Mathématiques MP2 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES

Mathématiques MP2
Équations différentielles linéaires
Résumé de cours
É QUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES VECTORIELLES
Mathématiques MP2
Équations différentielles linéaires
Résumé de cours
Proposition 4 (Caractérisation des systèmes fondamentaux de solutions)
Soit {y 1 , . . . , y n } une famille de n solutions de SH , on a équivalence entre
→ {y 1 , . . . , y n } est une base de SH (ou est libre),
→ pour tout t 0 ∈ I , {y 1 (t 0 ), . . . , y n (t 0 )} est une base de F (ou est libre),
→ il existe t 0 ∈ I , {y 1 (t 0 ), . . . , y n (t 0 )} est une base de F (ou est libre).
Dans tout ce cours, F désigne un K-espace vectoriel de dimension n, I un intervalle de R
C ADRE ET NOTATIONS
Définition 1 (Cadre et solution)
Définition 3 (Matrice wronskienne)
I est un intervalle de R, n ∈ N∗ .
→ cas vectoriel : soit a ∈ C 0 (I , L (F )) et b ∈ C 0 (I , F ). On appelle solution de
Si {X 1 , . . . , X n } est une famille de solutions de Y ′ = A(t )Y , on note W (t ) la matrice de colonnes X 1 (t ), . . . , X n (t ) (matrice
wronskienne). La famille est un système fondamental de solutions si et seulement si il existe t 0 ∈ I tel que detW (t 0 ) ̸= 0.
Alors, pour tout t ∈ I , W (t ) est inversible.
On peut définir la matrice wronskienne de {y 1 , . . . , y n }, famille de solution de y ′ = a(t )y, dans une base B de F (avec les
mêmes propriétés).
(E ) : y ′ = a(t )y + b(t ),
(
)
toute fonction y : I → F de classe C 1 telle que, pour tout t ∈ I , y ′ (t ) = a(t ) y(t ) + b(t ).
0
0
→ cas matriciel : soit A ∈ C (I , M n (K)) et B ∈ C (I , M n1 (K)). On appelle solution de
Proposition 5 (Variation des constantes)
→ Si {y 1 , . . . , y n } est un système fondamental de solutions de (H ), alors toute fonction y ∈ C 1 (I , F ) peut s’écrire y : t 7→
n
∑
αi (t )y i (t ) avec αi ∈ C 1 (I , K).
(E ) : Y ′ = A(t )Y + B (t ),
i =1
toute fonction Y : I → M n1 (K) de classe C 1 telle que, pour tout t ∈ I , Y ′ (t ) = A(t ).Y (t ) + B (t ).
′
→ On cherche une solution de (E ) sous cette forme, et on obtient
′
Dans la suite, on désignera par (E ) : y = a(t )y + b(t ) et (H ) : y = a(t )y, l’équation homogène associée.
Proposition 1
→ Si y 0 est une solution de (E ) alors y est solution de (E ) si et seulement si y − y 0 est solution de (H ).
→ les solutions de (E ) s’obtiennent comme somme d’une solution particulière de (E ) et de n’importe quelle solution
de (H ).
n
∑
i =1
α′i (t )y i (t ) = b(t ) qui admet une solution unique
(car la famille des y i (t ) est une base de F pour tout t ∈ I ).
→ Matriciellement, lorsque {X 1 , . . . , X n } est un système fondamental de solutions de (H ) : Y ′ = A(t )Y , on peut


α1 (t )
n
∑
 . 
αi (t )X i (t ) = W (t )Γ(t ) où Γ(t ) =  .. . On obtient
cherche les solutions de (E ) sous la forme Y (t ) =
i =1
′
′
αn (t )
−1
W (t )Γ (t ) = B (t ) et Γ (t ) = W (t ) B (t ).
T HÉORÈME DE C AUCHY ET CONSÉQUENCES
S YSTÈMES À COEFFICIENTS CONSTANTS
Théorème 1 (Cauchy-Lipschitz)
Théorème 2 (Systèmes à coefficients constants)
Soit t 0 ∈ I et y 0 ∈ F . Il existe une et une seule solution au problème de Cauchy :
{
→ L’unique solution de x ′ = ax (où a ∈ L (F )) vérifiant x(t 0 ) = x 0 est la fonction x : t 7→ exp((t − t 0 )a)(x 0 ).
→ L’unique solution de X ′ = A.X (où A ∈ M n (K)) vérifiant X (t 0 ) = X 0 est la fonction X : t 7→ exp((t − t 0 )A).X 0 .
→ Les solutions de X ′ = AX + B (t ) sont les fonctions
∫ t
exp(−u A)B (u) d u.
t 7→ exp(t A)X 0 + exp(t A)
y ′ = a(t )y + b(t )
y(t 0 ) = y 0
Proposition 2 (Conséquences du thèorème de Cauchy)
soit t 0 ∈ I
{
t0
→ F
est linéaire et bijective
y
7
→
y(t 0 )
→ notamment dim SH = dim F = n.
→ l’application θt0 :
SH
Théorème 3 (Cas diagonalisable)
Proposition 3 (Structure des ensembles de solutions)
→ l’ensemble des solutions SH de (H ) : y ′ = a(t )y est un espace vectoriel de dimension n
→ l’ensemble des solutions SE de (E ) : y ′ = a(t )y + b(t ) est un espace affine de dimension n dirigé par SH .
S YSTÈME FONDAMENTAL DE SOLUTIONS - VARIATION DES CONSTANTES
Définition 2 (Système fondamental de solutions)
On appelle système fondamental de solutions de (H ) : y ′ = a(t )y, toute famille de solutions {y 1 , . . . , y n } qui forme une
base de SH (ou, de façon équivalente, qui est libre).
1
année 2016/2017
Lorsque A est diagonalisable, si λ1 , . . . , λn sont les valeurs propres et V1 , . . . ,Vn une base de vecteurs propres associés,
alors les fonctions f i : t 7→ e λi t Vi forment un système fondamental de solutions de X ′ = AX . Toute solution s’écrit donc
n
∑
X : t 7→
αi e λi t Vi .
i =1
Méthode (Résolution pratique lorsque A est diagonalisable)
→
→
→
→
A = P DP −1 avec D diagonale
L’équation X ′ = AX + B (t ) se récrit P −1 X ′ = D(P −1 X ) + P −1 B (t ),
on note Z (t ) = P −1 X (t ) et C (t ) = P −1 B (t ) : on obtient Z ′ = D Z +C (t )
cette dernière équation donne n équations indépendantes. On résout et on revient à X avec X (t ) = P Z (t )
Remarques :
→ Lorsque l’équation est homogène, on n’a pas besoin de calculer P −1 .
→ La méthode se généralise en trigonalisant. On commence par résoudre la dernière équation puis on remonte avec
les solution précédemment trouvées.
2
année 2016/2017
Mathématiques MP2
Équations différentielles linéaires
Résumé de cours
É QUATIONS DIFFÉRENTIELLES SCALAIRES D ’ ORDRE 1
Proposition 6
Soient a, b ∈ C 0 (I , K). On note A une primitive de a sur I . Les solutions de y ′ = a(t )y + b(t ) sont les fonctions
y : t 7→ K e A(t ) + e A(t )
∫
t
t0
b(u)e −A(u) d y, où K ∈ K.
É QUATIONS DIFFÉRENTIELLES SCALAIRES D ’ ORDRE 2
Proposition 7 (Théorème de Cauchy-Lipschitz)
→ Soient a, b et c des fonctions continues sur I , x 0 ∈ I . Pour tout α, β ∈ K, il existe une unique solution sur I à
y ′′ + a(x)y ′ + b(x)y = c(x) avec y(x 0 ) = α et y ′ (x 0 ) = β.
→ L’ensemble des solutions sur I de y ′′ + a(x)y ′ + b(x)y = 0 est un espace vectoriel de dimension 2.
→ L’ensemble des solutions sur I de y ′′ + a(x)y ′ + b(x)y = c(x) est un espace affine de dimension 2.
Définition 4 (Wronskien)
→ Soient f 1 , f 2 deux solutions de (H ) : y ′′ + a(x)y ′ + b(x)y = 0. On appelle matrice wronskienne de f 1 , f 2 la matrice
(
)
f 1 (x) f 2 (x)
W (x) = ′
et son déterminant w(x) est appelé wronskien.
f 1 (x) f 2′ (x)
′
→ On a w(x) = f 1 (x) f 2 (x) − f 2 (x) f 1′ (x) et w ′ + a(x)w = 0.
→ Le wronskien est soit toujours nul, soit il ne s’annule jamais.
Proposition 8 (Caractérisation d’une base)
Soient f 1 , f 2 deux solutions de (H ). On a équivalence entre
1. { f 1 , f 2 } est une base de solutions de (H ),
2. pour tout x 0 ∈ I , w(x 0 ) ̸= 0,
3. il existe x 0 ∈ I , w(x 0 ) ̸= 0.
Méthode (Variation des constantes)
Si f 1 , f 2 est une base de solutions de (H ) : y ′′ + a(x)y ′ + b(x)y = 0, alors on peut trouver une solution de
(E ) : y ′′ + a(x)y ′ + b(x)y = 0 sous la forme y(x) = λ(x) f 1 (x) + µ(x) f 2 (x) avec la condition λ′ (x) f 1 (x) + µ′ (x) f 2 (x) = 0.
On obtient le système
{ ′
λ (x) f 1 (x) + µ′ (x) f 2 (x) = 0
λ′ (x) f 1′ (x) + µ′ (x) f 2′ (x) = c(x)
3
année 2016/2017