Probabilités 2015-2016 Classes Préparatoires en Sciences et Techniques d’Oran KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités
Classes Préparatoires en Sciences et Techniques d’Oran
2015-2016
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Transformation d’un couple aléatoire réel
Chapitre VI :
Transformation d’un
couple aléatoire réel
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Probabilités et statistique
Transformation d’un couple aléatoire réel
Changement de variables de R2 vers R2
Changement de variables
de R2 vers R2
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Transformation d’un couple aléatoire réel
Changement de variables de R2 vers R2
De R2 vers R2
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Transformation d’un couple aléatoire réel
Changement de variables de R2 vers R2
De R2 vers R2
Soient (X, Y ) et (U, V ) deux couples aléatoires reéls, tels que :
(U, V ) = φ(X, Y ) = (φ1 (X, Y ) ; φ2 (X, Y ))
où φ, φ1 et φ2 sont des fonctions reélles.
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Transformation d’un couple aléatoire réel
Changement de variables de R2 vers R2
De R2 vers R2
Soient (X, Y ) et (U, V ) deux couples aléatoires reéls, tels que :
(U, V ) = φ(X, Y ) = (φ1 (X, Y ) ; φ2 (X, Y ))
où φ, φ1 et φ2 sont des fonctions reélles.
Nous pouvons déterminer la loi de probabilité du couple (U, V )
à partir de la loi de probabilité du couple (X, Y ) .
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De R2 vers R2
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Changement de variables de R2 vers R2
De R2 vers R2
1
(X, Y ) discret et (U, V ) discret :
La loi de probabilité du couple (U, V ) est donnée par :
∀(u, v) ∈ (U, V )(Ω) :
P(U = u ; V = v) =
X
P(X = x ; Y = y)
(u,v)=φ(x,y)
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Exemple :
Soit (X, Y ) un c.a.d de loi de probabilité :
Y\ X
0
1
0
3/9
1/9
1
2/9
3/9
Donner la loi du couple (U, V ) tel que :
(
U=X+Y
V =X−Y
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2
(X, Y ) continu et (U, V ) discret :
La loi de probabilité du couple (U, V ) est donnée par :
∀(u, v) ∈ (U, V )(Ω) :
P(U = u ; V = v) =
ZZ
fX;Y (x ; y)dx dy
(u,v)=φ(x,y)
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Exemple :
Soit le couple (X, Y ) de densité :
fX,Y (x, y) =


 4xy
si 0 < x < 1 et 0 < y < 1,


sinon.
0
Donner la loi du couple (U, V ) tel que :
U=


 1
si 0 < x ≤ 1/2


si 1/2 < x < 1
2
et V =
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

 1
si 0 < y ≤ 1/2


si 1/2 < y < 1
2
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3
(X, Y ) continu et (U, V ) continu :
Si la fonction φ est bijective , La loi de probabilité du
couple (U, V ) est donnée par :
∀(u, v) ∈ (U, V )(Ω) :
fU;V (u; v) = fX;Y φ−1 (u ; v) Jφ−1 où :
Jφ−1
= 1
d φ−
1
du
1
d φ−
2
du
1
d φ−
1
dv
1
d φ−
2
dv
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6= 0
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Exemple :
Soit le couple (X, Y ) de densité :
fX ,Y ( x , y ) =

2 −λ (x+y)

 λ e
si x > 0 et y > 0,


sinon.
0
Donner la loi du couple (U, V ) tel que :
(
U=X+Y
V =X−Y
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Remarque :
Si la fonction φ n’est pas bijective, et qu’elle admet plusieurs
images réciproques : ψ1 ; ψ2 ; · · · ; ψn ,
la loi de probabilité du couple (U, V ) est donnée par :
∀(u, v) ∈ (U, V )(Ω) :
fU;V (u; v) =
n
X
fX;Y (ψi (u ; v)) | Jψi |
i=1
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Exemple :
Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes qui
suivent la loi normale centrée et réduite.
Donner la loi du couple (U, V ) tel que :
(
U = X2
V = X2 + Y
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