Applications Linéaires

Applications Lin´eaires
S2 Math´ematiques G´en´erales 1
11MM21
Les notes qui suivent sont en partie inspir´ees des sites :
http://uel.unisciel.fr/mathematiques/espacevect1/espacevect1 et
http://uel.unisciel.fr/mathematiques/calculmat1/calculmat1
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1. D´efinitions et premi`eres propri´et´es
On fixe un corps K(Rou C) et on se donne deux K-espaces vectoriels Eet F.
1.1. D´efinitions et notations
D´efinition
Soit E et F deux K-espaces vectoriels et f :E→F une application.
On dit que f est une application lin´eaire lorsque pour tout (u,v)∈E×E et
tout (λ, µ)∈K2on a :
f(λu+µv) = λf(u) + µf(v).
On note L(E,F) l’ensemble des applications lin´eaires de Edans F.
Lorsque E=F, on note L(E) l’ensemble L(E,E). Les ´el´ements de L(E) sont
appel´es des endomorphismes de E. Une application lin´eaire bijective est
appel´ee un isomorphisme. Un endomorphisme bijectif est un automorphisme.
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1.2. Premi`eres propri´et´es
Propri´et´es
1Une application f :E→F est lin´eaire si et seulement si elle envoie la
somme sur la somme et le produit sur le produit :
ILorsque u et v sont deux vecteurs de E : f (u+v) = f(u) + f(v)
IPour u dans E et λdans K: f (λu) = λf(u)
2Si f ∈ L(E,F)on a toujours f (0E)=0F.
Proposition
Une combinaison lin´eaire d’applications lin´eaires est une application lin´eaire.
Ainsi L(E,F)est un K-espace vectoriel.
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Proposition
1La compos´ee de deux applications lin´eaires est une application lin´eaire.
2Si f est une application lin´eaire bijective, il en va de mˆeme pour f −1.
Propri´et´es
Soient E, F et G trois espaces vectoriels sur K. Si λ∈K, f , f1et f2sont des
´el´ements de L(E,F)et g, g1et g2des ´el´ements de L(F,G)on a :
g◦(f1+f2) = g◦f1+g◦f2,
(g1+g2)◦f=g1◦f+g2◦f,
(λg)◦f=g◦(λf) = λ(g◦f).
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1.3. Caract´erisation d’une application lin´eaire en dimension finie
Th´eor`eme
Soit E et F deux K-espaces vectoriels et soit B= (e1,...,ep)une base de E .
1Toute application lin´eaire f ∈ L(E,F)est enti`erement d´etermin´ee d`es que
l’on connaˆıt les images par f des vecteurs de la famille B:
deux applications lin´eaires qui co¨ıncident sur Bsont ´egales.
2Pour toute famille {v1,...,vp}d’´el´ements de F (pas n´ecessairement une
base) il existe une unique application lin´eaire f de E dans F telle que
f(ei) = vipour tout i = 1,...,p.
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1.4. Image directe et image r´eciproque
D´efinition-Proposition
Soit f ∈ L(E,F), soit G un sous-espace vectoriel de E et H un sous-espace
vectoriel de F .
1L’ image directe de G par f :
f(G) := {f(u)|u∈G}
est un sous-espace vectoriel de F .
2L’ image r´eciproque de H par f :
f−1(H) := {v∈E|f(v)∈H}
est un sous-espace vectoriel de E .
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2. Noyaux et Images
2.1. D´efinitions et premi`eres propri´et´es
D´efinitions
Soit f :E→F une application lin´eaire entre deux K-espaces vectoriels.
On appelle noyau de f , que l’on note ker f , l’image r´eciproque de 0F:
ker f:= {u∈E|f(u) = 0F}=f−1({0F})⊂E.
On appelle image de f , que l’on note Im f , l’image directe de E par f :
Im f:= {f(u)|u∈E} ⊂ F.
Proposition
Si f ∈ L(E,F),ker f est un sous-espace vectoriel de E et Im f est un
sous-espace vectoriel de F .
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Cas particulier des espaces vectoriels de type fini
Proposition
Soit f :E→F une application lin´eaire.
Si E est de type fini et {e1,· · · ,em}est un syst`eme g´en´erateur de E alors
{f(e1),· · · ,f(em)}est un syst`eme g´en´erateur de Im f :
Im f=Vect(f(e1),· · · ,f(em)).
D´efinition
Soit f ∈ L(E,F). Le rang de f est la dimension de l’image de f :
rang(f) = dim(Im f).
Lorsque Eest type fini on a toujours rang(f)≤dim E.
Si de plus Fest ´egalement de type fini, on a toujours
rang(f)≤min(dim E,dim F).
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2.2. Applications lin´eaires injectives
Proposition
Soit f :E→F une application lin´eaire entre deux K-espaces vectoriels. Les
assertions suivantes sont ´equivalentes.
1L’application f est injective.
2Le noyau est r´eduit `a 0E:ker f={0E}.
3L’image par f de toute famille libre de E est une famille libre de F.
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2.3. Applications lin´eaires surjectives
Proposition
Soit f :E→F une application lin´eaire. Les assertions suivantes sont
´equivalentes :
1L’application f est surjective.
2L’image de f est F : Im f=F .
3L’image par f de toute famille g´en´eratrice de E est une famille
g´en´eratrice de F .
4L’image par f d’une famille g´en´eratrice de E est une famille
g´en´eratrice de F .
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2.4 Applications lin´eaires bijectives
Th´eor`eme
Soit f :E→F une application lin´eaire. Les assertions suivantes sont
´equivalentes :
1L’application f est un isomorphisme.
2On a ker f={0E}et Im f=F .
3L’image par f de toute base de E est une base de F .
4L’image par f d’une base de E est une base de F .
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Th´eor`eme
Pour que deux espaces vectoriels de type fini sur Ksoient isomorphes,
c’est-`a-dire pour qu’il existe une application lin´eaire bijective entre eux, il faut
et il suffit qu’ils aient la mˆeme dimension.
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2.5 Th´eor`eme du rang
Lemme
Soit f :E→F une application lin´eaire entre deux K-espaces vectoriels et H
un suppl´ementaire de ker f dans E : E = ker f⊕H.
La restriction de f `a H induit un isomorphisme de H dans Im f .
Th´eor`eme (Th´eor`eme du rang)
Soit f :E→F une application lin´eaire entre deux K-espaces vectoriels,
E ´etant de dimension finie. On a :
dim E= dim(ker f) + dim(Im f) = dim(ker f) + rang(f).
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Lorsque f:E→Fest une application lin´eaire on a toujours :
fest injective ⇐⇒ ker f={0E} ⇐⇒ dim(ker f) = 0
fest surjective ⇐⇒ Im f=F
Si de plus Fest de type fini on a l’´equivalence :
Im f=F⇐⇒ dim(Im f) = dim F
On d´eduit alors du th´eor`eme du rang le :
Corollaire
Soit f :E→F une application lin´eaire entre deux espaces vectoriels de
mˆeme dimension finie. Les assertions suivantes sont ´equivalentes.
1L’application f est un isomorphisme.
2L’application f est injective.
3L’application f est surjective.
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3. Matrices et applications lin´eaires
Dans toute la suite, Ed´esigne un espace vectoriel de dimension finie p,
E= (e1,· · · ,ep) une base de E,Fun espace vectoriel de dimension finie net
F= (f1,· · · ,fn) une base de F.
3.1 Cas g´en´eral
Soit ϕ:E→Fune application lin´eaire.
Si uest un vecteur de E, notons [u]E=
x1
.
.
.
xp
le vecteur colonne des
coordonn´ees de udans la base E. Autrement dit u=x1e1+· · · +xpep.
Par lin´earit´e de ϕ:
ϕ(u) = x1ϕ(e1) + · · · +xpϕ(ep)
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