derivabilite

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Universit´ e Saad Dahlab Blida
Premi`ere Ann´ee LMD TCST
2015/2016
Module: Maths I S´erie d’Exercices no: 4
D´erivabilit´e
Exercice 1:
I.Les fonctions suivantes sont-elles d´erivables en x0= 0?
a. f(x) = x
1 + |x|, b. f(x) = 
x2sin 1
xsi x6= 0
0 si x= 0
,
c. f(x) = cos (√x),
d. h(x) = x2ln (x) si x > 0
exp (x)−1 si x≤0, e. f(x) = 1
x.
II.Les fonctions suivantes sont-elles d´erivables en x0= 1?
a. f(x) = √x2+x−2,
b. f(x) = 3
√xsi x≤1
ax2+bx + 1 si x > 1.
III. Avec la notion de d´eriv´ee, calculer pour a, b > 0,
la limite limx→0
ax−1
x, puis la limite limx→0
ax−bx
x.
Exercice 2:
I. D´eterminer le domaine de d´erivabilit´e de f, puis cal-
culer f0sur ce domaine
1. f(x) = cos 2x2+ 1,2. f(x) = cos3(x),
3. f(x) = cos x3,4. f(x) = √x2+ 2x+ 2.
II. Soit fune fonction d´erivable sur R.
1. Trouver en fonction de f0la d´eriv´ee de
sin(f2(x)) et sin(f(x2)).
2. On suppose que f(x)6= 0 pour tout x∈R. Calculer la
d´eriv´ee de x7→ ln(|f(x)|).
Exercice 3:(` A r´esoudre en Cours):
Montrer que la fonction fd´efinie par
f(x) = 1
10 x5+ 2x2−1
admet une application r´eciproque sur [0,+∞[, puis
d´etreminer Df−1.
Calculer f(1), f´(1) puis (f−1)´( 11
12 ).
Exercice 4:(` A r´esoudre en Cours):
Soit fune fonction d´efinie sur [ π
2, π[ par:
f(x) = 1
sin (x).
1. D´emontrer que fr´ealise une bijection de Ivers un
intervalle Jque l’on pr´ecisera.
2. Sans calculer f−1, d´eterminer le plus grand intervalle
K⊂Jsur lequel f−1est d´erivable.
3. D´emontrer que ∀x∈K,f−10(x) = 1
x√x2−1.
Exercice 5:
Les conditions du th´eoreme de Rolle sont-elles v´erifi´ees
pour les fonctions suivantes?
1)f(x) = x2−4xsur [0,4] 2)f(x) = x+1
xsur [ 1
4,4],
3)f(x) = sin xsur [0, π].
Exercice 6::
1. A l’aide du th´eor`eme des accroissements finis montrer
que:
∀x > 0,1
x+ 1 <ln(x+ 1) −ln (x)<1 x
2. Trouver les limites de
limx→+∞√x(ln(x+ 1) −ln (x))
limx→+∞x(ln(x+ 1) −ln (x))
3. En d´eduire que limx→+∞1 + 1
xx
=e, puis calculer
limx→+∞1−1
xx
.
Exercice 7:
D´eterminer les limites suivantes en utilisant la r`egle de
L’Hospital :
1. limx→1x3−2x2−x+ 2
x3−4x+ 3 ,2. limx→0
1−cos (x)
x2,
3. limx→1
xx2−1
|x−1|,4. limx→0cos (2x)3
x2
5. limx→+∞
x2+ 3x+ 2
(x+ 2) ln(x+ 1) ,6. limx→0
xsin (x)
1−cos (x),
7. limx→0
ln (x+ 1)
x,8. limx→0pcos (x)−1 x.
Exercice 8:(` A r´esoudre en Cours)
Soit fl’application suivante:
f:R∗
+→R
x7→ f(x) = √xe 1
√x.
1. Etudier la continuit´e de fsur R∗
+.
2. Montrer que fest d´erivable sur R∗
+, puis v´erifier que :
f0(x) = f(x)g(√x),
o`u gest une fonction `a d´eterminer.
3. Dresser le tableau de variation de f, puis en d´eduire:
a. f(]0,2]) et f−1(] −1,2[).
b. fn’est pas surjective.
4. Montrer que fr´ealise une bijection de [1,+∞[ vers
un intervalle I`a d´eterminer.
5. Prouver que l’´equation f(x)−3 = 0, admet une
unique solution sur l’intervalle ] 1
4,1[.
6. Calculer f(4) et f0(4) puis en d´eduire (f−1)0(2√e).

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Exercices suppl´ementaires
Exercice (1): Indiquer le domaine de d´erivabilit´e et cal-
culer la d´eriv´ee sur ce domaine:
f(x) = sin2(x/2) + cos3(4x); g(x) = ln(ln(|x|)).
Exercice (2):
1. D´eterminer si les fonctions suivantes sont d´erivables
sur R:
f(x) = 3(x+ 1)2,si x≤ −1;
(2x+ 1)(x+ 1)3,si x > −1. ;g(x) = ||x−1|−2|.
2. Pr´eciser aet bpour que la fonction suivante soit
d´erivable sur R
f(x) = x2+x+ 1,si x≥1;
ax3+bx + 2,si x < 1.
Exercice (3):
Soit la fonction fd´efinie sur Rpar:
f(x) = x3ln(|x|),si x6= 0;
0,si x= 0.
Donner la plus grande valeur k, telle que fsoit de classe
Cksur R.
Exercice (4):
D´eterminer lequel des deux nombres est le plus grand :eπ
avec πepuis ln(8) avec 2.
Exercice (5):
Soient a, b deux r´eels. Pour n∈N∗\{1}, soit l’´equation
xn−ax −b= 0.
Montrer que si nest pair, cette ´equation admet au plus
deux racines r´eelles et si nest impair, cette ´equation
admet au plus trois racines r´eelles.
Exercice (6):
Montrer les in´egalit´es suivantes:
a). ∀x > 0, x + 1 <exp(x)< x exp(x) + 1.
b). ∀x > y > 0,x−y
x<ln( x y)<x−y y.
Exercice (7):
Calculer les limites suivantes:
1).lim
x7→0
sin2(x)
1−exp(x),; 2).lim
x7→1+ ln(x) ln(x−1).
3).lim
x7→01
xtan(x),; 4).lim
x7→1x
x−1−1 ln(x).
Exercice (8):
Pr´eciser le domaine de d´efinition et calculer les d´eriv´ees
des fonctions suivantes :
1).f(x) = arctan(1/x); 2).g(x) = arcsin(x)
x,
3).h(x) = arccos(√x),; 4).k(x) = p1−x2arcsin(x).
Exercice (9):(Examen 2011/2012)
Soient α, β ∈Ret fune fonction r´eelle d´efinie par:
f(x) = 
1−cos(2x)
√1+4x2−1,si x < 0;
α1−x/22/x + 1,si x∈]0,1];
βsin(πx)
1−x,si x > 1.
1. Calculer, sans utiliser la r`egle de l’Hopital, les lim-
ites suivantes:
a) limx7→01−cos(2x)
√1+4x2−1, b) limx7→01−x/22/x, c)
limx7→1sin(πx)
1−x.
2. D´eterminer le domaine Df.
3. Trouver la valeur de αpour que fsoit prolongeable
par continuit´e au x0= 0.
Dans tout ce qui suit on suppose α= 0.
4. Pour quelle valeur de βla fonction fest-elle continue
en x0= 1?
5. Pour la valeur de βtrouv´ee, montrer qu’il existe au
moins un c∈]1/2,2[ solution de l’´equation f(x) = x.
Exercice (10):(Examen 2013/2014)
Soit fla fonction d´efinie par:
f(x) = arctan( 2x
1−x2).
1. D´eterminer le domaine de d´efinition de f.
2. Peut-on prolonger fpar continuit´e en x0= 1?
3. Calculer la d´eriv´ee de fsur [0,1[∪]1,+∞[.
4. Enoncer le Th´eor`eme des accroissements finis.
5. Montrer que ∀x∈]0,1[ on a:
2x
x2+ 1 <arctan( 2x 1−x2)<2x.
6. En d´eduire la limite suivante:
lim
x7→0+
1
xarctan( 2x 1−x2).
Exercice (11):(Examen 2013/2014)
I) Calculer, sans utiliser la r`egle de l’Hopital, les lim-
ites suivantes:
lim
x7→1
sin(πx)
sin(2πx); lim
x7→0(√1 + x−x)1
x.
II)
a) Enoncer le Th´eor`eme des accroissements finis.
b) Montrer que ∀x > 0,on a:
3x
1 + 3x<ln(1 + 3x)<3x.
c) En d´eduire la limite suivante:
lim
x7→0+
1
xln(1 + 3x).