derivabilite

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Universit´ e Saad Dahlab Blida
Premi`ere Ann´ee LMD TCST
2015/2016
Module: Maths II S´erie d’Exercices no: 5
D´erivabilit´e, Fonctions usuelles &
D´eveloppements limit´es
Exercice 1:
I.Les fonctions suivantes sont-elles d´erivables en x0= 0?
a. f(x) = x
1 + |x|, b. f(x) = 
x2sin 1
xsi x6= 0
0 si x= 0
,
c. h(x) = x2ln (x) si x > 0
exp (x)−1 si x≤0.
II.Les fonctions suivantes sont-elles d´erivables en x0= 1?
a. f(x) = √x2+x−2,
b. f(x) = 3
√xsi x≤1
ax2+bx + 1 si x > 1.
III. Avec la notion de d´eriv´ee, calculer pour a, b > 0,
la limite limx→0
ax−1
x, puis la limite limx→0
ax−bx
x.
Exercice 2:
I. D´eterminer le domaine de d´erivabilit´e de f, puis cal-
culer f0sur ce domaine
1. f(x) = cos 2x2+ 1,2. f(x) = cos3(x),
3. f(x) = cos x3,4. f(x) = √x2+ 2x+ 2.
II. Soit fune fonction d´erivable sur R.
1. Trouver en fonction de f0la d´eriv´ee de
sin(f2(x)) et sin(f(x2)).
2. On suppose que f(x)6= 0 pour tout x∈R. Calculer la
d´eriv´ee de x7→ ln(|f(x)|).
Exercice 3:(` A r´esoudre en Cours):
Montrer que la fonction fd´efinie par
f(x) = 1
10 x5+ 2x2−1
admet une application r´eciproque sur [0,+∞[, puis
d´etreminer Df−1.
Calculer f(1), f´(1) puis (f−1)´( 11
12 ).
Exercice 4:
1. En utilisant le Th´eor`eme des accroissements finis, mon-
trer que pour tout x > 1:
x−1
2√x<√x−1<x−1
2.
2. En d´eduire la limite suivante:
lim
x7→1+
√x−1
x−1,
puis la limite:
lim
x7→1+√x1
x−1.
Exercice (05):
D´eterminer les limites suivantes en utilisant la r`egle de
L’Hospital :
1. limx→1x3−2x2−x+ 2
x3−4x+ 3 ,2. limx→0
1−cos (x)
x2,
3. limx→1
xx2−1
|x−1|,4. limx→0cos (2x)3
x2
5. limx→+∞
x2+ 3x+ 2
(x+ 2) ln(x+ 1) ,6. limx→0
xsin (x)
1−cos (x),
7. limx→0
ln (x+ 1)
x,8. limx→0pcos (x)−1 x.
Exercice (06):
Soit fl’application suivante:
f:R∗
+→R
x7→ f(x) = √xe
1
√x.
1. Etudier la continuit´e de fsur R∗
+.
2. Montrer que fest d´erivable sur R∗
+, puis v´erifier que
:f0(x) = f(x)g(√x),
o`u gest une fonction `a d´eterminer.
3. Dresser le tableau de variation de f, puis en d´eduire:
a. f(]0,2]) et f−1(] −1,2[).
b. fn’est pas surjective.
4. Montrer que fr´ealise une bijection de [1,+∞[ vers
un intervalle I`a d´eterminer.
5. Prouver que l’´equation f(x)−3 = 0, admet une
unique solution sur l’intervalle ] 1
4,1[.
6. Calculer f(4) et f0(4) puis en d´eduire (f−1)0(2√e).
Exercice (07):D´eterminer les domaines de d´efinition et
de d´erivabilit´e, puis calculer la d´eriv´ee des fonctions :
1. f(x) = arccos 2x
1 + x2.
2. f(x) = arctan (x+ cos (x)) .
3. f(x) = sinh (ln (x)) .
4. f(x) = argsh(2 −x).
Exercice (08):(Examen 2015/2016)
Soit fla fonction d´efinie par:
f(x) = arcsin(3x−4x3).
1. Montrer que 3x−4x3−1 = −4(x−1
2)2(x+ 1) et
3x−4x3+ 1 = 4(x+1
2)2(1 −x).
2. Trouver Df, le domaine de d´efinition de f.
3. En supposant fd´erivable sur Df−{±1,±1
2}, calculer
la fonction d´eriv´ee f0(x).
4. Montrer que sur ] −1
2,1 2[, la fonction g(x) =
f(x)−3 arcsin(x) est une fonction constante, puis
d´eterminer sa valeur.
Exercice (09): Trouver DLn(f)(0) dans les cas suiv-
ants:
1/ f(x) = 1 + exp x−sin x+chx +1
1−xavec(n= 3)
2/ f(x) = √1 + x+√1−xavec(n= 4)
3/ f(x) = cos xln(1 + x) avec (n= 3)
4/ f(x) = (1 + x2) exp x+x√1 + x2avec(n= 4)
5/ f(x) = 1+x+x3
2+sin xavec (n= 4)
6/ f(x) = exp(sin x) avec (n= 4)
7/ f(x) = exp(cos x) avec (n= 4)

2
8/ f(x) = arcsin x
√1−x2avec (n= 5)
Donner DLn(f)(x0) pour les fonctions suivantes:
1/ f(x) = √xavec x0= 2, n = 3; 2/ f(x) = ln(sin x)
avec x0=π
2, n = 3
3/ f(x) = (1 + cos x)1
xavec x0=π
2, n = 3.
Trouver le d´eveloppement limit´e au voisinage de l’infini
des fonctions suivantes:
1/ f(x) = ln(x+√1 + x2)−ln xau v(+∞) et n= 4.
2/ f(x) = √x+2
√xau v(+∞) et n= 3.
3/ f(x) = √x2−1−√x2−xau v(±∞) et n= 3.
4/ f(x)=(x3−x2+x
2) exp( 1 x)−√x6+ 1 au v(+∞) et
n= 3.
Exercice (10):
Soit la fonction fd´efinie pour tout x∈Rpar:
f(x) = p1 + x+x2
1/ D´eterminer le d´eveloppement limit´e de f`a l’ordre 2
au voisinage de 0.
2/ En d´eduire l’´equation de la tangente au point
d’abscisse x= 0 ainsi que sa position par rapport `a la
courbe de f.
3/ D´eterminer une ´equation de l’asymptote au
v(+∞),ainsi que la position de cette asymptote par
rapport `a la courbe de f.
Exercice (11):
Soient a∈Ret fla fonction ind´efiniment d´erivable au
point 0 d´efinie par:
f(x) = ln 1 + asin x+ ( a2
2+ 1)x2
1/ Montrer que fadmet un d´eveloppement limit´e au
voisinage de 0 `a l’ordre 3 qui s’´ecrit:
ax +x2−(a3+ 7a)x3
6+◦(x3)
2/ En d´eduire les valeurs de f(0), f 0(0), f 00 (0) et f(3)(0).
3/ Quelle est l’´equation de la tangente `a la courbe Γ de f?
Exercice(12) Soient a∈Ret fla fonction ind´efiniment
d´erivable au point 0 et admettant le d´eveloppement
limit´e:
f(x) = (3 −4a) + (a2−2a)x+ (a3−7a)x2
2−ax3+o(x3).
1. Trouver la valeur de a, v´erifiant les deux conditions:
f(0) = f(1)(0) et f(2)(0) = f(3)(0).
2. Pour a= 1, d´eterminer le d´eveloppement limit´e de la
fonction g(x) = fo(sin(x)) `a l’ordre 3, dans un voisinage
de 0.
3. En d´eduire les valeurs suivantes:
g(3)(0) ; lim
x7→0
g(x) + 1
x.
Exercice(13) Soient les fonctions fet gd´efinies par:
f(x) = 1
1 + ln(x+ cos(x)) ;g(x) = 1 + x2+x3 1 + x.
1. Donner les d´eveloppements limit´es `a l’ordre 3 de fet
g, dans un voisinage de 0.
2. D´eterminer l’´equation de la tangente au graphe de f
au point d’abscisse 0, puis pr´eciser la position du graphe
par rapport `a cette droite.
3. Trouver selon les valeurs de n∈N, la limite suivante:
lim
x→0
f(x)−g(x)
xn.
Exercice(14).Soit pour α∈R, la fonction f(x) d´efinie
par:
f(x) = (x2+α) ln2 + sin(x).
1. Montrer que fadmet un d´eveloppement limit´e dans
un voisinage de 0.
2. Donner en fonction de α, le d´eveloppement limit´e de
f, `a l’ordre 3, dans un voisinage de 0.
3. D´eterminer l’´equation de la tangente au graphe de f
au point d’abscisse 0, puis pr´eciser la position du graphe
par rapport `a cette droite.
4. Pour quelle valeur de αon a: f(2)(0) = ln(4)?
Exercice (15):
En utilisant les d´eveloppements limit´es, calculer les lim-
ites:
1/ lim
x→0
1−cos x
tg2x2/ lim
x→→0
(1−exp(x)) sin x
x2+x33/ lim
x→0
arcsin x−x
x−sin x
4/ lim
x→01
sin2x−1 x25/ lim
x→0
sin(tg x)+sin x−2x
(sin x)5.
Exercices suppl´ementaires
Exercice 16:
1. A l’aide du th´eor`eme des accroissements finis montrer
que:
∀x > 0,1
x+ 1 <ln(x+ 1) −ln (x)<1 x
2. Trouver les limites de
limx→+∞√x(ln(x+ 1) −ln (x))
limx→+∞x(ln(x+ 1) −ln (x))
3. En d´eduire que limx→+∞1 + 1
xx
=e, puis calculer
limx→+∞1−1
xx
.
Exercice (17):
Montrer les in´egalit´es suivantes:
a). ∀x > 0, x + 1 <exp(x)< x exp(x) + 1.
b). ∀x > y > 0,x−y
x<ln( x y)<x−y y.
Exercice (18):
Calculer les limites suivantes:
1).lim
x7→0
sin2(x)
1−exp(x),; 2).lim
x7→1+ ln(x) ln(x−1).
3).lim
x7→01
xtan(x),; 4).lim
x7→1x
x−1−1 ln(x).