Applications linéaires

Applications linéaires
K désigne l’ensemble des réels R ou l’ensemble des complexes C.
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1.1
Définition
Soit E un K-ev, F un K-ev. Soit f : E → F une application.
On dit que f est linéaire si
∀~u ∈ E, ∀~v ∈ E, ∀λ ∈ K, f (λ~u + ~v ) = λf (~u) + f (~v )
Exemple:
L’application f :
R2
→
R2
est une application linéaire.
(x, y) 7−→ (x + y, x − 2y)
En effet, soit ~u = (x, y) ∈ R2 , ~v = (z, t) ∈ R2 et soit λ ∈ K.
f (λ~u + ~v ) = f (λ(x, y) + (z, t)) = f ((λx, λy) + (z, t)) = f (λx + z, λy + t)
= (λx + z + λy + t, λx + z − 2(λy + t))
= (λx + λy, λx − 2λy) + (z + t, z − 2t) = λ(x + y, x − 2y) + (z + t, z − 2t)
= λf (~u) + f (~v )
1.2
L’égalité f (λ~u + ~v ) = λf (~u) + f (~v ) s’étend à plus de 2 vecteurs: si f est linéaire, on peut écrire:
f (λ1 e~1 + ...λn e~n ) = λ1 f (e~1 ) + ...λn f (e~n )
1.3
La composée de deux applications linéaires est encore une application linéaire
1.4
Vocabulaire:
• Si f : E → E est une application linéaire, on dit que f est un endomorphisme ( les ensembles de départ
et d’arrivée sont les mêmes)
• Si f : E → F est linéaire et bijective, on dit que f est un isomorphisme.
• L’ensemble des applications linéaires f : E → F se note L(E, F )
1.5
Si f : E → F est une application linéaire, on appelle noyau de f l’ensemble {~x ∈ E tq f (~x) = ~0}
On note cet ensemble Ker f , et on montre que Ker f est un sev de E.
1.6
Si f : E → F est une application linéaire, on appelle image de f l’ensemble f (E) = {f (~x), ~x ∈ E}.
On note cet ensemble Im f , et on montre que Im f est un sev de E.
1.7
Pour montrer qu’une application linéaire est injective, on utilise le résultat suivant:
f injective ⇔ Ker f = {~0}
1
Exemple:
Soit l’application linéaire de l’exemple précédent :f :
R2
→
R2
.
(x, y) 7−→ (x + y, x − 2y)
Calculons Ker f :
f (~u) = ~0 ⇔ (x + y, x − 2y) = (0, 0) où ~u = (x, y)
(
(
x = −y
x = −y
⇔
⇔
x − 2y = 0
−y − 2y = 0
⇔ (x, y) = (0, 0)
Donc ~u = ~0. Donc Ker f = {~0}. Ainsi f est injective.
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2.1
Applications linéaires et familles de vecteurs
Soit f : E → F une application linéaire.
Si la famille (e~1 , ..., e~n ) engendre E, alors la famille (f (e~1 ), ..., f (e~n )) engendre Im f
2.2
Deux applications linéaires f : E → F et g : E → F sont égales ssi elles sont égales sur une base.
Autrement dit, si il existe une base (e~1 , ..., e~n ) de E telle que ∀i, f (~
ei ) = g(~
ei )
2.3
Soit f : E → F une application linéaire.
Soit (e~1 , ..., e~n ), une base de E. Alors
f bijective ⇔ (f (e~1 ), ..., f (e~n )) est une base de F
Autrement dit: f est bijective ssi elle transforme toute base de E en une base de F .
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Applications linéaires en dimension finie
3.1
(Théorème du rang) Soit f : E → F une application linéaire. On suppose que E est de dimension finie.
Alors on a:
dim(Ker f ) + rg(f ) = dim(E)
3.2
Soit f : E → F une application linéaire. Si dim(E) = dim(F ), alors les 3 propriétés suivantes sont
équivalentes:
i) f injective
ii) f surjective
iii) f bijective
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