Chapitre 5. Intégration

Chapitre 5 : Intégration
QCM Pour bien commencer
(cf p. 166 du manuel)
Pour chaque question, il y a une ou plusieurs bonnes réponses.
Exercice 1
Soit g la fonction définie par
1
() 3
x
gx x
, dérivable sur ]3 ; + [. Soit g’ la fonction dérivée de g sur
]3 ; + [, alors l’expression de g’ est :
A
4
’( ) 3 gx x
B
2
2( 1)
’( ) ( 3)
x
gx x
C
2
4
’( ) ( 3) gx x
D
2
4
’( ) ( 3) gx x
Réponse juste : C.
g est une fonction homographique dérivable sur ]3 ; + [ de la forme :
u
v
.
Sa dérivée g’ est de la forme :
''
²
u v uv
v
u(x) = x +1 u’ (x) = 1 v(x) = x – 3 v’(x) =1.
D’où :
( 3) ( 1) 4
'( ) ( 3)² ( 3)²
xx
gx xx
Exercice 2
Soit f la fonction définie par f(x) = 2ln x – x, dérivable sur ]0 ; + [. Soit f ’ la fonction dérivée de f sur
]0 ; + [, alors l’expression de f ’ est :
A
2
’( ) x fx x
B
2
’( )f x x
x
C
1
’( ) 1fx x
D
2
’( ) 1fx x
Réponse juste : A.
f, fonction dérivable sur ]0 ; + [ est une somme de fonctions dérivables.

Or (ln x)’=
1
x
. D’où
1 2 2
'( ) 2 1 1 x fx x x x
.
Attention la réponse B,
2
'( )f x x
x
, ne convient pas car
2 2 ²x
x
xx
.
Exercice 3
Soit h la fonction définie par h(x) = (x2 – 1)e–x, dérivable sur . Soit h’ la fonction dérivée de h sur ,
alors l’expression de h’ est :
A h’(x) = (2x – 1)e–x
B h’(x) = e–x(2x + 1)
C h’(x) = 2xe–x – (x – 1)e–x
Réponse juste : C.
h , dérivable sur , est un produit de fonctions dérivables sur de la forme :
uv
.
Sa dérivée h’ est de la forme : u’ v + u v’ avec :
u(x)= x² - 1
u’(x)= 2x
() x v x e
'( ) x v x e
D’où
'( ) 2 ( ² 1)( )
xx
h x x e x e
'( ) 2 ²
x x x
h x xe x e e
'( ) (1 2 ²)
x
h x e x x
Pour les questions de 4 à 7 :
On pose une fonction f définie sur un intervalle I. On suppose que f est la dérivée d’une fonction g
continue sur l’intervalle I.
Exercice 4
Si f(x) = 3x2 + 2x + 1 et I = alors une fonction g est :
A g(x) = 6x + 2
B g(x) = x3 + x2 + 1
C g(x) = x3 + x2 + x
D g(x) = ln(5x)
Réponse juste : C.
La réponse A correspond à
'( ) 6gx
; la réponse B à
2
'( ) 3 2g x x x
et la réponse D à
1
'( )gx x
.

Exercice 5
Si
2
1
()fx x
et I = ]0 ; + [ alors une fonction g est :
A g(x) = ln(x)
B
1
()gx x
C
1
() x gx x
Réponse juste : B.
La réponse A correspond à
1
'( )gx x
; la réponse C à
( 1) 1
'( ) ²²
xx
gx xx
.
Exercice 6
Si
1
() 1 fx x
et I = ]0 ; + [ alors une fonction g est :
A
2
1
() ( 1) gx x
B
2
1
() ( 1) gx x
C g(x) = ln(x + 1)
D g(x) = ln(5x)
Réponse juste : C.
La réponse A correspond à
243
2
1(2( 1)) 2( 1) 2
'( ) ( 1) ( 1)
( 1)
xx
gx xx
x
; la réponse B à
43
2( 1) 2
'( ) ( 1) ( 1)
x
gx xx
et la réponse D à
1
'( ) (log5 log )'g x x x
.
Exercice 7
Si f(x) = e2x et I = alors une fonction g est :
A g(x) = e2x
B
2
1
( ) e
2x
gx
C g(x) = 2e2x
Réponse juste : B.
La réponse A correspond à
2
'( ) 2 x g x e
; la réponse C correspond à
2
'( ) 4 x g x e
.

Exercice 8
Soit f la fonction définie sur par la courbe f représentée ci-
contre.
On suppose que f est la dérivée d’une fonction g continue sur .
Parmi les tableaux de variations suivants, lequel représente une
fonction g ?
A
B
C
Réponse juste : B.
Par lecture graphique du signe de f sur la courbe f on obtient le tableau de signe de f puis on en
déduit le tableau de variations de g car f est la dérivée de g continue sur .
x
- -2 2 +
Signe de f
+ 0 - 0 +
Variations
de g(x)
Exercice 9
L’aire du trapèze rectangle OADB représenté ci-dessous est, en
unités d’aire (une unité d’aire est un carré d’aire 1, représentée par
l’aire hachuré ci-dessous) :
A 9
B 8,25
C
33
4
Réponses justes : B et C.

L’aire du trapèze rectangle OADB est en unités d’aire:
()
2
OB AD OA
A
, soit
(1,5 4) 3 33
8,25
24
A
.
Exercice 10
L’aire du triangle ABC délimité par les droites d’équations x = 2,
y = x + 1 et l’axe des abscisses représenté ci-dessous est, en unités
d’aire :
A 6
B
9
2
C 4,5
Réponses justes : B et C.
L’aire du triangle ABC est en unités d’aire:
2
BC AB
A
, soit :
3 3 9 4,5
22
A
.