Applications Linéaires S2 Mathématiques Générales 1 11MM21 Les notes qui suivent sont en partie inspirées des sites : http://uel.unisciel.fr/mathematiques/espacevect1/espacevect1 et http://uel.unisciel.fr/mathematiques/calculmat1/calculmat1 S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Applications Linéaires 1 / 30 1. Définitions et premières propriétés On fixe un corps K (R ou C) et on se donne deux K-espaces vectoriels E et F . 1.1. Définitions et notations Définition Soit E et F deux K-espaces vectoriels et f : E → F une application. On dit que f est une application linéaire lorsque pour tout (u, v ) ∈ E × E et tout (λ, µ) ∈ K2 on a : f (λu + µv ) = λf (u) + µf (v ) . On note L(E , F ) l’ensemble des applications linéaires de E dans F . Lorsque E = F , on note L(E ) l’ensemble L(E , E ). Les éléments de L(E ) sont appelés des endomorphismes de E . Une application linéaire bijective est appelée un isomorphisme. Un endomorphisme bijectif est un automorphisme. S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Applications Linéaires 2 / 30 1.2. Premières propriétés Propriétés 1 Une application f : E → F est linéaire si et seulement si elle envoie la somme sur la somme et le produit sur le produit : I I 2 Lorsque u et v sont deux vecteurs de E : f (u + v ) = f (u) + f (v ) Pour u dans E et λ dans K : f (λu) = λf (u) Si f ∈ L(E , F ) on a toujours f (0E ) = 0F . Proposition Une combinaison linéaire d’applications linéaires est une application linéaire. Ainsi L(E , F ) est un K-espace vectoriel. S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Applications Linéaires 3 / 30 Proposition 1 2 La composée de deux applications linéaires est une application linéaire. Si f est une application linéaire bijective, il en va de même pour f −1 . Propriétés Soient E , F et G trois espaces vectoriels sur K. Si λ ∈ K, f , f1 et f2 sont des éléments de L(E , F ) et g , g1 et g2 des éléments de L(F , G ) on a : g ◦ (f1 + f2 ) = g ◦ f1 + g ◦ f2 , (g1 + g2 ) ◦ f = g1 ◦ f + g2 ◦ f , (λg ) ◦ f = g ◦ (λf ) = λ(g ◦ f ). S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Applications Linéaires 4 / 30 1.3. Caractérisation d’une application linéaire en dimension finie Théorème Soit E et F deux K-espaces vectoriels et soit B = (e1 , . . . , ep ) une base de E . 1 Toute application linéaire f ∈ L(E , F ) est entièrement déterminée dès que l’on connaı̂t les images par f des vecteurs de la famille B : deux applications linéaires qui coı̈ncident sur B sont égales. 2 Pour toute famille {v , . . . , v } d’éléments de F (pas nécessairement une 1 p base) il existe une unique application linéaire f de E dans F telle que f (ei ) = vi pour tout i = 1, . . . , p. S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Applications Linéaires 5 / 30 1.4. Image directe et image réciproque Définition-Proposition Soit f ∈ L(E , F ), soit G un sous-espace vectoriel de E et H un sous-espace vectoriel de F . 1 L’ image directe de G par f : f (G ) := {f (u) | u ∈ G } 2 est un sous-espace vectoriel de F . L’ image réciproque de H par f : f −1 (H) := {v ∈ E | f (v ) ∈ H} est un sous-espace vectoriel de E . S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Applications Linéaires 6 / 30 2. Noyaux et Images 2.1. Définitions et premières propriétés Définitions Soit f : E → F une application linéaire entre deux K-espaces vectoriels. On appelle noyau de f , que l’on note ker f , l’image réciproque de 0F : ker f := {u ∈ E | f (u) = 0F } = f −1 ({0F }) ⊂ E . On appelle image de f , que l’on note Im f , l’image directe de E par f : Im f := {f (u) | u ∈ E } ⊂ F . Proposition Si f ∈ L(E , F ), ker f est un sous-espace vectoriel de E et Im f est un sous-espace vectoriel de F . S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Applications Linéaires 7 / 30 Cas particulier des espaces vectoriels de type fini Proposition Soit f : E → F une application linéaire. Si E est de type fini et {e1 , · · · , em } est un système générateur de E alors {f (e1 ), · · · , f (em )} est un système générateur de Im f : Im f = Vect(f (e1 ), · · · , f (em )). Définition Soit f ∈ L(E , F ). Le rang de f est la dimension de l’image de f : rang(f ) = dim(Im f ). Lorsque E est type fini on a toujours rang(f ) ≤ dim E . Si de plus F est également de type fini, on a toujours S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) rang(f ) ≤ min(dim E , dim F ) . Applications Linéaires 8 / 30 2.2. Applications linéaires injectives Proposition Soit f : E → F une application linéaire entre deux K-espaces vectoriels. Les assertions suivantes sont équivalentes. 1 L’application f est injective. 2 Le noyau est réduit à 0 E : ker f = {0E }. 3 L’image par f de toute famille libre de E est une famille libre de F . S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Applications Linéaires 9 / 30 2.3. Applications linéaires surjectives Proposition Soit f : E → F une application linéaire. Les assertions suivantes sont équivalentes : 1 L’application f est surjective. 2 L’image de f est F : Im f = F . 3 L’image par f de toute famille génératrice de E est une famille génératrice de F . 4 L’image par f d’une famille génératrice de E est une famille génératrice de F . S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Applications Linéaires 10 / 30 2.4 Applications linéaires bijectives Théorème Soit f : E → F une application linéaire. Les assertions suivantes sont équivalentes : 1 L’application f est un isomorphisme. 2 On a ker f = {0 } et Im f = F . E 3 L’image par f de toute base de E est une base de F . 4 L’image par f d’une base de E est une base de F . S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Applications Linéaires 11 / 30 Théorème Pour que deux espaces vectoriels de type fini sur K soient isomorphes, c’est-à-dire pour qu’il existe une application linéaire bijective entre eux, il faut et il suffit qu’ils aient la même dimension. S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Applications Linéaires 12 / 30 2.5 Théorème du rang Lemme Soit f : E → F une application linéaire entre deux K-espaces vectoriels et H un supplémentaire de ker f dans E : E = ker f ⊕ H. La restriction de f à H induit un isomorphisme de H dans Im f . Théorème (Théorème du rang) Soit f : E → F une application linéaire entre deux K-espaces vectoriels, E étant de dimension finie. On a : dim E = dim(ker f ) + dim(Im f ) = dim(ker f ) + rang(f ). S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Applications Linéaires 13 / 30 Lorsque f : E → F est une application linéaire on a toujours : f est injective ⇐⇒ ker f = {0E } ⇐⇒ dim(ker f ) = 0 f est surjective ⇐⇒ Im f = F Si de plus F est de type fini on a l’équivalence : Im f = F ⇐⇒ dim(Im f ) = dim F On déduit alors du théorème du rang le : Corollaire Soit f : E → F une application linéaire entre deux espaces vectoriels de même dimension finie. Les assertions suivantes sont équivalentes. 1 L’application f est un isomorphisme. 2 L’application f est injective. 3 L’application f est surjective. S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Applications Linéaires 14 / 30 3. Matrices et applications linéaires Dans toute la suite, E désigne un espace vectoriel de dimension finie p, E = (e1 , · · · , ep ) une base de E , F un espace vectoriel de dimension finie n et F = (f1 , · · · , fn ) une base de F . 3.1 Cas général Soit ϕ : E → F une application linéaire. x1 Si u est un vecteur de E , notons [u]E = ... le vecteur colonne des xp coordonnées de u dans la base E. Autrement dit u = x1 e1 + · · · + xp ep . Par linéarité de ϕ : ϕ(u) = x1 ϕ(e1 ) + · · · + xp ϕ(ep ) S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Applications Linéaires 15 / 30 a1j Pour chaque j = 1, . . . , p, notons ... le vecteur colonne des coordonnées anj n P de ϕ(ej ) dans la base F. C’est-à-dire que ϕ(ej ) = akj fk . k=1 On obtient alors : ϕ(u) = (a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1p xp )f1 + · · · + (an1 x1 + an2 x2 + · · · + anp xp )fn Si A désigne la matrice A = (aij )1≤i≤n ∈ Mnp (K) le vecteur colonne des 1≤j≤p coordonnées de ϕ(u) dans la base F est a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1p xp .. = A[u]E [ϕ(u)]F = . an1 x1 + an2 x2 + · · · + anp xp S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Applications Linéaires 16 / 30 Définition Soit ϕ : E → F une application linéaire. Pour tous les vecteurs ej de la base E de E fixée, notons (aij )1≤i≤n les coordonnées de ϕ(ej ) dans la base F, c’est à dire n X ∀j = 1, . . . , p : ϕ(ej ) = aij fi . i=1 La matrice de ϕ dans les bases E et F est : ME,F (ϕ) = Mat(ϕ, E, F) = [ϕ]F E = (aij )1≤i≤n ∈ Mnp (K) . 1≤j≤p Lorsque ϕ est un endomorphisme, c’est à dire lorsque E = F et que l’on considère E muni de la même base E au départ et à l’arrivée, on parlera simplement de la matrice de l’endomorphisme ϕ dans la base E que l’on notera Mat(ϕ, E) ou ME (ϕ). S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Applications Linéaires 17 / 30 Proposition Soit ϕ : E → F une application linéaire et A la matrice de ϕ dans les bases E et F. Si u est un vecteur de E de coordonnées X = [u]E dans la base E notons Y = [ϕ(u)]F le vecteur colonne des coordonnées de ϕ(u) dans la base F alors : Y = AX . Réciproquement, si A ∈ Mnp (K) est une matrice, la formule précédente définit une application linéaire ϕA : E → F telle que Mat(ϕA , E, F) = A. Attention !!! Suivant les bases que l’on considère, une application linéaire peut avoir plusieurs représentations matricielles. Il faut donc toujours préciser les bases dans lesquelles les calculs sont menés. S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Applications Linéaires 18 / 30 Avec les notations précédentes, on appelle rang de la matrice A et on note rang(A) le rang de ϕA . Si c1 , c2 , . . . , cp désignent les vecteurs colonne de A, on a rang(ϕA ) = dim Im ϕA = dim(Vect(ϕA (e1 ), · · · , ϕA (ep ))) = dim(Vect(c1 , . . . , cp )) = rang(A) Proposition (admise) Le rang d’une matrice est égal au rang de sa transposée. S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Applications Linéaires 19 / 30 3.2. Matrice d’une combinaison linéaire Soit l ∈ N∗ , ϕ1 , · · · , ϕl , l applications linéaires de E dans F et (λ1 , · · · , λl ) ∈ Kl . Pour i = 1, . . . , l, notons Ai la matrice de l’application linéaire ϕi dans les bases E et F. Alors l’application : l X i=1 est linéaire et λi ϕi : E → F , u 7→ ME,F ( S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) l X i=1 λi ϕi ) = l X λi ϕi (u) i=1 l X λi Ai . i=1 Applications Linéaires 20 / 30 Théorème Les espaces vectoriels L(E , F ) et Mnp (K) sont isomorphes. En particulier L(E , F ) est de type fini et sa dimension est égale à n × p. Attention !!! L’isomorphisme précédent entre L(E , F ) et Mnp (K) dépend du choix des bases E de E et F de F et il n’existe pas, a priori, de choix meilleur que les autres. S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Applications Linéaires 21 / 30 3.3. Matrice d’une composée Soit G un troisième espace vectoriel et G = (g1 , · · · , gk ) une base de G . Proposition Soit f : E → F et g : F → G deux applications linéaires. On a alors : ME,G (g ◦ f ) = MF ,G (g ) · ME,F (f ) . S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Applications Linéaires 22 / 30 Corollaire Soit f : E → F une application linéaire de matrice A dans les bases Ede E et F de F . On suppose que dimE = dimF = n. Les assertions suivantes sont équivalentes : 1 L’application linéaire f est un isomorphisme. 2 La matrice A est inversible. 3 detA 6= 0. 4 rang(A) = n. Dans ce cas la matrice de l’application f −1 dans les bases F et E est A−1 . S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Applications Linéaires 23 / 30 4. Applications linéaires et systèmes linéaires On se donne dans K, le système d’équations linéaires d’inconnues x1 , . . . , xp suivant a x + a12 x2 + · · · + a1p xp = b1 11 1 .. .. (S) . . an1 x1 + an2 x2 + · · · + anp xp = bn b1 a11 . . . a1p . . .. la matrice du système et B = ... le second Notons A = .. an1 . . . anp bn membre, de sorte que (S) soit équivalent à l’égalité matricielle AX = B où X ∈ Kp est le vecteur que l’on cherche à déterminer. S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Applications Linéaires 24 / 30 Notons fA l’application linéaire de L(Kp , Kn ) qui admet A pour matrice dans les bases canoniques de Kp et de Kn . x1 Pour tout X = ... dans Kp , on a les équivalences : xp X est solution de (S) ⇐⇒ AX = B ⇐⇒ fA (X ) = B On déduit alors : (S) admet des solutions si et seulement si B appartient à l’image de fA . Si B appartient à Im(fA ) et X0 ∈ Kp est une solution particulière de (S) alors pour tout X dans Kp on a les équivalences : AX = B ⇐⇒ fA (X ) = fA (X0 ) ⇐⇒ fA (X −X0 ) = 0Kn ⇐⇒ X −X0 ∈ ker(fA ) Ainsi l’ensemble des solutions de (S) est {Y + X0 | Y ∈ ker(fA )} S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Applications Linéaires 25 / 30 5. Quelques applications linéaires fréquentes 5.1. Homothéties Soit λ ∈ K. L’homothétie vectorielle de rapport λ est l’application hλ : E → E x 7→ λ · x La matrice de hλ dans une base E de E est λIp . Si λ 6= 0, alors hλ est un automorphisme d’inverse hλ−1 = h1/λ . S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Applications Linéaires 26 / 30 5.2. Projections Soit F et G deux sous-espaces supplémentaires de E : E = F ⊕ G . Lorsque u est un vecteur de E , il existe un unique couple (uF , uG ) ∈ F × G tel que u = uF + uG . On dit que uF est le projeté de u sur F parallèlement à G . L’application p: E → E u = uF + uG 7→ uF est un endomorphisme de E et s’appelle la projection de E sur F parallèlement à G . S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Applications Linéaires 27 / 30 Définition On appelle projection ou projecteur de E tout endomorphisme de E de la forme précédente. Proposition Soit p un endomorphisme de E . Alors p est un projecteur si et seulement si p ◦ p = p. Dans ce cas, E = ker(p) ⊕ Im(p) et p est la projection sur Im(p) parallèlement à ker(p). Ainsi, l’endomorphisme p est un projecteur si et seulement sa matrice A dans une base E de E satisfait A2 = A. S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Applications Linéaires 28 / 30 5.3. Symétries Soit F et G deux sous-espaces supplémentaires de E et pG la projection de E sur G parallèlement à F . L’application s: E → E u = uF + uG 7→ uF − uG = u − 2pG (u) où (uF , uG ) ∈ F × G , est un endomorphisme de E appelé symétrie par rapport à F parallèlement à G . Définition On appelle symétrie tout endomorphisme s : E → E de la forme précédente. S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Applications Linéaires 29 / 30 Proposition Soit s un endomorphisme de E . Alors s est une symétrie si et seulement si s ◦ s = IdE . Dans ce cas E = ker(s − IdE ) ⊕ ker(s + IdE ) et s est la symétrie par rapport à ker(s − IdE ) et parallèlement à ker(s + IdE ). En particulier, une symétrie est toujours bijective d’inverse elle même. Ainsi, un endomorphisme s est une symétrie si et seulement sa matrice A dans une base E de E satisfait A2 = Ip . S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Applications Linéaires 30 / 30