Séries dans les espaces normés Séries de fonctions

S´eries dans les espaces norm´es
S´eries de fonctions et exponentielle de matrice ∗
MP
26 mars 2013
Table des mati`eres
1 S´eries dans les espaces norm´es 2
2 Suites de fonctions `a valeurs dans un evn 4
2.1 Convergences ....................................... 4
2.2 Continuit´e......................................... 4
2.3 D´erivabilit´e ........................................ 5
3 Exponentielle de matrice 5
4 Exercices 6
5 Rappel : normes subordonn´ees 8
6 Quelques corrig´es 9
∗SeriesNormes.teX
1

1 S´eries dans les espaces norm´es
On d´efinit les s´eries dans les espaces norm´es (espaces Kn,espaces de matrices, de fonctions...)
comme on d´efinit les s´eries num´eriques :
D´efinition 1
– Soit (un)n≥n0,une suite d’´el´ements de Eev norm´e, on appelle s´erie de terme g´en´eral un,la suite
d´efinie par
Sn=
n
X
k=n0
uk.
– On ´etend les notions de sommes partielles, de s´erie convergente, de somme d’une s´erie... sans
autre forme de proc`es.
– Une s´erie est absolument convergente ssi la s´erie num´erique P||un|| converge.
– Lorsque l’espace Eest l’espace des fonctions born´ees sur un compact muni de la norme de la
convergence uniforme, une s´erie absolument convergente est aussi appel´ee s´erie normalement
convergente (voir chapitre Suites et s´eries de fonctions).
Th´eor`eme 1
– L’ensemble des s´eries convergentes `a coefficients dans l’espace norm´e (E, || ||E) (sur K) est un
K−espace vectoriel.
– L’application qui, `a une s´erie convergente associe sa somme est une forme lin´eaire sur cet espace.
Th´eor`eme 2 crit`ere de Cauchy pour les s´eries
Lorsque l’espace norm´e (E, || ||E) est complet, une s´erie de terme g´en´eral (un)nappartenant `a
Eest convergente ssi elle satisfait au crit`ere de Cauchy :
∀ε > 0,∃N∈N∗,∀(n, p)∈N∗2, n ≥N⇒ ||
n+p
X
k=n+1
uk|| ≤ ε.
Corollaire 3 Dans un espace norm´e de dimension finie, ou dans un espace complet, une
s´erie absolument convergente est convergente. La r´eciproque est fausse.
L’exercice qui suit propose les deux exemples fondamentaux de ce chapitre
Exercice 1 s´eries dans l’espace norm´e L(E)
On suppose que Eest un espace vectoriel norm´e de dimension finie ; on note ||x|| une norme de
Eet |||u||| la norme subordonn´ee dans L(E).On rappelle que
|||u◦v||| ≤ |||u||| |||v|||.
1. Montrer que la s´erie Pun
n!converge. Soit E(u) sa limite ; montrer que
E(v−1◦u◦v) = v−1◦E(u)◦v,
pour tout isomorphisme vet tout endomorphisme u.
2

2. Montrer que si |||u||| <1,alors idE−uest inversible, calculer son inverse.
Indication : introduire une s´erie g´eom´etrique.
voir corrig´e en 6
Th´eor`eme 4
Soient Eun espace vectoriel norm´e et de dimension finie A= (L(E),+, ., ◦),l’alg`ebre des endo-
morphismes de Emuni de la norme subordonn´ee `a la norme de E. Soient e=idEet u∈A.
•la s´erie g´eom´etrique Punest absolument convergente d´es que |||u||| <1 et
∞
X
n=0
un= (e−u)−1,
|||(e−u)−1||| ≤ 1
1− |||u|||.
•la s´erie exponentielle Pun
n!est absolument convergente.
D´emonstration c’est l’exercice 1, `a un rien pr`es.
D´efinition 2 Eest un espace vectoriel norm´e de dimension finie ; on note ||x|| une norme de E
et |||u||| la norme subordonn´ee dans L(E).On note exp et l’on appelle exponentielle, la fonction :
u∈ L(E)→
+∞
X
n=0
1
n!un∈ L(E),
dont l’existence a ´et´e ´etablie dans l’exercice 1.
3

2 Suites de fonctions `a valeurs dans un evn
Les d´efinitions de la convergence simple, de la convergence uniforme et de la convergence normale
s’´etendent imm´ediatement `a des fonctions `a valeurs dans (F, || ||F),espace norm´e. Nous voyons
cela bri`evement avec quelques exemples.
2.1 Convergences
D´efinition 3 convergences
– On dit que la suite des fonctions (fn)nd´efinies sur A, `a valeurs dans l’espace norm´e (F, || ||F),
converge simplement vers fsi, pour tout x∈A, on a
lim
n→∞ ||fn(x)−f(x)||F= 0.
– on dit que (fn)nconverge uniform´ement sur Avers une fonction fsi
lim
n→∞ ||fn−f||∞
A= 0.
Ce qui signifie que
sup
x∈A
||fn(x)−f(x)||F=εn
est une suite de r´eels positifs de limite z´ero.
– on dit que la s´erie Pfnconverge normalement lorsque P||fn||∞converge.
Th´eor`eme 5
Soient Fun espace norm´e de dimension finie et (fn)nune suite de fonctions d´efinies sur A, `a
valeurs dans F.
Si la s´erie Pfnest normalement convergente, alors elle est uniform´ement convergente.
D´emonstration compl´etude de F;
2.2 Continuit´e
Th´eor`eme 6 Soit (fn)nune suite de fonctions d´efinies sur A, `a valeurs dans Fnorm´e. On
suppose que cette suite converge uniform´ement vers une fonction f∈ B(A),alors :
– si, `a partir d’un certain rang, les fonctions fnsont continues en a∈A, la fonction fest continue
en a.
– si, `a partir d’un certain rang, les fonctions fnsont continues sur A, la fonction fest continue
sur A.
Exercice 2 Ed´esigne un evn de dimension finie. Justifier l’existence et la continuit´e des appli-
cations suivantes :
1. Si Best la boule unit´e ouverte de L(E) muni d’une norme matricielle (ie : N(AB)≤
N(A)N(B)),
u∈B→(idE−u)−1.
2.
u∈ L(E)→X
n≥0
un
n!=exp(u).
4

2.3 D´erivabilit´e
Th´eor`eme 7 d´erivation
Soit ( ~ fn)nune suite de fonctions d´efinies sur I⊂R,`a valeurs dans Fnorm´e de dimension finie.On
suppose que
– chaque ~ fnest une fonction de classe C1,
– il existe a∈Itel que ( ~ fn(a))nconverge dans F(on note −→ αsa limite)
– (D~ fn)nconverge uniform´ement sur tout segment de Ivers une fonction −→ gde classe C1.
Alors, ( ~ fn)nconverge uniform´ement sur tout segment de Ivers la primitive de gd´efinie par
~
f(x) = −→ α+Zx
a
−−→
g(t)dt
En d’autres termes ( ~ fn)nconverge uniform´ement sur tout compact de Ivers une fonction de classe
C1et l’on dispose de la formule d’interversion :
lim
n→∞ D~
fn=D( lim
n→∞
~
fn).
Exercice 3
1. Soit u∈ L(E),montrer que la fonction t∈I→exp(tu)∈ L(E) est de classe C∞.
2. Etudier de mˆeme la d´erivabilit´e de t→(idE−tu)−1.
3 Exponentielle de matrice
Exercice 4 propri´et´es de l’exponentielle de matrice
Eest un espace vectoriel norm´e de dimension finie ; on note ||x|| une norme de Eet |||u||| la norme
subordonn´ee dans L(E).
1. On suppose que u◦v=v◦u, montrer qu’alors
–exp(u) et exp(v) commutent ´egalement.
–exp(u)exp(v) = exp(u+v).
– Montrer que exp(u) est inversible et pr´eciser son inverse.
– S’agit il d’un homomorphisme de groupes ? ˆ Etes vous sˆurs ?
2. On consid`ere la fonction
φ:t∈R→exp(tu)∈ L(E).
– Montrer qu’il s’agit cette fois, d’un homomorphisme de groupes (pr´eciser ce qui doit l’ˆetre).
– Montrer que φest une courbe param´etr´ee de classe C∞; calculer φ0(t).
Th´eor`eme 8 tout ou presque sur l’exponentielle de matrice
1. Pour toute matrice A, eAet Acommutent ;
2. Si deux matrices Aet Bcommutent, eA+B=eAeB;
3. e0=Inet pour toute matrice A, eAest inversible, d’inverse e−A;
4. l’application t→etA est un homomorphisme de groupes ;
5. t→etA est de classe C∞et d
dt etA =AetA;
5