Probabilités 2015-2016 Classes Préparatoires en Sciences et Techniques d’Oran KARA-ZAÏTRI L.

Probabilités
Classes Préparatoires en Sciences et Techniques d’Oran
2015-2016
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Chapitre V :
Couples aléatoires réels
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
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Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
1
Couple aléatoire réel :
KARA-ZAÏTRI L.
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
1
Couple aléatoire réel :
On appelle couple aléatoire réel, noté c.a.r, tout couple
de variables aléatoires (X, Y ).
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Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
1
Couple aléatoire réel :
On appelle couple aléatoire réel, noté c.a.r, tout couple
de variables aléatoires (X, Y ).
(X, Y ) est dit couple aléatoire discret (c.a.d) si les
variables X et Y sont discrètes.
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Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
1
Couple aléatoire réel :
On appelle couple aléatoire réel, noté c.a.r, tout couple
de variables aléatoires (X, Y ).
(X, Y ) est dit couple aléatoire discret (c.a.d) si les
variables X et Y sont discrètes.
(X, Y ) est dit couple aléatoire continu (c.a.c) si les
variables X et Y sont continues.
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Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
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Définitions
Définitions
2
Loi de probabilité conjointe :
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Définitions
Définitions
2
Loi de probabilité conjointe :
1
Cas discret :
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Définitions
Définitions
2
Loi de probabilité conjointe :
1
Cas discret :
La loi de probabilité conjointe d’un c.a.d (X, Y ) est donnée
par :
X(Ω) et Y (Ω),
∀xi ∈ X(Ω) et yj ∈ Y (Ω) : Pij = P(X = xi ∩ Y = yj ).
Tels que :
P
xi ∈X(Ω)
P
yj ∈Y (Ω)
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Pij = 1 .
Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
2
Loi de probabilité conjointe :
1
Cas discret :
La loi de probabilité conjointe d’un c.a.d (X, Y ) est donnée
par :
X(Ω) et Y (Ω),
∀xi ∈ X(Ω) et yj ∈ Y (Ω) : Pij = P(X = xi ∩ Y = yj ).
Tels que :
P
xi ∈X(Ω)
P
yj ∈Y (Ω)
Pij = 1 .
Elle est souvent présentée sous forme d’un tableau.
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Couples aléatoires réels
Définitions
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Exemple :
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Définitions
Définitions
Exemple :
Une urne contient 3 boules numérotées : 1, 2 et 3. On tire
successivement et sans remise 2 boules de cette urne.
L’espace Ω = {
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Définitions
Définitions
Exemple :
Une urne contient 3 boules numérotées : 1, 2 et 3. On tire
successivement et sans remise 2 boules de cette urne.
L’espace Ω = {(1; 2), (1; 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2)} .
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Définitions
Définitions
Exemple :
Une urne contient 3 boules numérotées : 1, 2 et 3. On tire
successivement et sans remise 2 boules de cette urne.
L’espace Ω = {(1; 2), (1; 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2)} .
Soient les variables aléatoires :
X qui donne le numéro de la 1ère boule tirée.
Y qui donne le plus grand des deux numéros obtenus.
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X(Ω) = {
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X(Ω) = {1, 2, 3} .
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X(Ω) = {1, 2, 3} .
Y (Ω) = {
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Définitions
X(Ω) = {1, 2, 3} .
Y (Ω) = {2, 3} .
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Définitions
Définitions
X(Ω) = {1, 2, 3} .
Y (Ω) = {2, 3} .
La loi de probabilité conjointe du couple (X, Y ) est donnée par :
Y\ X
2
3
1
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2
3
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Définitions
Définitions
X(Ω) = {1, 2, 3} .
Y (Ω) = {2, 3} .
La loi de probabilité conjointe du couple (X, Y ) est donnée par :
Y\ X
2
3
1
1/6
1/6
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2
1/6
1/6
3
\
2/6
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2
Cas continu :
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2
Cas continu :
La loi de probabilité conjointe d’un c.a.c (X, Y ) est donnée
par la fonction fX;Y appelée "densité de probabilité
conjointe" telle que :
∀(x, y) ∈ (X, Y )(Ω) : fX;Y (x, y) ≥ 0 .
RR
f (x, y) dx dy
R2 X;Y
= 1.
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Exemple :
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Exemple :
Soit la densité de probabilité conjointe fX;Y définie par
fX ,Y ( x , y ) =

2
2

 c x y exp(−x − y )
si x ≥ 0 et y ≥ 0,


sinon.
0
Donner la valeur de c.
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3
Loi de probabilité marginale :
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3
Loi de probabilité marginale :
1
Cas discret :
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3
Loi de probabilité marginale :
1
Cas discret :
La loi de probabilité marginale de la variable aléatoire X est
donnée pour tout xi ∈ X(Ω) par :
Pi. = P(X = xi ) =
X
P(X = xi ∩ Y = yj )
j
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Définitions
Définitions
3
Loi de probabilité marginale :
1
Cas discret :
La loi de probabilité marginale de la variable aléatoire X est
donnée pour tout xi ∈ X(Ω) par :
Pi. = P(X = xi ) =
X
P(X = xi ∩ Y = yj )
j
La loi de probabilité marginale de la variable aléatoire Y est
donnée pour tout yj ∈ Y (Ω) par :
P.j = P(Y = yj ) =
X
P(X = xi ∩ Y = yj )
i
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Définitions
Définitions
3
Loi de probabilité marginale :
1
Cas discret :
La loi de probabilité marginale de la variable aléatoire X est
donnée pour tout xi ∈ X(Ω) par :
Pi. = P(X = xi ) =
X
P(X = xi ∩ Y = yj )
j
La loi de probabilité marginale de la variable aléatoire Y est
donnée pour tout yj ∈ Y (Ω) par :
P.j = P(Y = yj ) =
X
P(X = xi ∩ Y = yj )
i
Elles sont souvent présentées dans le tableau de la loi de
probabilité conjointe.
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Exemple :
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Définitions
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Exemple :
Dans l’exemple précédent, donner les lois marginales de X et
de Y .
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Définitions
Définitions
Exemple :
Dans l’exemple précédent, donner les lois marginales de X et
de Y .
Y\ X
2
3
1
1/6
1/6
2
1/6
1/6
3
P.j
\
2/6
Pi.
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Définitions
Définitions
Exemple :
Dans l’exemple précédent, donner les lois marginales de X et
de Y .
Y\ X
2
3
Pi.
1
1/6
1/6
2/6
KARA-ZAÏTRI L.
2
1/6
1/6
2/6
3
P.j
\
2/6
2/6
2/6
4/6
1
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Définitions
Définitions
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Définitions
Définitions
2
Cas continu :
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Définitions
Définitions
2
Cas continu :
La loi de probabilité marginale de la variable aléatoire X
est donnée par :
Z
fX (x) =
fX;Y (x, y) dy
R
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Définitions
Définitions
2
Cas continu :
La loi de probabilité marginale de la variable aléatoire X
est donnée par :
Z
fX (x) =
fX;Y (x, y) dy
R
La loi de probabilité marginale de la variable aléatoire Y
est donnée par :
Z
fY (y) =
fX;Y (x, y) dx
R
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Couples aléatoires réels
Définitions
Définitions
2
Cas continu :
La loi de probabilité marginale de la variable aléatoire X
est donnée par :
Z
fX (x) =
fX;Y (x, y) dy
R
La loi de probabilité marginale de la variable aléatoire Y
est donnée par :
Z
fY (y) =
fX;Y (x, y) dx
R
Exemple :
Dans l’exemple précédent, donner les lois marginales de
X et de Y .
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Définitions
Définitions
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Définitions
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4
Loi de probabilité conditionnelle :
La loi de probabilité de la variable X sachant que Y = y
est donnée par :
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Définitions
Définitions
4
Loi de probabilité conditionnelle :
La loi de probabilité de la variable X sachant que Y = y
est donnée par :
Cas discret :
P (X = x/Y = y) =
P(X = xi ∩ Y = yj )
;
P(Y = yj )
KARA-ZAÏTRI L.
si P(Y = yj ) 6= 0
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Définitions
Définitions
4
Loi de probabilité conditionnelle :
La loi de probabilité de la variable X sachant que Y = y
est donnée par :
Cas discret :
P (X = x/Y = y) =
P(X = xi ∩ Y = yj )
;
P(Y = yj )
si P(Y = yj ) 6= 0
Cas continu :
fX/Y =y (x) =
KARA-ZAÏTRI L.
fX;Y (x, y)
fY (y)
;
si fY (y) 6= 0
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Définitions
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Définitions
Définitions
5
Indépendance :
Les variables aléatoires X et Y sont dites indépendantes
si et seulement si :
Cas discret : ∀(xi , yj ) ∈ (X, Y )(Ω) :
P (X = xi ; Y = yj ) = P(X = xi ) × P(Y = yj )
Cas continu : ∀(x, y) ∈ R2 :
fX;Y (x, y) = fX (x) × fY (y)
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Probabilités et statistique
Couples aléatoires réels
Caractéristiques d’un couple aléatoire
Caractéristiques d’un
couple aléatoire
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Caractéristiques d’un couple aléatoire
Caractéristiques d’un c.a.r
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Caractéristiques d’un couple aléatoire
Caractéristiques d’un c.a.r
1
Fonction de répartition conjointe :
La fonction de répartition conjointe de (X, Y ) est définie
par :
FX;Y (x, y) = P(X 6 x ; Y 6 y)
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Caractéristiques d’un couple aléatoire
Caractéristiques d’un c.a.r
1
Fonction de répartition conjointe :
La fonction de répartition conjointe de (X, Y ) est définie
par :
FX;Y (x, y) = P(X 6 x ; Y 6 y)
Cas discret :
FX;Y (x, y) =
XX
P(X = s ; Y = t)
s≤x t ≤y
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Couples aléatoires réels
Caractéristiques d’un couple aléatoire
Caractéristiques d’un c.a.r
1
Fonction de répartition conjointe :
La fonction de répartition conjointe de (X, Y ) est définie
par :
FX;Y (x, y) = P(X 6 x ; Y 6 y)
Cas discret :
FX;Y (x, y) =
XX
P(X = s ; Y = t)
s≤x t ≤y
Cas continu :
Z
x
Z
y
FX;Y (x, y) =
fX;Y (s, t ) ds dt
−∞
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−∞
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Caractéristiques d’un couple aléatoire
Caractéristiques d’un c.a.r
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Caractéristiques d’un couple aléatoire
Caractéristiques d’un c.a.r
2
Fonction de répartition marginale :
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Caractéristiques d’un couple aléatoire
Caractéristiques d’un c.a.r
2
Fonction de répartition marginale :
1
Cas discret :
La fonction de répartition marginale de la v.a. X est donnée
par :
X
P(X = s)
FX (x) =
s≤x
La fonction de répartition marginale de la v.a. Y est donnée
par :
X
P(Y = t)
F Y (y ) =
t ≤y
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Caractéristiques d’un c.a.r
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Caractéristiques d’un couple aléatoire
Caractéristiques d’un c.a.r
2
Cas continu :
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Caractéristiques d’un couple aléatoire
Caractéristiques d’un c.a.r
2
Cas continu :
La fonction de répartition marginale de la v.a. X est
donnée par :
Z
x
fX (s) ds ou
FX (x) =
−∞
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FX (x) =
lim FX;Y (x, y)
y→+∞
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Caractéristiques d’un couple aléatoire
Caractéristiques d’un c.a.r
2
Cas continu :
La fonction de répartition marginale de la v.a. X est
donnée par :
x
Z
fX (s) ds ou
FX (x) =
FX (x) =
−∞
lim FX;Y (x, y)
y→+∞
La fonction de répartition marginale de la v.a. Y est
donnée par :
Z
y
FY (y) =
fY (t ) dt
−∞
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ou
FY (y) =
lim FX;Y (x, y)
x→+∞
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Caractéristiques d’un c.a.r
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Caractéristiques d’un c.a.r
3
Esperance mathématique :
Soit φ une fonction continue sur (X, Y ) (Ω).
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Caractéristiques d’un c.a.r
3
Esperance mathématique :
Soit φ une fonction continue sur (X, Y ) (Ω).
1
Cas discret :
E (φ(X, Y )) =
XX
φ(x, y) P(X = x ; Y = y)
X(Ω) Y (Ω)
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Caractéristiques d’un c.a.r
3
Esperance mathématique :
Soit φ une fonction continue sur (X, Y ) (Ω).
1
Cas discret :
E (φ(X, Y )) =
XX
φ(x, y) P(X = x ; Y = y)
X(Ω) Y (Ω)
2
Cas continu :
ZZ
E (φ(X, Y )) =
φ(x, y) fX;Y (x, y) dx dy
R2
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Caractéristiques d’un couple aléatoire
Caractéristiques d’un c.a.r
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Caractéristiques d’un couple aléatoire
Caractéristiques d’un c.a.r
4
Moments d’ordres r et s :
Soient r et s ∈ N∗ .
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Caractéristiques d’un couple aléatoire
Caractéristiques d’un c.a.r
4
Moments d’ordres r et s :
Soient r et s ∈ N∗ .
Le moment simple d’ordres r et s est donné par :
µr ,s = E (Xr Y s )
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Caractéristiques d’un couple aléatoire
Caractéristiques d’un c.a.r
4
Moments d’ordres r et s :
Soient r et s ∈ N∗ .
Le moment simple d’ordres r et s est donné par :
µr ,s = E (Xr Y s )
Le moment centré d’ordres r et s est donné par :
mr ,s = E [(X − E(X))r . (Y − E(Y ))s ]
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Caractéristiques d’un c.a.r
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Caractéristiques d’un c.a.r
5
Covariance :
La covariance entre X et Y est donnée par :
cov(X, Y ) = m1,1 = E [(X − E(X)) . (Y − E(Y ))]
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Caractéristiques d’un c.a.r
5
Covariance :
La covariance entre X et Y est donnée par :
cov(X, Y ) = m1,1 = E [(X − E(X)) . (Y − E(Y ))]
Remarque :
cov(X, Y ) = E (X . Y ) − E (X) . E (Y )
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Caractéristiques d’un c.a.r
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Caractéristiques d’un c.a.r
6
Corrélation :
Le coefficient de corrélation entre X et Y est donné par :
ρ(X ; Y ) =
cov(X, Y )
∈ [−1 ; 1]
σ(X) .σ(Y )
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6
Corrélation :
Le coefficient de corrélation entre X et Y est donné par :
ρ(X ; Y ) =
cov(X, Y )
∈ [−1 ; 1]
σ(X) .σ(Y )
Propriétés :
Si les variables X et Y sont indépendantes alors :
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Caractéristiques d’un c.a.r
6
Corrélation :
Le coefficient de corrélation entre X et Y est donné par :
ρ(X ; Y ) =
cov(X, Y )
∈ [−1 ; 1]
σ(X) .σ(Y )
Propriétés :
Si les variables X et Y sont indépendantes alors :
E (X . Y ) =
cov(X, Y ) =
ρ(X ; Y ) =
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Caractéristiques d’un c.a.r
6
Corrélation :
Le coefficient de corrélation entre X et Y est donné par :
ρ(X ; Y ) =
cov(X, Y )
∈ [−1 ; 1]
σ(X) .σ(Y )
Propriétés :
Si les variables X et Y sont indépendantes alors :
E (X . Y ) = E (X) . E (Y ) .
cov(X, Y ) = 0 .
ρ(X ; Y ) = 0 .
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Caractéristiques d’un c.a.r
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7
Fonction génératrice des moments :
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Caractéristiques d’un c.a.r
7
Fonction génératrice des moments :
Elle nous permet d’avoir les moments simples d’ordres r
et s, (∀r , s ∈ N∗ ), et est donnée par :
gX;Y (t1 , t2 ) = E et1 X + t2 Y
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Caractéristiques d’un c.a.r
7
Fonction génératrice des moments :
Elle nous permet d’avoir les moments simples d’ordres r
et s, (∀r , s ∈ N∗ ), et est donnée par :
gX;Y (t1 , t2 ) = E et1 X + t2 Y
Le moment simple d’ordres r et s est donné par :
µ r ,s = E ( X r Y s ) =
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dr +s gX;Y (t1 , t2 )
dt1r dt2s
|t1 =0 ; t2 =0
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