Applications Linéaires

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S2 Mathématiques Générales 1
11MM21
Les notes qui suivent sont en partie inspirées des sites :
http://uel.unisciel.fr/mathematiques/espacevect1/espacevect1 et
http://uel.unisciel.fr/mathematiques/calculmat1/calculmat1
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1. Définitions et premières propriétés
On fixe un corps K (R ou C) et on se donne deux K-espaces vectoriels E et F .
1.1. Définitions et notations
Définition
Soit E et F deux K-espaces vectoriels et f : E → F une application.
On dit que f est une application linéaire lorsque pour tout (u, v ) ∈ E × E et
tout (λ, µ) ∈ K2 on a :
f (λu + µv ) = λf (u) + µf (v ) .
On note L(E , F ) l’ensemble des applications linéaires de E dans F .
Lorsque E = F , on note L(E ) l’ensemble L(E , E ). Les éléments de L(E ) sont
appelés des endomorphismes de E . Une application linéaire bijective est
appelée un isomorphisme. Un endomorphisme bijectif est un automorphisme.
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1.2. Premières propriétés
Propriétés
1
Une application f : E → F est linéaire si et seulement si elle envoie la
somme sur la somme et le produit sur le produit :
I
I
2
Lorsque u et v sont deux vecteurs de E : f (u + v ) = f (u) + f (v )
Pour u dans E et λ dans K : f (λu) = λf (u)
Si f ∈ L(E , F ) on a toujours f (0E ) = 0F .
Proposition
Une combinaison linéaire d’applications linéaires est une application linéaire.
Ainsi L(E , F ) est un K-espace vectoriel.
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Proposition
1
2
La composée de deux applications linéaires est une application linéaire.
Si f est une application linéaire bijective, il en va de même pour f −1 .
Propriétés
Soient E , F et G trois espaces vectoriels sur K. Si λ ∈ K, f , f1 et f2 sont des
éléments de L(E , F ) et g , g1 et g2 des éléments de L(F , G ) on a :
g ◦ (f1 + f2 ) = g ◦ f1 + g ◦ f2 ,
(g1 + g2 ) ◦ f = g1 ◦ f + g2 ◦ f ,
(λg ) ◦ f = g ◦ (λf ) = λ(g ◦ f ).
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1.3. Caractérisation d’une application linéaire en dimension finie
Théorème
Soit E et F deux K-espaces vectoriels et soit B = (e1 , . . . , ep ) une base de E .
1 Toute application linéaire f ∈ L(E , F ) est entièrement déterminée dès que
l’on connaı̂t les images par f des vecteurs de la famille B :
deux applications linéaires qui coı̈ncident sur B sont égales.
2 Pour toute famille {v , . . . , v } d’éléments de F (pas nécessairement une
1
p
base) il existe une unique application linéaire f de E dans F telle que
f (ei ) = vi pour tout i = 1, . . . , p.
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1.4. Image directe et image réciproque
Définition-Proposition
Soit f ∈ L(E , F ), soit G un sous-espace vectoriel de E et H un sous-espace
vectoriel de F .
1 L’ image directe de G par f :
f (G ) := {f (u) | u ∈ G }
2
est un sous-espace vectoriel de F .
L’ image réciproque de H par f :
f −1 (H) := {v ∈ E | f (v ) ∈ H}
est un sous-espace vectoriel de E .
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2. Noyaux et Images
2.1. Définitions et premières propriétés
Définitions
Soit f : E → F une application linéaire entre deux K-espaces vectoriels.
On appelle noyau de f , que l’on note ker f , l’image réciproque de 0F :
ker f := {u ∈ E | f (u) = 0F } = f −1 ({0F }) ⊂ E .
On appelle image de f , que l’on note Im f , l’image directe de E par f :
Im f := {f (u) | u ∈ E } ⊂ F .
Proposition
Si f ∈ L(E , F ), ker f est un sous-espace vectoriel de E et Im f est un
sous-espace vectoriel de F .
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Cas particulier des espaces vectoriels de type fini
Proposition
Soit f : E → F une application linéaire.
Si E est de type fini et {e1 , · · · , em } est un système générateur de E alors
{f (e1 ), · · · , f (em )} est un système générateur de Im f :
Im f = Vect(f (e1 ), · · · , f (em )).
Définition
Soit f ∈ L(E , F ). Le rang de f est la dimension de l’image de f :
rang(f ) = dim(Im f ).
Lorsque E est type fini on a toujours rang(f ) ≤ dim E .
Si de plus F est également de type fini, on a toujours
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rang(f ) ≤ min(dim E , dim F ) .
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2.2. Applications linéaires injectives
Proposition
Soit f : E → F une application linéaire entre deux K-espaces vectoriels. Les
assertions suivantes sont équivalentes.
1 L’application f est injective.
2 Le noyau est réduit à 0
E : ker f = {0E }.
3 L’image par f de toute famille libre de E est une famille libre de F .
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2.3. Applications linéaires surjectives
Proposition
Soit f : E → F une application linéaire. Les assertions suivantes sont
équivalentes :
1 L’application f est surjective.
2 L’image de f est F : Im f = F .
3 L’image par f de toute famille génératrice de E est une famille
génératrice de F .
4 L’image par f d’une famille génératrice de E est une famille
génératrice de F .
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2.4 Applications linéaires bijectives
Théorème
Soit f : E → F une application linéaire. Les assertions suivantes sont
équivalentes :
1 L’application f est un isomorphisme.
2 On a ker f = {0 } et Im f = F .
E
3 L’image par f de toute base de E est une base de F .
4 L’image par f d’une base de E est une base de F .
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Théorème
Pour que deux espaces vectoriels de type fini sur K soient isomorphes,
c’est-à-dire pour qu’il existe une application linéaire bijective entre eux, il faut
et il suffit qu’ils aient la même dimension.
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2.5 Théorème du rang
Lemme
Soit f : E → F une application linéaire entre deux K-espaces vectoriels et H
un supplémentaire de ker f dans E : E = ker f ⊕ H.
La restriction de f à H induit un isomorphisme de H dans Im f .
Théorème (Théorème du rang)
Soit f : E → F une application linéaire entre deux K-espaces vectoriels,
E étant de dimension finie. On a :
dim E = dim(ker f ) + dim(Im f ) = dim(ker f ) + rang(f ).
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Lorsque f : E → F est une application linéaire on a toujours :
f est injective ⇐⇒ ker f = {0E } ⇐⇒ dim(ker f ) = 0
f est surjective ⇐⇒ Im f = F
Si de plus F est de type fini on a l’équivalence :
Im f = F ⇐⇒ dim(Im f ) = dim F
On déduit alors du théorème du rang le :
Corollaire
Soit f : E → F une application linéaire entre deux espaces vectoriels de
même dimension finie. Les assertions suivantes sont équivalentes.
1 L’application f est un isomorphisme.
2 L’application f est injective.
3 L’application f est surjective.
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3. Matrices et applications linéaires
Dans toute la suite, E désigne un espace vectoriel de dimension finie p,
E = (e1 , · · · , ep ) une base de E , F un espace vectoriel de dimension finie n et
F = (f1 , · · · , fn ) une base de F .
3.1 Cas général
Soit ϕ : E → F une application linéaire.
 
x1
Si u est un vecteur de E , notons [u]E =  ...  le vecteur colonne des
xp
coordonnées de u dans la base E. Autrement dit u = x1 e1 + · · · + xp ep .
Par linéarité de ϕ :
ϕ(u) = x1 ϕ(e1 ) + · · · + xp ϕ(ep )
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

a1j
Pour chaque j = 1, . . . , p, notons  ...  le vecteur colonne des coordonnées
anj
n
P
de ϕ(ej ) dans la base F. C’est-à-dire que ϕ(ej ) =
akj fk .
k=1
On obtient alors :
ϕ(u) = (a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1p xp )f1 + · · · + (an1 x1 + an2 x2 + · · · + anp xp )fn
Si A désigne la matrice A = (aij )1≤i≤n ∈ Mnp (K) le vecteur colonne des
1≤j≤p
coordonnées de ϕ(u) dans la base F est


a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1p xp
..
 = A[u]E
[ϕ(u)]F = 
.
an1 x1 + an2 x2 + · · · + anp xp
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Définition
Soit ϕ : E → F une application linéaire. Pour tous les vecteurs ej de la base E
de E fixée, notons (aij )1≤i≤n les coordonnées de ϕ(ej ) dans la base F, c’est à
dire
n
X
∀j = 1, . . . , p : ϕ(ej ) =
aij fi .
i=1
La matrice de ϕ dans les bases E et F est :
ME,F (ϕ) = Mat(ϕ, E, F) = [ϕ]F
E = (aij )1≤i≤n ∈ Mnp (K) .
1≤j≤p
Lorsque ϕ est un endomorphisme, c’est à dire lorsque E = F et que l’on
considère E muni de la même base E au départ et à l’arrivée, on parlera
simplement de la matrice de l’endomorphisme ϕ dans la base E que l’on
notera Mat(ϕ, E) ou ME (ϕ).
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Proposition
Soit ϕ : E → F une application linéaire et A la matrice de ϕ dans les bases E
et F. Si u est un vecteur de E de coordonnées X = [u]E dans la base E
notons Y = [ϕ(u)]F le vecteur colonne des coordonnées de ϕ(u) dans la base
F alors :
Y = AX .
Réciproquement, si A ∈ Mnp (K) est une matrice, la formule précédente définit
une application linéaire ϕA : E → F telle que Mat(ϕA , E, F) = A.
Attention !!!
Suivant les bases que l’on considère, une application linéaire peut avoir
plusieurs représentations matricielles. Il faut donc toujours préciser les bases
dans lesquelles les calculs sont menés.
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Avec les notations précédentes, on appelle rang de la matrice A et on note
rang(A) le rang de ϕA .
Si c1 , c2 , . . . , cp désignent les vecteurs colonne de A, on a
rang(ϕA ) = dim Im ϕA = dim(Vect(ϕA (e1 ), · · · , ϕA (ep )))
= dim(Vect(c1 , . . . , cp )) = rang(A)
Proposition (admise)
Le rang d’une matrice est égal au rang de sa transposée.
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3.2. Matrice d’une combinaison linéaire
Soit l ∈ N∗ , ϕ1 , · · · , ϕl , l applications linéaires de E dans F et
(λ1 , · · · , λl ) ∈ Kl . Pour i = 1, . . . , l, notons Ai la matrice de l’application
linéaire ϕi dans les bases E et F. Alors l’application :
l
X
i=1
est linéaire et
λi ϕi : E → F , u 7→
ME,F (
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l
X
i=1
λi ϕi ) =
l
X
λi ϕi (u)
i=1
l
X
λi Ai .
i=1
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Théorème
Les espaces vectoriels L(E , F ) et Mnp (K) sont isomorphes.
En particulier L(E , F ) est de type fini et sa dimension est égale à n × p.
Attention !!!
L’isomorphisme précédent entre L(E , F ) et Mnp (K) dépend du choix des bases
E de E et F de F et il n’existe pas, a priori, de choix meilleur que les autres.
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3.3. Matrice d’une composée
Soit G un troisième espace vectoriel et G = (g1 , · · · , gk ) une base de G .
Proposition
Soit f : E → F et g : F → G deux applications linéaires. On a alors :
ME,G (g ◦ f ) = MF ,G (g ) · ME,F (f ) .
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Corollaire
Soit f : E → F une application linéaire de matrice A dans les bases Ede E et
F de F . On suppose que dimE = dimF = n.
Les assertions suivantes sont équivalentes :
1 L’application linéaire f est un isomorphisme.
2 La matrice A est inversible.
3 detA 6= 0.
4 rang(A) = n.
Dans ce cas la matrice de l’application f −1 dans les bases F et E est A−1 .
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4. Applications linéaires et systèmes linéaires
On se donne dans K, le système d’équations linéaires d’inconnues x1 , . . . , xp
suivant

a x + a12 x2 + · · · + a1p xp = b1

 11 1
..
..
(S)
.
.


an1 x1 + an2 x2 + · · · + anp xp = bn


 
b1
a11 . . . a1p
.
.
..  la matrice du système et B =  ...  le second
Notons A =  ..
an1 . . . anp
bn
membre, de sorte que (S) soit équivalent à l’égalité matricielle AX = B où
X ∈ Kp est le vecteur que l’on cherche à déterminer.
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Notons fA l’application linéaire de L(Kp , Kn ) qui admet A pour matrice dans
les bases canoniques de Kp et de Kn .
 
x1
Pour tout X =  ...  dans Kp , on a les équivalences :
xp
X est solution de (S) ⇐⇒ AX = B ⇐⇒ fA (X ) = B
On déduit alors :
(S) admet des solutions si et seulement si B appartient à l’image de fA .
Si B appartient à Im(fA ) et X0 ∈ Kp est une solution particulière de (S)
alors pour tout X dans Kp on a les équivalences :
AX = B ⇐⇒ fA (X ) = fA (X0 ) ⇐⇒ fA (X −X0 ) = 0Kn ⇐⇒ X −X0 ∈ ker(fA )
Ainsi l’ensemble des solutions de (S) est
{Y + X0 | Y ∈ ker(fA )}
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5. Quelques applications linéaires fréquentes
5.1. Homothéties
Soit λ ∈ K. L’homothétie vectorielle de rapport λ est l’application
hλ : E → E
x 7→ λ · x
La matrice de hλ dans une base E de E est λIp .
Si λ 6= 0, alors hλ est un automorphisme d’inverse hλ−1 = h1/λ .
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5.2. Projections
Soit F et G deux sous-espaces supplémentaires de E : E = F ⊕ G .
Lorsque u est un vecteur de E , il existe un unique couple (uF , uG ) ∈ F × G tel
que u = uF + uG .
On dit que uF est le projeté de u sur F parallèlement à G .
L’application
p:
E
→ E
u = uF + uG 7→ uF
est un endomorphisme de E et s’appelle la projection de E sur F parallèlement
à G .
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Définition
On appelle projection ou projecteur de E tout endomorphisme de E de la
forme précédente.
Proposition
Soit p un endomorphisme de E .
Alors p est un projecteur si et seulement si p ◦ p = p.
Dans ce cas, E = ker(p) ⊕ Im(p) et p est la projection sur Im(p)
parallèlement à ker(p).
Ainsi, l’endomorphisme p est un projecteur si et seulement sa matrice A dans
une base E de E satisfait A2 = A.
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5.3. Symétries
Soit F et G deux sous-espaces supplémentaires de E et pG la projection de E
sur G parallèlement à F . L’application
s:
E
→
E
u = uF + uG 7→ uF − uG = u − 2pG (u)
où (uF , uG ) ∈ F × G , est un endomorphisme de E appelé symétrie par rapport
à F parallèlement à G .
Définition
On appelle symétrie tout endomorphisme s : E → E de la forme précédente.
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Proposition
Soit s un endomorphisme de E .
Alors s est une symétrie si et seulement si s ◦ s = IdE .
Dans ce cas E = ker(s − IdE ) ⊕ ker(s + IdE ) et s est la symétrie par rapport à
ker(s − IdE ) et parallèlement à ker(s + IdE ).
En particulier, une symétrie est toujours bijective d’inverse elle même.
Ainsi, un endomorphisme s est une symétrie si et seulement sa matrice A dans
une base E de E satisfait A2 = Ip .
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