Séries dans les espaces normés Séries de fonctions

Séries dans les espaces normés
Séries de fonctions et exponentielle de matrice
MP
∗
26 mars 2013
Table des matières
1 Séries dans les espaces normés
2 Suites de fonctions à valeurs dans
2.1 Convergences . . . . . . . . . . .
2.2 Continuité . . . . . . . . . . . . .
2.3 Dérivabilité . . . . . . . . . . . .
2
un
. .
. .
. .
evn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
4
5
3 Exponentielle de matrice
5
4 Exercices
6
5 Rappel : normes subordonnées
8
6 Quelques corrigés
9
∗ SeriesNormes.teX
1
1
Séries dans les espaces normés
On définit les séries dans les espaces normés (espaces Kn , espaces de matrices, de fonctions...)
comme on définit les séries numériques :
Définition
1
– Soit (un )n≥n0 , une suite d’éléments de E ev normé, on appelle série de terme général un , la suite
définie par
n
X
Sn =
uk .
k=n0
– On étend les notions de sommes partielles, de série convergente, de somme d’une série... sans
autre forme de procès.
P
– Une série est absolument convergente ssi la série numérique
||un || converge.
– Lorsque l’espace E est l’espace des fonctions bornées sur un compact muni de la norme de la
convergence uniforme, une série absolument convergente est aussi appelée série normalement
convergente (voir chapitre Suites et séries de fonctions).
Théorème 1
– L’ensemble des séries convergentes à coefficients dans l’espace normé (E, || ||E ) (sur K) est un
K−espace vectoriel.
– L’application qui, à une série convergente associe sa somme est une forme linéaire sur cet espace.
Théorème 2 critère de Cauchy pour les séries
Lorsque l’espace normé (E, || ||E ) est complet, une série de terme général (un )n appartenant à
E est convergente ssi elle satisfait au critère de Cauchy :
∀ε > 0, ∃N ∈ N∗ , ∀(n, p) ∈ N∗2 , n ≥ N ⇒ ||
n+p
X
uk || ≤ ε.
k=n+1
Corollaire 3 Dans un espace normé de dimension finie, ou dans un espace complet, une
série absolument convergente est convergente. La réciproque est fausse.
L’exercice qui suit propose les deux exemples fondamentaux de ce chapitre
Exercice 1 séries dans l’espace normé L(E)
On suppose que E est un espace vectoriel normé de dimension finie ; on note ||x|| une norme de
E et |||u||| la norme subordonnée dans L(E). On rappelle que
|||u ◦ v||| ≤ |||u||| |||v|||.
n
1. Montrer que la série
Pu
converge. Soit E(u) sa limite ; montrer que
n!
E(v −1 ◦ u ◦ v) = v −1 ◦ E(u) ◦ v,
pour tout isomorphisme v et tout endomorphisme u.
2
2. Montrer que si |||u||| < 1, alors idE − u est inversible, calculer son inverse.
Indication : introduire une série géométrique.
voir corrigé en 6
Théorème 4
Soient E un espace vectoriel normé et de dimension finie A = (L(E), +, ., ◦), l’algèbre des endomorphismes de E muni de la norme subordonnée à la norme de E. Soient e = idE et u ∈ A.
• la série géométrique
P
un est absolument convergente dés que |||u||| < 1 et
∞
X
un = (e − u)−1 ,
n=0
|||(e − u)−1 ||| ≤
• la série exponentielle
1
.
1 − |||u|||
P un
est absolument convergente.
n!
Démonstration c’est l’exercice 1, à un rien près.
Définition 2 E est un espace vectoriel normé de dimension finie ; on note ||x|| une norme de E
et |||u||| la norme subordonnée dans L(E). On note exp et l’on appelle exponentielle, la fonction :
u ∈ L(E) →
+∞
X
1 n
u ∈ L(E),
n!
n=0
dont l’existence a été établie dans l’exercice 1.
3
2
Suites de fonctions à valeurs dans un evn
Les définitions de la convergence simple, de la convergence uniforme et de la convergence normale
s’étendent immédiatement à des fonctions à valeurs dans (F, || ||F ), espace normé. Nous voyons
cela brièvement avec quelques exemples.
2.1
Convergences
Définition 3 convergences
– On dit que la suite des fonctions (fn )n définies sur A, à valeurs dans l’espace normé (F, || ||F ),
converge simplement vers f si, pour tout x ∈ A, on a
lim ||fn (x) − f (x)||F = 0.
n→∞
– on dit que (fn )n converge uniformément sur A vers une fonction f si
lim ||fn − f ||∞ = 0.
A
n→∞
Ce qui signifie que
sup ||fn (x) − f (x)||F = εn
x∈A
est une suite de réels
P positifs de limite zéro.
P
– on dit que la série
fn converge normalement lorsque
||fn ||∞ converge.
Théorème 5
Soient F un espace normé de dimension finie et (fn )n une suite de fonctions définies sur A, à
valeurs dans
P F.
Si la série
fn est normalement convergente, alors elle est uniformément convergente.
Démonstration complétude de F ;
2.2
Continuité
Théorème 6 Soit (fn )n une suite de fonctions définies sur A, à valeurs dans F normé. On
suppose que cette suite converge uniformément vers une fonction f ∈ B(A), alors :
– si, à partir d’un certain rang, les fonctions fn sont continues en a ∈ A, la fonction f est continue
en a.
– si, à partir d’un certain rang, les fonctions fn sont continues sur A, la fonction f est continue
sur A.
Exercice 2 E désigne un evn de dimension finie. Justifier l’existence et la continuité des applications suivantes :
1. Si B est la boule unité ouverte de L(E) muni d’une norme matricielle (ie : N (AB) ≤
N (A)N (B)),
u ∈ B → (idE − u)−1 .
2.
u ∈ L(E) →
X un
= exp(u).
n!
n≥0
4
2.3
Dérivabilité
Théorème 7 dérivation
Soit (f~n )n une suite de fonctions définies sur I ⊂ R, à valeurs dans F normé de dimension finie.On
suppose que
– chaque f~n est une fonction de classe C 1,
−
– il existe a ∈ I tel que (f~n (a))n converge dans F (on note →
α sa limite)
−
~
– (Dfn )n converge uniformément sur tout segment de I vers une fonction →
g de classe C 1.
~
Alors, (fn )n converge uniformément sur tout segment de I vers la primitive de g définie par
Z x
−−→
→
−
~
g(t) dt
f (x) = α +
a
En d’autres termes (f~n )n converge uniformément sur tout compact de I vers une fonction de classe
C 1 et l’on dispose de la formule d’interversion :
lim Df~n = D( lim f~n ).
n→∞
Exercice
n→∞
3
1. Soit u ∈ L(E), montrer que la fonction t ∈ I → exp(tu) ∈ L(E) est de classe C ∞ .
2. Etudier de même la dérivabilité de t → (idE − tu)−1 .
3
Exponentielle de matrice
Exercice 4 propriétés de l’exponentielle de matrice
E est un espace vectoriel normé de dimension finie ; on note ||x|| une norme de E et |||u||| la norme
subordonnée dans L(E).
1. On suppose que u ◦ v = v ◦ u, montrer qu’alors
– exp(u) et exp(v) commutent également.
– exp(u)exp(v) = exp(u + v).
– Montrer que exp(u) est inversible et préciser son inverse.
– S’agit il d’un homomorphisme de groupes ? Êtes vous sûrs ?
2. On considère la fonction
φ : t ∈ R → exp(tu) ∈ L(E).
– Montrer qu’il s’agit cette fois, d’un homomorphisme de groupes (préciser ce qui doit l’être).
– Montrer que φ est une courbe paramétrée de classe C ∞ ; calculer φ0 (t).
Théorème
8 tout ou presque sur l’exponentielle de matrice
1. Pour toute matrice A, eA et A commutent ;
2. Si deux matrices A et B commutent, eA+B = eA eB ;
3. e0 = In et pour toute matrice A, eA est inversible, d’inverse e−A ;
4. l’application t → etA est un homomorphisme de groupes ;
d
5. t → etA est de classe C ∞ et etA = AetA ;
dt
5
6. un système différentiel X 0 (t) = AX(t) a pour solutions les fonctions t → etA X0 ;
7. Pour toute matrice inversible P, P −1 eA P = eP
−1
AP
.
Démonstration on aura fait l’exercice précédent...
Exercice
5


−3 4 2



1. On se propose de calculer exp(tA) lorsque A = 
−2 1 2 ...
−4 4 3
– Montrer que A = D + N où D est diagonalisable, N nilpotente avec DN = N D.
– En déduire une expression simple de exp(tA),
– puis une solution explicite du système différentiel :



 0 
−3 4 2 
x(t)
x (t)


y 0 (t) = −2 1 2 y(t)


z(t)
z 0 (t)
−4 4 3
2. Exprimer les solutions du système différentiel
X 0 (t) = A.X(t)
4
Exercices
Exercice
6 oral mines

a+b 0
b
Soit M (a, b) =  0
a
0

a
0 .
a+b
1. Calculer exp(M (a, b));
2. Déterminer le plus grand sous-groupe de GL3 (R) contenu dans G = {M (x, y); (x, y) ∈ R2 }.
Que dire de la plus grande partie connexe par arcs contenant la matrice unité ?
Exercice 7 les matrices de rotations comme exponentielles...
Soit un espace vectoriel euclidien de dimension 3, de base orthonormée directe (e1 , e2 , e3 ).
1. Soit w un vecteur non nul de E donner une représentation matricielle de l’endomorphisme
Ω(w) tel que
∀u ∈ E, Ω(w)(u) = w ∧ u.
Donner les éléments propres, dans C3 , de la matrice obtenue.
2. Caractériser géométriquement la matrice
W tW
W
tW
où W est le vecteur des coordonnées de w.

0
−c
b



0 −a 
3. Soit h l’endomorphisme associé à la matrice H = 
 c
 . Préciser la nature
−b a
0
géométrique de exp(h), et calculer ensuite exp(H) pour en déduire ses éléments caractéristiques.
6
Exercice 8 L’espace R3 est muni d’un repère (fixe) (O, i, j, k). On considère un ”repère mobile”
t → (Ω(t), R(t)), où Ω(t) est un point de l’espace, R(t) = exp(tH) une matrice de rotation, les
fonctions considérées étant de classe C 2 au moins.
Une courbe paramétrée de la forme
Y (t) = Ω(t) + R(t)X(t)
représente le vecteur des coordonnées dans (O, i, j, k), à l’instant t, d’un point dont les coordonnées
dans (Ω(t), R(t)) sont données par X(t).
1. Comparer les vitesses dans les deux repères ;
2. Comparer les accélérations dans les deux repères ; on fera apparaı̂tre trois composantes pour
Y ”(t) dont l’accélération de Coriolis.
3. Que se passe-t-il lorsque R(t) = eH(t) ?


8 −1 −5


1 
Exercice 9 Soit A = 
.
 −2 3
4 −1 −1
1. Calculer le polynôme caractéristique de A et donner deux sous-espaces supplémentaires de
R3 stables par A.
2. En déduire les matrices qui commutent avec A
3. Résoudre eM = A.
indications Maple :
with(linalg) : &* ; eigenvects, evalm, det, kernel ;
with(student) : equate ;
subs ; solve ;
Vous pouvez vous lancer dans le problème CCP 2010 ainsi que dans le problème E3a 2010...
7
5
Rappel : normes subordonnées
Définition 4 normes sur L(E, F ) où E et F sont normés
Soient (E, N ) et (F, || ||) deux espaces normés sur le corps K. On définit une norme sur les sev de L(E, F )
formé des applications linéaires continues en posant
|||f ||| = sup
x6=0
||f (x)||F
< +∞
N (x)
(5.1)
Définition 5 normes de matrices
Sur l’espace des matrices carrées on peut définir trois notions
1. la notion générale de norme sur l’espace vectoriel, qui ne nous intéresse pas particulièrement
2. la notion de norme d’algèbre ou norme matricielle : ce sont les normes qui vérifient aussi la
propriété
||AB|| ≤ ||A|| ||B||.
3. la notion de norme subordonnée ou de norme associée à une norme de Kn : à toute norme || − ||
ou N sur Kn , on associe
||AX||
e = sup N (AX)
|||A||| = sup
; ||X|| > 0 ou N
||X||
X6=0 N (X)
On définit ainsi une norme matricielle que l’on appelle norme subordonnée à || − || ou N , norme de
Kn .
Remarque : la notion de borne subordonnée à un sens pour toute matrice, en effet, en dimension finie la
boule fermée B̄(O, 1) est compacte, son image par une application linéaire est donc bornée et .
e la norme sur L(E), subordonnée à la norme N de E, ev de dimension finie.
Théorème 9 Soit N
– Pour tout x ∈ E, et tout u ∈ L(E), N (u(x)) ≤ Ñ (u) × N (x).
– Pour tout couple d’endomorphismes (u, v) N (u ◦ v) ≤ Ñ (u)Ñ (v),
– En particulier L(E)Ñ ) est une algèbre normée.
e la norme sur Mn (K), subordonnée à la norme N de KN .
Théorème 10 Soit N
– Pour tout vecteur X ∈ KN , et toute matrice M, N (M X) ≤ Ñ (M )N (X).
– Pour tout couple de matrices A, B N (AB) ≤ Ñ (A)Ñ (B),
norme sur Kn
||x||1 =
norme matricielle subordonnée sur Mn (K)
n
X
|xk |
|||A|||1 = sup
j
k=1
||x||∞ = sup |xk |
||x||2 =
k
!1/2
|xk |
2
|||A|||2 = (ρ(A∗ A))
1/2
|Ak,j |
k=1
|||A|||∞ = sup
k
n
X
n
X
n
X
|Ak,j |
j=1
avec ρ(A∗ A) =
sup
Sp(A∗ A)
k=1
8
|λ|.
6
Quelques corrigés
Corrigé de l’exercice 1
Comme notre algèbre est de dimension finie, les suites de Cauchy y convergent et en conséquence
les séries absolument convergentes convergent (corollaire ci-dessus).
1. La série
P uk
est absolument convergente car le terme général de la série des normes vérifie
k!
k u ||u||k
≤
k! k!
qui est le tg d’une série de réels positifs qui converge (série exponentielle dans R).
Pn uk
Par ailleurs, considérons la somme partielle Sn (u) = k=0
. Comme pour tout polynôme
k!
en u on peut écrire
Sn (v
−1
◦ u ◦ v) =
n
X
(v −1 ◦ u ◦ v)k
k!
k=0
=
n
X
v −1 ◦
k=0
uk
◦ v = v −1 ◦ Sn (u) ◦ v
k!
Comme l’application linéaire u → v −1 ◦ u ◦ v est continue, par passage à la limite, on obtient
exp(v −1 ◦ u ◦ v) = v −1 ◦ exp(u) ◦ v)
2. On écrit
(
n
X
uk ) × (e − u) = e − un+1
k=0
les deux membres convergent et, par passage à la limite,
(
∞
X
uk ) × (e − u) = e
k=0
Cette dernière égalité montre que (e − u) possède un inverse à gauche qui est
De la même façon on écrit
n
X
(e − u) × (
uk ) = e − un+1
k=0
et (e − u) possède un inverse à droite qui est aussi
9
P∞
k=0
uk .
P∞
k=0
uk .