derivabilite

1)f (x) = x2 − 4x sur [0, 4]
Université Saad Dahlab Blida
Première Année LMD TCST
2015/2016
2)f (x) = x +
3)f (x) = sin x sur [0, π].
1
1
sur [ 14 , 4],
x
Exercice 6::
o
Module: Maths I
Série d’Exercices n : 4
Dérivabilité
Exercice 1:
I.Les fonctions suivantes sont-elles dérivables en x0 = 0?

1
 2
x
x sin
si x 6= 0
a. f (x) =
, b. f (x) =
,
x

1 + |x|
0
si x = 0
√
c. f (x) = cos ( x),
2
1
x ln (x)
si x > 0
, e. f (x) =
.
d. h(x) =
exp (x) − 1 si x ≤ 0
x
II.Les fonctions suivantes sont-elles dérivables en x0 = 1?
√
a. f (x) = x2 +
x−2 ,
√
3
x
si
x≤1
b. f (x) =
.
ax2 + bx + 1 si x > 1
1. A l’aide du théorème des accroissements finis montrer
que:
1
1
< ln(x + 1) − ln (x) <
∀x > 0,
x+1
x
2. Trouver les limites de
√
limx→+∞ x (ln(x + 1) − ln (x))
limx→+∞ x (ln(x + 1) − ln (x))
x
1
3. En déduire que limx→+∞ 1 +
= e, puis calculer
x
x
1
.
limx→+∞ 1 −
x
Exercice 2:
Exercice 7:
Déterminer les limites suivantes en utilisant la règle de
L’Hospital :
3
1 − cos (x)
x − 2x2 − x + 2
, 2. limx→0
,
1. limx→1
x3 −4x + 3
x2
2
3
x x −1
3. limx→1
, 4. limx→0 cos (2x) x2
|x − 1|
I. Déterminer le domaine de dérivabilité de f , puis calculer f 0 sur ce domaine
1. f (x) = cos 2x2 + 1 ,
2. f (x) = cos3 (x) ,
√
3
3. f (x) = cos x , 4. f (x) = x2 + 2x + 2.
x sin (x)
x2 + 3x + 2
, 6. limx→0
,
(x + 2) ln(x + 1) p
1 − cos (x)
cos (x) − 1
ln (x + 1)
7. limx→0
, 8. limx→0
.
x
x
II. Soit f une fonction dérivable sur R.
Exercice 8:(À résoudre en Cours)
Soit f l’application suivante:
III. Avec la notion de dérivée, calculer pour a, b > 0,
ax − bx
ax − 1
, puis la limite limx→0
.
la limite limx→0
x
x
0
1. Trouver en fonction de f la dérivée de
sin(f 2 (x)) et sin(f (x2 )).
2. On suppose que f (x) 6= 0 pour tout x ∈ R. Calculer la
dérivée de x 7→ ln(|f (x)|).
Exercice 3:(À résoudre en Cours):
Montrer que la fonction f définie par
f (x) =
1 5
x + 2x2 − 1
10
admet une application réciproque sur [0, +∞[, puis
détreminer Df −1 .
11
Calculer f (1), f´(1) puis (f −1 )´( 12
).
Exercice 4:(À résoudre en Cours):
π
Soit f une fonction définie sur [ , π[ par:
2
1
f (x) =
.
sin (x)
1. Démontrer que f réalise une bijection de I vers un
intervalle J que l’on précisera.
2. Sans calculer f −1 , déterminer le plus grand intervalle
K ⊂ J sur lequel f −1 est dérivable.
0
1
3. Démontrer que ∀x ∈ K, f −1 (x) = √
.
x x2 − 1
Exercice 5:
Les conditions du théoreme de Rolle sont-elles vérifiées
pour les fonctions suivantes?
5. limx→+∞
f : R∗+ → R
x 7→ f (x) =
√
xe
√1
x
.
1. Etudier la continuité de f sur R∗+ .
2. Montrer que f est dérivable sur R∗+ , puis vérifier que :
√
f 0 (x) = f (x)g( x),
où g est une fonction à déterminer.
3. Dresser le tableau de variation de f , puis en déduire:
a. f (]0, 2]) et f −1 (] − 1, 2[).
b. f n’est pas surjective.
4. Montrer que f réalise une bijection de [1, +∞[ vers
un intervalle I à déterminer.
5. Prouver que l’équation f (x) − 3 = 0, admet une
unique solution sur l’intervalle ] 14 , 1[.
√
6. Calculer f (4) et f 0 (4) puis en déduire (f −1 )0 (2 e).
Exercices supplémentaires
Exercice (1): Indiquer le domaine de dérivabilité et calculer la dérivée sur ce domaine:
f (x) = sin2 (x/2) + cos3 (4x);
g(x) = ln(ln(|x|)).
Exercice (9):(Examen 2011/2012)
Soient α, β ∈ R et f une fonction réelle définie par:

1−cos(2x)

√
,
si x < 0;


1+4x2 −1
2/x
f (x) =
+ 1, si x ∈]0, 1];
α 1 − x/2


 β sin(πx) ,
si x > 1.
1−x
Exercice (2):
1.
1. Déterminer si les fonctions suivantes sont dérivables
sur R:
3(x + 1)2 ,
si x ≤ −1;
f (x) =
; g(x) = ||x−1|−2|.
(2x + 1)(x + 1)3 , si x > −1.
2. Préciser a et b pour que la fonction suivante soit
dérivable sur R
2
x + x + 1,
si x ≥ 1;
f (x) =
ax3 + bx + 2, si x < 1.
Exercice (3):
Soit la fonction f définie sur R par:
3
x ln(|x|), si x 6= 0;
f (x) =
0,
si x = 0.
Donner la plus grande valeur k, telle que f soit de classe
C k sur R.
Exercice (4):
Déterminer lequel des deux nombres est le plus grand :eπ
avec π e puis ln(8) avec 2.
Exercice (5):
Soient a, b deux réels. Pour n ∈ N∗ \{1}, soit l’équation
xn − ax − b = 0.
Montrer que si n est pair, cette équation admet au plus
deux racines réelles et si n est impair, cette équation
admet au plus trois racines réelles.
Calculer, sans utiliser la règle de l’Hopital, les limites suivantes:
2/x
1−cos(2x)
a) limx7→0 √
, b) limx7→0 1 − x/2
, c)
2
limx7→1
1+4x −1
sin(πx)
.
1−x
2. Déterminer le domaine Df .
3. Trouver la valeur de α pour que f soit prolongeable
par continuité au x0 = 0.
Dans tout ce qui suit on suppose α = 0.
4. Pour quelle valeur de β la fonction f est-elle continue
en x0 = 1?
5. Pour la valeur de β trouvée, montrer qu’il existe au
moins un c ∈]1/2, 2[ solution de l’équation f (x) = x.
Exercice (10):(Examen 2013/2014)
Soit f la fonction définie par:
f (x) = arctan(
1.
2.
3.
4.
5.
2x
2x
< arctan(
) < 2x.
x2 + 1
1 − x2
6. En déduire la limite suivante:
lim
x7→1
2
1). lim
x7→0
sin (x)
,;
1 − exp(x)
3). lim
x7→0
1 tan(x)
,;
x
2). lim ln(x) ln(x − 1).
x7→1+
4). lim
x7→1
x
1 −
.
x−1
ln(x)
1
2x
arctan(
).
x
1 − x2
Exercice (11):(Examen 2013/2014)
I) Calculer, sans utiliser la règle de l’Hopital, les limites suivantes:
lim
Exercice (7):
Calculer les limites suivantes:
2x
).
1 − x2
Déterminer le domaine de définition de f .
Peut-on prolonger f par continuité en x0 = 1?
Calculer la dérivée de f sur [0, 1[∪]1, +∞[.
Enoncer le Théorème des accroissements finis.
Montrer que ∀x ∈]0, 1[ on a:
x7→0+
Exercice (6):
Montrer les inégalités suivantes:
a). ∀x > 0, x + 1 < exp(x) < x exp(x) + 1.
b). ∀x > y > 0, x−y
< ln( xy ) < x−y
.
x
y
sin(πx)
;
sin(2πx)
√
1
lim ( 1 + x − x) x .
x7→0
II)
a) Enoncer le Théorème des accroissements finis.
b) Montrer que ∀x > 0, on a:
3x
< ln(1 + 3x) < 3x.
1 + 3x
c) En déduire la limite suivante:
Exercice (8):
Préciser le domaine de définition et calculer les dérivées
des fonctions suivantes :
1).f (x) = arctan(1/x);
√
3).h(x) = arccos( x), ;
2).g(x) =
4).k(x) =
arcsin(x)
,
x
p
1 − x2 arcsin(x).
2
lim
x7→0+
1
ln(1 + 3x).
x