2008 correction série S - Académie de Montpellier

CLASSES DE PREMIERES GENERALES
ET TECHNOLOGIQUES
OLYMPIADES DE MATHEMATIQUES
Académie de MONTPELLIER
Session 2008
Durée : 4 heures
Série S
Ce sujet comporte 4 exercices indépendants.
Les calculatrices sont autorisées.
La rédaction et la qualité des raisonnements seront prises en compte.

Exercice 1 : Les bons nombres
On dit qu’un nombre entier supérieur ou égal à 2 est « bon » s’il peut s’écrire comme la
somme de nombres entiers naturels non nuls, distincts ou non, dont la somme des inverses est
égale à 1.
On dit qu’il est « mauvais » s’il n’est pas « bon ».
Ainsi, par exemple :
2 1 1
= +
et
1 1
1
1 1
+ ≠
, donc 2 est « mauvais » (la seule décomposition possible
pour 2 étant 1+1).
3 1 2
= +
et 1
2
1
1
1≠+ ;
3 1 1 1
= + +
et 1
1
1
1
1
1
1≠++ ; donc 3 est également
« mauvais » (les deux décompositions possibles pour 3 ayant été examinées).
1. Déterminer pour chacun des nombres entiers de 4 à 10 s’il est « bon » ou « mauvais ».
2. Montrer que le carré de tout nombre entier supérieur ou égal à 2 est « bon ».
3. Montrer que si n est « bon », alors 2 n + 2 et 2 n + 9 sont « bons ».
4. On admet que tous les nombres entiers de 24 à 55 sont « bons ».
Qu’en est-il de tout nombre entier supérieur ou égal à 56 ?
Remarque : pour une résolution complète de ce problème, on pourra consulter la publication
quadrature, n°3, avril 1990 .

Solution de l’exercice 1 : Les bons nombres
1.
Remarque préliminaire : toute décomposition contenant 1 donnera une somme
d’inverse strictement supérieure à 1 et ne permettra pas de conclure. Nous pouvons
donc éliminer toute décomposition additive de ce type.
4 = 2 + 2 et 1
2 + 1 2 = 1 donc 4 est « bon ».
5 = 2 + 3 (seule décomposition additive ne contenant pas 1)
et 1
2 + 1 3
≠ 1 donc 5 est « mauvais ».
6 = 2+2+2 et 1
2 + 1 2 + 1 2
≠ 1
6 = 3 + 3 et 1
3 +1 3
≠ 1
6 = 2 + 4 et 1
2 + 1 4
≠ 1
et comme il n’y a pas d’autre décomposition ne contenant pas 1 on en conclut
que 6 est « mauvais »
7 = 2 + 5 et 1
2 + 1 5
≠ 1
7 = 2+2+3 et 1
2 + 1 2 + 1 3
≠ 1
7 = 3 + 4 et 1
3 + 1 4
≠ 1
et comme il n’y a pas d’autre décomposition ne contenant pas 1 on en conclut
que 7 est « mauvais »
8 = 2 + 2 + 2 + 2 et 1
2 + 1 2 + 1 2 + 1 2
≠ 1
8 = 2 + 2 + 4 et 1
2 + 1 2 + 1 4
≠ 1
8 = 2 + 3 + 3 et 1
2 + 1 3 + 1 3
≠ 1
8 = 2 + 6 et 1
2 + 1 6
≠ 1
8 = 3 + 5 et 1
3 + 1 5
≠ 1
8 = 4 + 4 et 1
4 + 1 4
≠ 1
et comme il n’y a pas d’autre décomposition ne contenant pas 1 on en conclut
que 8 est « mauvais »
9 = 3 + 3 + 3 et 1
3 + 1 3 + 1 3 = 1 donc 9 est « bon ».
10 = 4 + 4 + 2 et 1
4 + 1 4 + 1 2 = 1 donc 10 est « bon ».

2. Le carré d’un nombre entier naturel n s’écrit sous la forme n², et comme :
n² = n × n = n + n + n + n+ … + n et que 1
n + 1 n + 1 n + … + 1 n = n
× 1
n = 1
( n fois) (n fois)
on en conclut que n² est toujours « bon ».
3. Soit n un entier naturel dit « bon », alors il existe k entiers naturels tels que :
n = p
1
+ p
2
+ … + p
K
et 1
p
1
+ 1
p
2
+ … + 1
p
k
= 1
Donc 2n + 2 = 2( p
1
+ p
2
+ … + p
K
) + 2 = 2p
1
+ 2p
2
+ … + 2p
K
+2
et 1
2p
1
+ 1
2p
2
+… + 1
2 = 1 2 (1 p
1
+ 1
p
2
+ … + 1
p
k
+ 1) = 1
2 (1 + 1) = 1
De plus :
2n + 9 = 2n + 3 + 6 = 2( p
1
+ p
2
+ … + p
K
) + 3 + 6 = 2p
1
+ 2p
2
+ … + 2p
K
+ 3 + 6
et 1
2p
1
+ 1
2p
2
+… + 1
3 + 1 6 = 1 2 (1 p
1
+ 1
p
2
+ … + 1
p
k
) + 2
6 + 1 6 = 1 2 (1) + 3 6 = 1 2 + 1 2 = 1
Donc si n est « bon », alors 2n + 2 et 2n + 9 sont « bons » aussi.
4. Préliminaires :
Nous allons observer dans un premier temps les liens entres les entiers compris
entre 24 et 55, 2n + 2, 2n + 9 et les entiers suivants 55 :
n nombre pair de la
forme 2k + 2 n nombre impair de la forme 2k+ 9
56 = 2 × 27 + 2
58 = 2 × 28 + 2
60 = 2 × 29 + 2
62 = 2 × 30 + 2
64 = 2 × 31 + 2
66 = 2 × 32 + 2
68 = 2 × 33 + 2
70 = 2 × 34 + 2
72 = 2 × 35 + 2
57 = 2 × 24 + 9
59 = 2 × 25 + 9
61 = 2 × 26 + 9
63 = 2 × 27 + 9
65 = 2 × 28 + 9
67 = 2 × 29 + 9
69 = 2 × 30 + 9
71 = 2 × 31 + 9
73 = 2 × 32 + 9
Comme les entiers de 24 à 35 sont « bons », on peut donc en conclure que les
entiers de 56 à 73 sont « bons » aussi.
Généralisation à tous les nombres entiers supérieurs ou égaux à 56 :
Si n est un nombre pair supérieur ou égal à 56 alors : n = 2k + 2 et k ≥ 56 – 2
2
autrement dit : k ≥ 27 ≥ 24
Si n est un nombre impair supérieur ou égal 57 alors : n = 2k + 9 et k ≥ 57 – 9
2
autrement dit : k
≥ 24

L’algorigramme suivant permet de conclure :
Nombre entier supérieur ou égal à 56
boucle
n ≥ 56
oui n est-il- pair ? non
k = n – 2
2 k = n – 9 2
oui k ≤ 55 ? non
Le nombre est « bon » k n
fin
La boucle crée une suite d’entiers naturels strictement décroissante et minorée par 24. Il
existera donc obligatoirement après un ou plusieurs tours un entier k inférieur ou égal à 55 et
supérieur à 24.
On peut donc en conclure que tous les nombres entiers naturels supérieurs ou égaux à 56 sont
« bons ».