Travaux Dirigés Seconde Séance Problème : Effet de champ en

TD2 Equations Différentielles_EDP PHELMA 1A
Travaux Dirigés Seconde Séance
Pré-requis : Deuxième chapitre du cours
Exercice d’application du cours
(Equation Différentielle Ordinaire du second ordre).
- Déterminer les solutions de l’équation différentielle :
2
2
d y d y
2 2y 0
dx
dx
+ + =
- Montrer que l’on peut également mettre cette équation sous la forme d’un système
d’équations différentielles couplées du premier ordre. Résoudre également cette équation par
cette méthode.
- Déterminer les solutions de l’équation différentielle :
2
2
d y d y
2 2y sin(2x)
dx
dx
+ + =
- Déterminer les solutions de l’équation différentielle :
2
x
2
d y d y
2 2y sin(x) e
dx
dx
−
+ + =
Problème : Effet de champ en régime d’accumulation
En appliquant un champ électrique à la surface d’un semiconducteur, on peut modifier
la concentration de porteurs dans un volume proche de cette surface (c’est l’effet de champ).
Dans ce problème, on considérera uniquement le cas monodimentionel, qui correspond par
exemple à une capacité Métal Oxyde Semiconducteur. Soit donc x la distance entre l’interface
où le champ électrique est appliqué (voir figure). Les concentrations d’électrons n et de trous
p en un point donné sont reliées au potentiel électrostatique V par les relations suivantes :
)
kT
eV(x)
( exp n)x(n
0
= , )
kT
eV(x)
( exp p)x(p
0
−=
Le potentiel électrostatique obéit à l’équation de Poisson. Pour un problème 1D, en supposant
le semiconducteur intrinsèque (n
0
=p
0
), celle ci est donnée par :
−−
ε
=)
kT
eV
( exp)
kT
eV
( expn
e
dx
Vd
0
s
2
2
Distance x (u.a.)
Potentiel V(x) (u.a.)
0
dx
V d
0)x(V
<
>
s
V)0(V =
0)x(
dx
V d
0)x(V
=+∞→
=+∞→
Allure du potentiel V(x)
Distance x (u.a.)
Potentiel V(x) (u.a.)
0
dx
V d
0)x(V
<
>
s
V)0(V =
0)x(
dx
V d
0)x(V
=+∞→
=+∞→
Allure du potentiel V(x)
Dans cet exercice, nous nous proposons de résoudre cette équation, avec les conditions aux
limites suivantes (voir aussi la figure ci dessous).
• loin de l’interface, on retrouve l’équilibre (absence de champ électrique), et donc :
0)x(V
=
∞
→
et 0)x(
dx
V d =∞→

TD2 Equations Différentielles_EDP PHELMA 1A
• à l’interface, le potentiel est supposé connu 0V)0x(V
s
>==
• le potentiel est supposé monotone, donc V(x) > 0 et 0
dx
V d <
21 On définit la grandeur sans dimension
kT
V(x) e
)x(u = et on posera
0
2
s
d
n e 2
kT
Lε =.
Quelle est la dimension de L
d
? Donnez l’équation différentielle vérifiée par u.
22 Régime des faibles tensions. On suppose V(x) << kT / e en tout point x.
Donnez l’expression de u(x). Question subsidiaire : quel sens physique peut on donner à L
d
?
23 Résoudre à présent l’équation même si V(x) n’est pas négligeable devant kT/e, en utilisant
les conditions aux limites préalablement définies. On pourra utiliser les résultats suivants:
1)u(Sh)u(Ch
22
=− ; 1)2/u(Sh)2/u(Ch)u(Ch
22
=+= ;
∫
+
+
−
=C)
e1
e1
(ln
(u)Sh
du
u
u