (t )dt  
 (a)
f (u )du
La démonstration est analogue à celle faite dans le cas où f est à valeurs réelles, en
utilisant bien sûr le fait que si F : I  C est une primitive de f sur I, alors F   est
dérivable sur a, b et t  a, b, ( F   )' (t )  F ' ( (t ))   ' (t )  f ( (t ))   ' (t )
H) Remarque importante pour finir
De même que l’égalité des accroissements finis est fausse pour les fonctions à
valeurs dans C, le théorème de la moyenne est faux aussi pour f à valeurs dans C.
(même exemple que pour l’égalité des accroissements finis)
II Intégration des fonctions rationnelles (à coefficients dans C)
A) Méthode générale
Rappel :
Soit F  C ( X ) , admettant des pôles complexes a1 , a 2 ,...a p avec les multiplicités
n1 , n2 ,...n p . Alors F se décompose en éléments simples dans C ( X ) sous la forme :
p
i , j 
 ni

F  E    
j 
i 1  j 1 ( X  ai ) 
Où E est un polynôme à coefficients dans C (qui est la partie entière de F), et où
les i, j sont des éléments de C.
Soit maintenant I un intervalle de R ne contenant aucun pôle de F. Pour trouver
une primitive de t  F (t ) sur I, on est donc ramené à la recherche de primitives des
1
fonctions polynôme et des fonctions du type t 
, où a  C , n  N * .
(t  a ) n
 Cas des fonctions polynomiales : évident
1
 Cas de t 
, où n  2 :
(t  a ) n
Soit I un intervalle de R ne contenant pas a.
1
1
1
Alors la fonction t 
admet sur I la primitive t 
.
n
n  1 (t  a) n 1
(t  a )
(La vérification est immédiate en dérivant…)
1
 Cas de t 
(Les logarithmes de complexes ne sont pas au programme !!)
ta
-
Si a  R , on sait que t 
1
admet sur  , a et sur a, la primitive
ta
t  ln t  a .
1
est défini sur R tout entier, et :
ta
1
ta
ta
avec s  a  a et p  aa .
t  R ,

 2
t  a (t  a)(t  a ) t  st  p
-
Si a  R , alors t 
Donc ( s, p)  R 2 et s 2  4 p  0 .
1
(2t  s)  2s  a
t a
On a aussi : t  R , 2
.
 2 2
t  st  p
t  st  p
2t  s
Ainsi, une primitive de t  2
sur Rest t  ln( t 2  st  p) .
t  st  p
s
a
On doit donc maintenant trouver une primitive sur R de t  2 2
.
t  st  p
2
s
s2

On a, en mettant sous forme canonique : t  R , t 2  st  p   t    p 
4
 2
s2
s2
 0 . On introduit alors k  R * tel que k 2  p  .
De plus, on a p 
4
4
Ainsi, pour x0 , x  R , on a :
1 ( x s )
x
x
1 ( x s )
dt
dt
kdu
1
k
2


x0 t 2  st  p x0 (t  2s )2  k 2 1  s 1k ( x0  2s ) k 2u 2  k 2  k Arctan u 1kk ( x0 2 2s )
u  (t  )
k
2
du  1k dt
1
s 
1
1
sur R est t  Arctan  (t  ) 
k
2 
t  st  p
k
1
Finalement, une primitive de t 
sur R est :
ta


 t s 
1
1
s


2 
t  ln( t 2  st  p)    a 
Arctan 
2
2 
2
2

s
 p  s 
p
4
4 

(Bien entendu, il vaut mieux retenir la méthode que la formule, surtout dans ce
dernier cas… !)
Ainsi, une primitive de t 
2
B) Cas des fractions rationnelles à coefficients dans R.
D’abord, bien sûr, on sait faire, puisque c’est un cas particulier du A) : on
décompose la fraction rationnelle dans C et on intègre…
On peut quand même remarquer que si F  R ( X ) , sa partie entière est à
coefficients réels, les coefficients apparaissant dans les parties polaires relatives à des
pôles réels sont réels (voir le cours sur les fractions rationnelles), et enfin les pôles
complexes non réels sont conjugués deux à deux, avec les mêmes multiplicités, et si la
partie polaire relative à un pôle a  C \ R est
celle relative à a est
1
X a

2
(X  a)
2
 ... 
1
X a

n
( X  a )n
2
( X  a)
2
 ... 
n
( X  a) n
, alors
(cela résulte du fait que pour
tout t  R non pôle de F, F (t )  F (t ) , puisque F  R ( X ) , et de l’unicité de la
décomposition en éléments simples).
Ainsi, lorsqu’il apparaît un terme

aussi
X a
regrouper :


X a
(avec a  C \ R et   C ), il apparaîtra
. Donc, au lieu d’intégrer séparément ces deux termes, on peut plutôt les
(   ) X  (a   a)
X  
 2
2
X a X a
X  (a  a ) X  aa
X  sX  p
2
Où  ,  , s, p  R et s  4 p  0 .
t  
Ensuite, on intègre t  2
comme dans le cas complexe…
t  st  p



Cependant, regrouper les termes en

( X  a)
d’intégrer n’a aucun intérêt (on peut le faire après)
n
et

( X  a)n
pour n  2 avant
C) Exemples

Déjà, il n’est pas toujours utile de décomposer systématiquement :
15t 2  4t
1
1
Une primitive de t 
est t 
3
3
2
7
6 (5t  2t 2  1) 6
(5t  2t  1)
1
 Recherche d’une primitive de t  2
sur I   ,1, 1, ou  1,1 :
t 1
1
1 1
1 
1
1 1
1 
 

 

 , donc t  I , 2
.
2
X 1 2  X 1 X 1
t 1 2  t 1 t  1
1
1
Ainsi, une primitive de t  2
sur Iest t  ln t  1  ln t  1  , soit aussi
2
t 1
1 t 1
t  ln
2 t 1
1
 Recherche d’un primitive de t  3
sur I   ,1 ou 1, :
(t  1) 2
Décomposition en éléments simples dans C ( X ) :
La partie entière est nulle, et la décomposition est de la forme :
1
2
1
2
1
2
1
(1)






3
2
2
2
2
( X  1) ( X  1)
( X  j) ( X  j)
( X  1)
( X  j ) ( X  j 2 )2
1
(En utilisant le fait que t  R \ 1, 3
est égal à son conjugué et l’unicité de
(t  1) 2
la décomposition en éléments simples, on montre que  1 ,  2  R ,  1  1 ,  2   2 mais
on peut faire autrement dans ce cas)
En remplaçant Xpar jX , on obtient :
1
1
2
1
2
1
2






3
2
2
2
2
( X  1)
jX  1 ( jX  1)
jX  j ( jX  j )
jX  j
( jX  j 2 ) 2
j 21
j 2
j 2 1
j 2
j 2 1
j 2





2
2 2
2
Xj
(X  j )
X  1 ( X  1)
X  j ( X  j)2
Donc, par unicité de la décomposition en éléments simples :
 1  j 21 ,  2  j 2 , 1  j 2 1  j1 ,  2  j 2  j 2 2
Il nous reste donc à trouver 1 ,  2

En multipliant (1) par ( X  1) 2 , on obtient :
1
  1 ( X  1)   2  ( X  1) 2 G
2
( X  X  1) 2
Où G est une fraction rationnelle dont 1 n’est pas pôle.
1
En remplaçant X par 1, on obtient  2 
9
En dérivant formellement cette dernière égalité, on a alors :
 2(2 X  1)
  1  2( X  1)G  ( X  1) 2 G '
2
3
( X  X  1)
2
En prenant la valeur en 1, on a alors  1   .
9
Ainsi :

1
1 2
1
2j
j2
 2 j2
j








3
2
2
2
2
2 2 

9  ( X  1) ( X  1)
( X  j) ( X  j)
( X  1)
(X  j ) (X  j ) 
En regroupant
j2
j
et
, on obtient :
( X  j) ( X  j 2 )

1
1 2
1
2X  4
j2
j







3
2
2
2
2
2
2
9  ( X  1) ( X  1)
( X  1)
X  X  1 ( X  j)
( X  j ) 
On a :
2X  4
2X 1
3
 2
 2
2
X  X 1 X  X 1 X  X 1
1
1
Et 2

X  X  1 ( X  12 ) 2  34
Or, pour tout x0 , x  R , on a :
2
x
( x  12 )
dt
2 23 ( x  12 ) du
2
3





Arctan
u
.
2
x0 (t  12 ) 2  34  3  23 ( x0  12 ) u 2  1 3
(x 1)
3 0 2
3
1
t 2
dt 
u
2
3
du
2
Donc une primitive de t  3 
 2
1 
1
sur R est t  2 3Arctan 
(t  )  .
2 
t  t 1
 3
2
D’autre part, une primitive de t 
j2
j
sur R est :

2
(t  j )
(t  j 2 ) 2
 j2
j 
 t 1 
 , soit aussi t   2
t  

.
2 
 t  t 1
t  j t  j 
1
Ainsi, une primitive sur I de t  3
est la fonction :
(t  1) 2
1
1
1 
t 1 
 2

t    2 ln t  1 
 ln( t 2  t  1)  2 3Arctan 
(t  )   2
9
t 1
2  t  t  1 
 3
III Primitives des fonctions t  et P(t ) où   C * et
P  C[ X ]
Soit   C * , P  C[ X ] , et soit f : R  C définie par t  R , f (t )  et P(t ) . f est
continue sur R ; cherchons une primitive de f.
Etude :
Soit Q  C[ X ] , quelconque, et soit g : R  C définie par t  R , g (t )  et Q(t ) .
Alors g est dérivable, et t  R , g ' (t )  et (Q(t )  Q' (t )) .
On a donc les équivalences :
g '  f  t  R , Q(t )  Q' (t )  P(t )
 Q  Q '  P
(La deuxième équivalence se justifie par le fait que deux polynômes qui coïncident sur
une infinité de valeurs sont égaux)
Un peu d’algèbre :
Soit n  N tel que deg( P )  n
Soit  : C n [ X ]  C n [ X ]
QQQ'
(la définition a bien un sens car si Q  C n [X ] , alors Q  Q' C n [ X ] )
Alors  est linéaire (vérification immédiate), et comme   0 , on remarque que :
Q  C n [ X ], deg( (Q))  deg( Q)
Ainsi,  est injective (puisque  (Q)  0  deg( (Q))    deg( Q)  Q  0 )
Comme  est un endomorphisme en dimension finie,  est bijective.
Ainsi, il existe un unique Q  C n [X ] tel que Q  Q'  P , et on a même deg P  deg Q
Conclusion :
Les primitives de t  et P(t ) sur R sont les t  et Q(t )  cte , où Q est un certain
polynôme de même degré que P (on l’obtient par identification)
Ce résultat est faux pour   0 (en particulier parce que Q est de même degré que P)
Intérêt :
On peut ainsi obtenir les primitives des fonctions réelles de la forme :
t  et P(t ) cos(t ) et t  et P(t ) sin( t ) (où  ,   R , et P  R [ X ] ).
Exemple :
Recherche de primitives de f1 : t  e t (t 2  1) cos(2t ) et f 2 : t  e t (t 2  1) sin( 2t )
Soit f  f1  if 2 . Alors t  R , f (t )  e (1 2i )t (t 2  1) , et si F est une primitive de f, alors
Re F est une primitive de f1 et Im F une primitive de f 2 .
On cherche F sous la forme F (t )  e(12i )t (t 2  t   )
Alors t  R , F ' (t )  e(1 2i )t ((1  2i)(t 2  t   )  (2t   ))
Donc F '  f   (1  2i )  1 et  (1  2i)  2  0 et  (1  2i)    1
1
 2
1
et  
et  
(1   )
1  2i
1  2i
1  2i
D’où, après calculs, on obtient qu’une primitive de f est F donnée par :
1 (1 2i )t
25(1  2i)t 2  10(3  4i)t  (3  46i)
t  R , F (t ) 
e
125
Ainsi :
1 t
t  R , f1 (t )  Re( F (t )) 
e (25t 2  30t  3) cos( 2t )  (50t 2  40t  46) sin( 2t ) 
125
1 t
t  R , f 2 (t )  Im( F (t )) 
e (25t 2  30t  3) sin( 2t )  (50t 2  40t  46) cos( 2t ) 
125
 
IV Complément : règle de Bioche
On cherche l’intégrale d’une fraction rationnelle Fen cos et sin 
b
(  F (cos  , sin  )d )
a
Si F (cos  , sin  )d (attention au d !) est inchangé par    , faire le changement
de variable u  cos peut être utile pour calculer l’intégrale.
Si c’est inchangé par      , faire le changement de variable u  sin 
Si c’est inchangé par      , faire le changement de variable u  tan 