Applications linéaires

Applications lin´eaires
Kd´esigne l’ensemble des r´eels Rou l’ensemble des complexes C.
1 D´efinition
1.1 Soit Eun K-ev, Fun K-ev. Soit f:E→Fune application.
On dit que fest lin´eaire si
∀~u ∈E, ∀~v ∈E, ∀λ∈K, f(λ~u +~v) = λf(~u) + f(~v)
Exemple:
L’application f:R2→R2
(x, y)7−→ (x+y, x −2y)est une application lin´eaire.
En effet, soit ~u = (x, y)∈R2, ~v = (z, t)∈R2et soit λ∈K.
f(λ~u +~v) = f(λ(x, y)+(z, t)) = f((λx, λy)+(z, t)) = f(λx +z, λy +t)
= (λx +z+λy +t, λx +z−2(λy +t))
= (λx +λy, λx −2λy)+(z+t, z −2t) = λ(x+y, x −2y)+(z+t, z −2t)
=λf(~u) + f(~v)
1.2 L’´egalit´e f(λ~u +~v) = λf(~u) + f(~v) s’´etend `a plus de 2 vecteurs: si fest lin´eaire, on peut ´ecrire:
f(λ1~e1+...λn~en) = λ1f(~e1) + ...λnf(~en)
1.3 La compos´ee de deux applications lin´eaires est encore une application lin´eaire
1.4 Vocabulaire:
•Si f:E→Eest une application lin´eaire, on dit que fest un endomorphisme ( les ensembles de d´epart
et d’arriv´ee sont les mˆemes)
•Si f:E→Fest lin´eaire et bijective, on dit que fest un isomorphisme.
•L’ensemble des applications lin´eaires f:E→Fse note L(E, F )
1.5 Si f:E→Fest une application lin´eaire, on appelle noyau de fl’ensemble {~x ∈Etq f(~x) = ~ 0}
On note cet ensemble Ker f, et on montre que Ker f est un sev de E.
1.6 Si f:E→Fest une application lin´eaire, on appelle image de fl’ensemble f(E) = {f(~x), ~x ∈E}.
On note cet ensemble Im f, et on montre que Im f est un sev de E.
1.7 Pour montrer qu’une application lin´eaire est injective, on utilise le r´esultat suivant:
finjective ⇔Ker f ={~ 0}
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Exemple:
Soit l’application lin´eaire de l’exemple pr´ec´edent :f:R2→R2
(x, y)7−→ (x+y, x −2y).
Calculons Ker f:
f(~u) = ~ 0⇔(x+y, x −2y) = (0,0) o`u ~u = (x, y)
⇔(x=−y
x−2y= 0 ⇔(x=−y −y−2y= 0
⇔(x, y) = (0,0)
Donc ~u =~ 0. Donc Ker f ={~ 0}. Ainsi fest injective.
2 Applications lin´eaires et familles de vecteurs
2.1 Soit f:E→Fune application lin´eaire.
Si la famille (~e1, ..., ~en) engendre E, alors la famille (f(~e1), ..., f (~en)) engendre Im f
2.2 Deux applications lin´eaires f:E→Fet g:E→Fsont ´egales ssi elles sont ´egales sur une base.
Autrement dit, si il existe une base ( ~e1, ..., ~en) de Etelle que ∀i, f (~ei) = g(~ei)
2.3 Soit f:E→Fune application lin´eaire.
Soit (~e1, ..., ~en), une base de E. Alors
fbijective ⇔(f(~e1), ..., f (~en)) est une base de F
Autrement dit: fest bijective ssi elle transforme toute base de Een une base de F.
3 Applications lin´eaires en dimension finie
3.1 (Th´eor`eme du rang) Soit f:E→Fune application lin´eaire. On suppose que Eest de dimension finie.
Alors on a:
dim(Ker f) + rg(f) = dim(E)
3.2 Soit f:E→Fune application lin´eaire. Si dim(E) = dim(F), alors les 3 propri´et´es suivantes sont
´equivalentes:
i) finjective
ii) fsurjective
iii) fbijective
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