Intégration

Intégration
1Primitivesd’unefonction
Dé…nition 1 Soit fune fonction dé…nie sur un intervalle I: On appelle fonction primitive de
fsur Itoute fonction Fdérivable sur Itelle que
8x2I:F0(x)=f(x)
Exemple 1 La fonction F:x7! x2est une primitive sur Rde la fonction f:x7! 2x
Exemple 2 La fonction F:x7! ¡cos xest une primitive sur Rde la fonction f:x7! sin x
Théorème 1 Si fest une fonction admettant une primitive sur I; alors fadmet une in…nité
de primitives sur Iet si Fest une primitive de fsur I; alors toute primitive Gde fsur Iest
dé…nie par G(x)=F(x)+¸où ¸2R
Démonstration. Soit Fune primitive de fsur I:
Fest dérivable sur Iet 8x2I:F0(x)=f(x):
Si Gest dé…nie sur Ipar G(x)=F(x)+¸on a Gdérivable sur Iet G0(x)=F0(x)=f(x):
Donc Gest une primitive de fsur I:
De plus, si Gest une primitive quelconque de fsur I:
G0(x)=f(x))G0(x)=F0(x))(G¡F)0(x)=0:
Donc G¡Fest constante sur I; c’est à dire : 8x2I:G(x)¡F(x)=¸où ¸2R
Théorème 2 Toute fonction dérivable sur Iadmet des primitives sur I:
Théorème 3 Soit fune fonction admettant des primitives sur l’intervalle I: Soit a2Iet soit
b2R:Alors, il existe une et une seule primitive Fde fsur Itelle que F(a)=b
Démonstration. Soit Gune primitive de fsur I:
Alors toute autre primitive de fest dé…nie par F(x)=G(x)+¸avec ¸2R:
F(a)=b,G(a)+¸=b,¸=b¡G(®):Le choix de ¸est donc unique.
Exemple 3 La primitive de f:x7! xqui s’annule en 2est F:x7! x2
2¡2:
Théorème 4 Si Fet Gsont des primitives respectivement de fet gsur Iet si ¸2R,alors
F+Gest une primitive de f+gsur Iet ¸F est une primitive de ¸f sur I
Démonstration. Immédiate

Intégration 2
2Intégrale
Dé…nition 2 Soient aet bdeux réels de l’intervalle Iet soit fune fonction admettant Fpour
primitive sur I:
L’intégrale de aàbde la fonction fest le réel noté Zb
a
f(x)dx dé…ni par
Zb
a
f(x)dx =[F(x)]b
a=F(b)¡F(a)
Remarque 1 On n’a pas forcément a·b:
Remarque 2 La lettre xest ”muette” : Rb
af(x)dx =Rb af(t)dt =Rb af(u)du =:::
Exemple 4 Z¼=2
0
sin tdt=[¡cos t]¼=2
0=¡0¡(¡1) = 1
Exemple 5 Z0
1
xdx=·x2
2¸0
1
=0¡1
2=¡1 2
Théorème 5 Soit Iun intervalle contenant aet b:
Pour toute fonction fadmettant des primitives sur I:
Za
a
f(x)dx =0
Za
b
f(x)dx =¡Zb
a
f(x)dx
Démonstration. immédiate
Théorème 6 Soit Iun intervalle contenant aet b:
Soient fet gadmettant des primitives sur I
Zb
a
[¸f (x)] dx =¸Zb
a
f(x)dx
Zb
a
[f(x)+g(x)] dx =Zb
a
f(x)dx +Zb
a
g(x)dx
Théorème 7 Soit fune fonction admettant des primitives sur [a;b]:(on a donc a·b!).
Soit Cla courbe représentative de fdans le repère orthogonal ³O;~ i;~ j´:
Si f¸0sur [a;b];l’aire du domaine limité par C;l’axe des abscisses et les droites d’équations
x=aet x=best A=Rb
af(x)dx: Résultat en unités d’aire : aire du rectangle de côtés OI
et OJ où Iet Jsont dé…nis par ~ i=¡! OI et ~ j=¡! OJ
-
6
~
i
~
j
(C)
Rb
af(x)dx
........
.......
........
....
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.....
.....
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-
6
I
J
Oa b
1u.a

Intégration 3
3Calculdeprimitives
¸désigne une constante réelle quelconque.
f(x)F(x)I
®(constante) ®x +¸R
xx2
2+¸R
xn(n2Z¤¡f¡1g)xn+1
n+1+¸]¡1;0[ ou ]0; +1[si n=2N)
Rsi n2N¤
1
px2px+¸]0; +1[
sin x¡cos x+¸R
cos xsin x+¸R
1+tan
2x=1
cos2xtan x+¸i¡¼ 2+k¼;¼ 2+k¼havec k2Z
f(x)F(x)I
sin (ax +b)¡1
acos (ax +b)R
cos (ax +b)1
asin (ax +b)R
1+tan
2(ax +b)= 1
cos2(ax +b)
1
atan (ax +b)ax +b2i¡¼ 2+k¼;¼ 2+k¼havec k2Z
uest une fonction dérivable sur l’intervalle Iet ¸est une constante réelle quelconque.
fF I
un:u0avec n2N¤un+1
n+1+¸
u0
unavec n2N¤¡f1g ¡ 1 (n¡1) un+1 +¸ u 6=0sur I
u0
pu2pu+¸u>0sur I
(f0±u):u0f±u+¸ f dérivable sur un intervalle contenant u(I)
Exemple 6 Une primitive de f:x7! 2x2+3x¡5sur Rest F:x7! 2
3x3+3x2¡5x
Exemple 7 Soit f(x)=(3x+1)
5:Si on pose u(x)=3x+1;alors uest dérivable sur Ret
u0(x)=3:
D’où f(x)=1
3(3x+1)
5£3=k[u(x)]5£u0(x)avec k=1
3
Donc une primitive de fsur Rest Fdé…nie par F(x)=1
3
(3x+1)
6
6+¸=1 18 (3x+1)
6+¸où
¸est une constante réelle quelconque.