Applications linéaires K désigne l’ensemble des réels R ou l’ensemble des complexes C. 1 1.1 Définition Soit E un K-ev, F un K-ev. Soit f : E → F une application. On dit que f est linéaire si ∀~u ∈ E, ∀~v ∈ E, ∀λ ∈ K, f (λ~u + ~v ) = λf (~u) + f (~v ) Exemple: L’application f : R2 → R2 est une application linéaire. (x, y) 7−→ (x + y, x − 2y) En effet, soit ~u = (x, y) ∈ R2 , ~v = (z, t) ∈ R2 et soit λ ∈ K. f (λ~u + ~v ) = f (λ(x, y) + (z, t)) = f ((λx, λy) + (z, t)) = f (λx + z, λy + t) = (λx + z + λy + t, λx + z − 2(λy + t)) = (λx + λy, λx − 2λy) + (z + t, z − 2t) = λ(x + y, x − 2y) + (z + t, z − 2t) = λf (~u) + f (~v ) 1.2 L’égalité f (λ~u + ~v ) = λf (~u) + f (~v ) s’étend à plus de 2 vecteurs: si f est linéaire, on peut écrire: f (λ1 e~1 + ...λn e~n ) = λ1 f (e~1 ) + ...λn f (e~n ) 1.3 La composée de deux applications linéaires est encore une application linéaire 1.4 Vocabulaire: • Si f : E → E est une application linéaire, on dit que f est un endomorphisme ( les ensembles de départ et d’arrivée sont les mêmes) • Si f : E → F est linéaire et bijective, on dit que f est un isomorphisme. • L’ensemble des applications linéaires f : E → F se note L(E, F ) 1.5 Si f : E → F est une application linéaire, on appelle noyau de f l’ensemble {~x ∈ E tq f (~x) = ~0} On note cet ensemble Ker f , et on montre que Ker f est un sev de E. 1.6 Si f : E → F est une application linéaire, on appelle image de f l’ensemble f (E) = {f (~x), ~x ∈ E}. On note cet ensemble Im f , et on montre que Im f est un sev de E. 1.7 Pour montrer qu’une application linéaire est injective, on utilise le résultat suivant: f injective ⇔ Ker f = {~0} 1 Exemple: Soit l’application linéaire de l’exemple précédent :f : R2 → R2 . (x, y) 7−→ (x + y, x − 2y) Calculons Ker f : f (~u) = ~0 ⇔ (x + y, x − 2y) = (0, 0) où ~u = (x, y) ( ( x = −y x = −y ⇔ ⇔ x − 2y = 0 −y − 2y = 0 ⇔ (x, y) = (0, 0) Donc ~u = ~0. Donc Ker f = {~0}. Ainsi f est injective. 2 2.1 Applications linéaires et familles de vecteurs Soit f : E → F une application linéaire. Si la famille (e~1 , ..., e~n ) engendre E, alors la famille (f (e~1 ), ..., f (e~n )) engendre Im f 2.2 Deux applications linéaires f : E → F et g : E → F sont égales ssi elles sont égales sur une base. Autrement dit, si il existe une base (e~1 , ..., e~n ) de E telle que ∀i, f (~ ei ) = g(~ ei ) 2.3 Soit f : E → F une application linéaire. Soit (e~1 , ..., e~n ), une base de E. Alors f bijective ⇔ (f (e~1 ), ..., f (e~n )) est une base de F Autrement dit: f est bijective ssi elle transforme toute base de E en une base de F . 3 Applications linéaires en dimension finie 3.1 (Théorème du rang) Soit f : E → F une application linéaire. On suppose que E est de dimension finie. Alors on a: dim(Ker f ) + rg(f ) = dim(E) 3.2 Soit f : E → F une application linéaire. Si dim(E) = dim(F ), alors les 3 propriétés suivantes sont équivalentes: i) f injective ii) f surjective iii) f bijective 2