Limites – Comportement asymptotique

Limites – Comportement asymptotique
Christophe ROSSIGNOL∗
Année scolaire 2009/2010
Table des matières
1 Limite d’une fonction en +∞, en −∞
3
1.1
Limite infinie en +∞, en −∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Limite finie en +∞, en −∞ – Asymptote horizontale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2 Limite en un réel a
7
2.1
Deux exemples de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2
Limite infinie en un réel a – Asymptote verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3
Cas des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3 Opérations sur les limites
8
3.1
Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.2
Somme de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.3
Produit de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.4
Inverse d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.5
Quotient de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Limite en l’infini d’une fonction polynôme ou rationnelle
12
4.1
Cas d’une fonction polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2
Cas d’une fonction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5 Asymptote oblique
∗ Ce
13
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1
TABLE DES FIGURES
LISTE DES TABLEAUX
Table des figures
1
Limite +∞ lorsque x tend vers +∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2
Fonction racine carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3
Fonction identité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
Fonction carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
5
Fonction cube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
6
Limite finie lorsque x tend vers +∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
√1
x
7
Fonction x →
8
Fonction inverse
1
x2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
9
Fonction x −→
10
Asymptote oblique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Liste des tableaux
1
Limite d’une somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2
Limite d’un produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3
Limite de l’inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4
Limite d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2
1
LIMITE D’UNE FONCTION EN +∞, EN −∞
Activité : Activité 1 page 112 [TransMath]
1
1.1
Limite d’une fonction en +∞, en −∞
Limite infinie en +∞, en −∞
Définition : Soit f une fonction définie sur l’intervalle [α ; +∞[.
Dire que f tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ signifie que l’on peut rendre les valeurs de f (x)
aussi grandes que l’on veut dès que x est suffisamment grand.
On note alors :
lim f (x) = +∞
lim f = +∞
ou
x→+∞
+∞
Remarques :
1. On dit aussi que f a comme limite +∞ en +∞.
2. Ceci peut se traduire par :
pour tout réel A > 0, il existe un réel a > 0 tel que f (x) > A dès que x > a (voir figure 1)
Fig. 1 – Limite +∞ lorsque x tend vers +∞
3. On peut définir de manière analogue limx→+∞ f (x) = −∞ ; limx→−∞ f (x) = +∞ et limx→−∞ f (x) =
−∞.
Cas des fonctions usuelles :
– Fonction racine carrée (figure 2) :
lim
x→+∞
√
x = +∞
– Fonction identité (figure 3) :
lim x = −∞
et
lim x2 = +∞
et
lim x3 = −∞
et
x→−∞
lim x = +∞
x→+∞
– Fonction carrée (figure 4) :
x→−∞
lim x2 = +∞
x→+∞
– Fonction cube (figure 5) :
x→−∞
Remarque : On peut montrer que, si n entier strictement positif :
– Si n est pair : limx→−∞ xn = +∞ et limx→+∞ xn = +∞
– Si n est impair : limx→−∞ xn = −∞ et limx→+∞ xn = +∞
3
lim x3 = +∞
x→+∞
1.1
Limite infinie en +∞, en −∞
1
LIMITE D’UNE FONCTION EN +∞, EN −∞
Fig. 2 – Fonction racine carrée
Fig. 3 – Fonction identité
Fig. 4 – Fonction carrée
Fig. 5 – Fonction cube
4
1
LIMITE D’UNE FONCTION EN +∞, EN −∞ 1.2
1.2
Limite finie en +∞, en −∞ – Asymptote horizontale
Limite finie en +∞, en −∞ – Asymptote horizontale
Définition : Soit f une fonction définie sur l’intervalle [α ; +∞[ et l un nombre réel.
Dire que f tend vers l lorsque x tend vers +∞ signifie que l’on peut rendre les valeurs de f (x) aussi
proches de l que l’on veut dès que x est suffisamment grand.
On note alors :
lim f (x) = l
lim f = l
ou
x→+∞
+∞
Remarques :
1. On dit aussi que f a comme limite l en +∞.
2. Ceci peut se traduire par :
pour tout réel α > 0 (α aussi proche de zéro que possible), il existe un réel a > 0 tel que
l − α < f (x) < l + α dès que x > a (voir figure 6)
Fig. 6 – Limite finie lorsque x tend vers +∞
3. On peut définir de manière analogue limx→−∞ f (x) = l .
Cas des fonctions usuelles :
– Fonction x −→ √1x (figure 7) :
1
lim √ = 0
x→+∞
x
– Fonction inverse (figure 8) :
lim
1
=0
x
et
1
=0
x2
et
x→−∞
– Fonction x −→
1
x2
lim
1
=0
x
lim
1
=0
x2
x→+∞
(figure 9) :
lim
x→−∞
x→+∞
Remarque : On peut montrer que, si n entier strictement positif : limx→−∞
1
xn
= 0 et limx→+∞
1
xn
= 0.
Définition : Lorsque limx→+∞ f (x) = l (respectivement limx→−∞ f (x) = l), on dit que la droite d’équation
y = l est asymptote (horizontale) à la courbe représentant f .
Remarque : Graphiquement, ceci signifie que la courbe représentant f se rapproche de plus en plus de cette
droite lorsque x devient grand1 (voir figure 6).
1 éventuellement
négatif et grand en valeur absolue pour l’asymptote en −∞.
5
1.2
Limite finie en +∞, en −∞ – Asymptote horizontale 1
LIMITE D’UNE FONCTION EN +∞, EN −∞
Fig. 7 – Fonction x →
√1
x
Fig. 8 – Fonction inverse
Fig. 9 – Fonction x −→
6
1
x2
2
LIMITE EN UN RÉEL A
Limite en un réel a
2
2.1
Deux exemples de base
1. f : x −→ x12 (voir figure 9)
On peut rendre f (x) aussi grand que l’on veut, dès que x est assez proche de zéro.
On note :
1
= +∞
lim
x→0 x2
On dit que la droite d’équation x = 0 est asymptote (verticale) à la courbe représentant f .
2. f : x −→ x1 (voir figure 8)
– Sur ]0 ; +∞[ :
On peut rendre f (x) aussi grand que l’on veut, dès que x est assez proche de zéro.
On note :
1
lim = +∞
x→0 x
x>0
– Sur ]−∞ ; 0[ :
On peut rendre f (x) aussi petit 2 que l’on veut, dès que x est assez proche de zéro.
On note :
1
lim = −∞
x→0 x
x<0
On dit que la droite d’équation x = 0 est asymptote (verticale) à la courbe représentant f .
2.2
Limite infinie en un réel a – Asymptote verticale
Définition : Soit a un réel f une fonction.
Dire que f tend vers +∞ lorsque x tend vers a signifie que l’on peut rendre les valeurs de f (x) aussi
grandes que l’on veut dès que x est suffisamment proche de a.
On note alors :
lim f (x) = +∞
ou
x→a
lim f = +∞
a
Remarques :
1. On peut définir de manière analogue limx→a f (x) = −∞ ; limx→a f (x) = ±∞ et limx→a f (x) = ±∞.
x<a
2. On a
limx→0 √1x
x>a
= +∞ (voir figure 7)
3. On peut montrer que, si n entier strictement positif :
– Si n est pair : limx→0 x1n = +∞
– Si n est impair : limx→0 x1n = −∞ et limx→0 x1n = +∞
x<0
x>0
Définition : Lorsque limx→a f (x) = +∞ (respectivement limx→a f (x) = −∞), on dit que la droite d’équation
x = a est asymptote (verticale) à la courbe représentant f .
Exercices : 1, 2, 5, 6 page 1293 [TransMath]
2 au
sens : grand en valeur absolue, mais négatif...
du graphique et du tableau de variations.
3 Utilisation
7
2.3
2.3
Cas des fonctions usuelles
3
OPÉRATIONS SUR LES LIMITES
Cas des fonctions usuelles
Propriété : Pour toutes les fonctions étudiées en classe de Première (fonctions polynômes, rationnelles, racines
carrées, cosinus, sinus, etc.), on a le résultat suivant :
Si f est définie en a alors :
lim f (x) = f (a)
x→a
Remarque : Cette propriété est en fait vérifiée par toutes les fonctions continues. Cette notion sera expliquée
en classe de Terminale S.
Exercices : 7 page 1294 [TransMath]
3
Opérations sur les limites
3.1
Position du problème
Pour le moment, on s’est contenté de conjecturer des limites, ce qui n’est pas satisfaisant. On va donc donner
des règles de calcul sur les limites pour pouvoir déterminer les limites de fonctions plus complexes.
Dans toute cette section, l et l0 désignent deux nombres réels ; a désigne soit un réel, soit +∞, soit −∞.
3.2
Somme de deux fonctions
Les résultats sont résumés dans le tableau 1.
limx→a f (x)
l
l
l
+∞
−∞
+∞
limx→a g (x)
l0
+∞
−∞
+∞
−∞
−∞
limx→a [f (x) + g (x)]
l + l0
+∞
−∞
+∞
−∞
F.I.
Tab. 1 – Limite d’une somme
Remarque : « F.I. » signifie « Forme Indéterminée ». Ceci veut dire que l’on ne peut pas conclure directement
à l’aide du tableau. Il faut étudier plus en détail la fonction pour « lever l’indétermination » et trouver la
limite.
Exemples :
1. limx→+∞ x2 + x + 1 =?

limx→+∞ x2 = +∞ 
limx→+∞ x = +∞
donc lim x2 + x + 1 = +∞
x→+∞

limx→+∞ 1 = 1
√
2. limx→0 x1 + x + 2 =?
x>0
limx→0
1
x

= +∞ 


√
1 √
limx→0 x = 0
= +∞
donc
lim
+
x
+
2
x>0
x→0 x


x>0

limx→0 2 = 2
x>0
x>0
4 Limites
de fonctions usuelles.
8
3
OPÉRATIONS SUR LES LIMITES
3.3
Produit de deux fonctions
3. limx→−∞ x2 + x =?
limx→−∞ x2 = +∞
limx→−∞ x = −∞
On a une forme indéterminée
Cette F.I. sera levée à la sous-section 3.3.
3.3
Produit de deux fonctions
Les résultats sont résumés dans le tableau 2.
limx→a f (x)
l
l>0
l>0
l<0
l<0
+∞
+∞
−∞
0
0
limx→a g (x)
l0
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
−∞
+∞
−∞
limx→a [f (x) × g (x)]
l × l0
+∞
−∞
−∞
+∞
+∞
−∞
+∞
F.I.
F.I.
Il s’agit de la règle des signes
Tab. 2 – Limite d’un produit
Exemples :
1. limx→+∞ −3x2 =?
limx→+∞ −3 = −3
limx→+∞ x2 = +∞
donc
lim
x→+∞
−3x2 = −∞
2. limx→−∞ x2 + x =?
On a déjà vu à la sous-section 3.2 que cette limite présente une forme indéterminée. Or, x2 + x =
x (x + 1) et :
limx→−∞ x = −∞
limx→−∞ x + 1 = −∞
donc
lim
x→−∞
x2 + x = +∞
On a levé l’indétermination.
Exercices : 16, 18, 19 page 1305 [TransMath]
3.4
Inverse d’une fonction
Les résultats sont résumés dans le tableau 3.
Remarque : Lorsque f (x) tend vers zéro, il est nécessaire de connaître le signe de f pour conclure. Par contre,
dans la plupart des cas, ce n’est pas du tout une forme indéterminée.
5 Limites
d’un produit.
9
3.5
Quotient de deux fonctions
3
limx→a f (x)
limx→a
1
f (x)
OPÉRATIONS SUR LES LIMITES
l
+∞
−∞
0
et f (x) > 0
0
et f (x) < 0
1
l
0
0
+∞
−∞
Tab. 3 – Limite de l’inverse
Exemples :
1
1. limx→2 x−2
=?
Comme limx→2 x − 2 = 0, il est nécessaire de connaître le signe de (x − 2) pour conclure :
x
x−2
−∞
−
2
0
+∞
+
On a donc :
1
= −∞
x→2 x − 2
lim
1
= +∞
x→2 x − 2
et
lim
x<2
x>2
On a une asymptote verticale d’équation x = 2.
2. limx→+∞
1
x2 −1
2
=?
limx→+∞ x − 1 = +∞ donc limx→+∞ x21−1 = 0.
On a une asymptote horizontale d’équation y = 0.
3. limx→1
1
x2 −1
=?
Comme limx→1 x2 − 1 = 0, il est nécessaire de connaître le signe de x2 − 1 pour conclure. Il s’agit
d’un trinôme du second degré, avec deux racines évidentes : −1 et 1. De plus, le coefficient du terme
de degré 2 est positif. Le signe est donc le suivant :
x
x2 − 1
−∞
+
−1
0
−
1
0
+∞
+
On a donc :
lim
x→1
x<1
x2
1
= −∞
−1
et
lim
x→1
x>1
x2
1
= +∞
−1
On a une asymptote verticale d’équation x = 1.
Remarques :
1. Attention ! La notation lim x→1
x<−1
1
x2 −1
n’a aucun sens. Il suffit de connaître le signe de x2 − 1 au
voisinage de 1 pour conclure.
2. Par un raisonnement analogue, on trouve :
lim
x→−1
1
= +∞
x2 − 1
et
x<−1
3.5
lim
x→−1
1
= −∞
x2 − 1
x>−1
Quotient de deux fonctions
(x)
1
On peut remarquer que fg(x)
= f (x) × g(x)
. On peut donc trouver la limite d’un quotient à l’aide des tableaux
2 et 3.
Les résultats sont résumés dans le tableau 4.
Exemples :
10
3
OPÉRATIONS SUR LES LIMITES
3.5
Quotient de deux fonctions
limx→a f (x)
l
l
l 6= 0
+∞
ou
−∞
+∞
ou
−∞
limx→a g (x)
l0 6= 0
+∞
ou
−∞
0
0
l0 6= 0
l
l0
0
limx→a
f (x)
g(x)
+∞
+∞
ou
ou
−∞
−∞
Il faut étudier le
signe de g
+∞
ou
−∞
+∞
ou
−∞
+∞
ou
−∞
règle des
signes
F.I.
0
0
F.I.
Tab. 4 – Limite d’un quotient
1. limx→+∞
−5
2x2 −1
=?
limx→+∞ −5 = −5
limx→+∞ 2x2 − 1 = +∞
donc
lim
x→+∞
−5
=0
2x2 − 1
On a une asymptote horizontale d’équation y = 0.
2. limx→ 31
x−2
3x−1
=?
limx→ 13 x − 2 = − 53
limx→ 31 3x − 1 = 0
il faut étudier le signe de 3x − 1
le signe est résumé dans le tableau suivant :
1
3
−∞
x
3x − 1
−
0
+∞
+
la limite du numérateur est négative, on a :
lim1
x→ 3
x−2
= +∞
3x − 1
et
lim1
x→ 3
x< 1
3
x−2
= −∞
3x − 1
x> 1
3
On a une asymptote verticale d’équation x = 31 .
3. limx→0
2
x√
−3
x
=?
2
limx→0
√ x − 3 =√−3
limx→0 x = 0 et x > 0
x2 − 3
√
= −∞
x→0
x
donc lim
On a une asymptote verticale d’équation x = 0.
4. limx→+∞
2
x√
−3
x
=?
limx→+∞ x2√− 3 = +∞
limx→+∞ x = +∞
De plus :
On a une forme indéterminée
√ 2
√
x2 − 3
x2
3
x ( x)
3
3
√
=√ −√ = √
− √ =x x− √
x
x
x
x
x
x
√
limx→+∞ x x = +∞
donc
limx→+∞ √3x = 0
x2 − 3
√
= +∞
x→+∞
x
lim
Exercices : 9, 10, 12, 13 page 1296 – 20, 21 page 1307 – 51, 52 page 1328 [TransMath]
6 Utilisation
des théorèmes sur les limites.
formes indéterminées.
8 Plus difficiles.
7 Premières
11
. Par suite, comme
4
4
LIMITE EN L’INFINI D’UNE FONCTION POLYNÔME OU RATIONNELLE
Limite en l’infini d’une fonction polynôme ou rationnelle
4.1
Cas d’une fonction polynôme
Exemple : f (x) = −3x4 + x3 − 2x + 1
On a une forme indéterminée en −∞ et en +∞.
Si x 6= 0 :
2x
1
1
x3
1
2
4
4
f (x) = x −3 + 4 − 4 + 4 = x −3 + − 3 + 4
x
x
x
x x
x
4
lim
x→+∞3x = +∞ limx→+∞ −3 + xx4 − 2x
+ x14 = −3
x4
)
donc
lim f (x) = −∞
x→+∞
Remarques :
1. On a un résultat analogue lorsque x tend vers +∞.
2. On peut remarquer que la limite est la même que celle de −3x4 . Ce résultat se généralise.
Propriété : (admise)
En +∞ ou en −∞, une fonction polynôme a la même limite que son monôme de plus haut degré.
Remarque : Attention ! Cette propriété n’est valable que pour les fonctions polynômes et uniquement pour
l’étude des limites en l’infini.
Exercices : 23, 25, 27, 29, 31 page 1309 – 34 page 13010 [TransMath]
4.2
Cas d’une fonction rationnelle
Exemples :
2
1. f (x) = 3xx2+x−1
+7
On a une forme indéterminée lorsque x tend vers +∞.
Si x 6= 0 :
x2 3 + xx2 − x12
3 + x1 − x12
f (x) =
=
x2 1 + x72
1 + x72
limx→+∞ 3 + x1 − x12 = 3
limx→+∞ 1 + x72 = 1
donc
lim f (x) =
x→+∞
3
=3
1
On a une asymptote horizontale d’équation y = 3.
2. g (x) = x+2
x3
On a une forme indéterminée lorsque x tend vers +∞.
Si x 6= 0 :
x 1 + x2
1 + x2
g (x) =
=
3
x
x2
limx→+∞ 1 + x2 = 1
limx→+∞ x2 = +∞
On a une asymptote horizontale d’équation y = 0.
9 Étude
de fonctions polynômes.
de fonction.
10 Détermination
12
donc
lim f (x) = 0
x→+∞
5
ASYMPTOTE OBLIQUE
2
−5x+1
3. h (x) = 3x x+2
On a une forme indéterminée lorsque x tend vers +∞.
Si x 6= 0 :
1
x 3 − x5 +
x2 3 − 5x
x2 + x2
=
h (x) =
2
1 + x2
x 1+ x
limx→+∞ x = +∞
limx→+∞ 3 − x5 + x12 = 3
De plus, limx→+∞ 1 +
2
x
donc
1
x2
5
1
lim x 3 − + 2 = +∞
x→+∞
x x
= 1 donc limx→+∞ h (x) = +∞
Remarque : Dans chacun des cas précédents, la limite est la même que celle du quotient des monômes de plus
haut degré. Ce résultat se généralise.
Propriété : (admise)
En +∞ ou en −∞, une fonction rationnelle a la même limite que le quotient des monômes de plus haut
degré de son numérateur et de son dénominateur.
Remarque : Attention ! Cette propriété n’est valable que pour les fonctions rationnelles et uniquement pour
l’étude des limites en l’infini.
Exercices : 36, 38 page 13111 – 75, 76 page 13212 – 80, 81 page 13313 [TransMath]
Module : TD 2 page 12514 – TD 3 page 12615 [TransMath]
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Asymptote oblique
Définition : Si f (x) = ax + b + φ (x) avec limx→+∞ φ (x) = 0, alors, la courbe Cf représentant f se rapproche
indéfiniment de la droite ∆ d’équation y = ax + b lorsque x tend vers +∞ (voir figure 10).
On dit alors que ∆ est asymptote à la courbe représentant f .
Fig. 10 – Asymptote oblique
Remarque : On a un résultat analogue en −∞ si limx→−∞ φ (x) = 0.
11 Étude
de fonctions rationnelles.
de fonction.
13 Choisir une fonction homographique.
14 Fonctions homographiques.
15 Étude complète d’une fonction.
12 Détermination
13
RÉFÉRENCES
RÉFÉRENCES
Propriété : Si limx→+∞ [f (x) − (ax + b)] = 0 (respectivement limx→−∞ [f (x) − (ax + b)] = 0) alors la droite
∆ d’équation y = ax + b est asymptote à la courbe Cf représentant f .
Remarque : Pour étudier la position de la courbe représentant f par rapport à son asymptote, il suffit d’étudier
le signe de φ (x) = f (x) − (ax + b).
Exercices : 46, 47 page 13116 – 58, 61, 62 page 13217 – 50 page 13118 – 82, 83 page 13319 – 85, 87 page 13420
– 89 page 134 et 91, 93, 95 page 13521 [TransMath]
Références
[TransMath] TransMATH 1re S, édition 2005 (Nathan)
3, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14
16 Asymptotes.
17 Études
de fonctions.
de courbes.
19 Études d’asymptotes.
20 Intersection de courbes.
21 Pour aller plus loin.
18 Choix
14