Corrigé

Aix-Marseille Universit´ e-
Analyse 1
CORRIG´ E DU PARTIEL 2DU VENDREDI 21 MARS 2014
Exercice 1
1. D´ eterminer, si elle existe la limite en 0de la fonction
x7→ √1 + x−√1−x
x.
En multipliant et divisant par l’expression conjugu´ ee du num´ erateur, on a pour tout x6= 0,
√1 + x−√1−x
x=(√1 + x−√1−x)(√1 + x+√1−x)
x(√1 + x+√1−x)=2
√1 + x+√1−x
Par continuit´ e de la fonction racine sur [0,+∞[et les op´ erations usuelles sur les limites, le d´ enominateur
tend vers 2. Donc le quotient tend vers 2
2= 1 quand xtend vers 0.
2. Pour deux entiers n≥0et m≥0, d´ eterminer, si elle existe la limite en 0de la fonction
x7→ √1 + xm−√1−xm
xn.
On discutera suivant les valeurs de met n.
On proc` ede comme ` a la question 1) (qui traitait le cas particulier m=n= 1) : on a pour tout x6= 0,
√1 + xm−√1−xm
xn=(√1 + xm−√1−xm)(√1 + xm+√1−xm)
xn(√1 + xm+√1−xm)=2xm−n (√1 + xm+√1−xm).
(√1 + xm+√1−xm)tend vers 2quand xtend vers 0.
— Si m=n, alors xm−n= 1, donc la fonction tend vers 2
2= 1 en 0;
— Si m>n, alors limx→0xm−n= 0 et donc la fonction tend vers 0en 0;
— Si m<n, alors limx→0+xn−m= +∞et limx→0−xn−m=−∞. Donc la fonction admet une limite
`
a droite en 0´ egale ` a+∞et une limite ` a gauche ´ egale ` a−∞. Les limites ` a droite et ` a gauche en 0´ etant
distinctes, la fonction n’admet pas de limite en 0.
Exercice 2 On consid` ere la fonction f:R\ {−1,+1} → Rd´ efinie par :
f(x) = 1
1−x−2 1−x2
La fonction fse prolonge-t-elle par continuit´ e en −1et en +1 ?
On met au mˆ eme d´ enominateur 1−x2= (1 −x)(1 + x):
f(x) = 1 + x
1−x2−2 1−x2=x−1 (1 −x)(1 + x)=−1 1 + x
La limite en 1de fest −1
2car le d´
enominateur tend vers 2(limite d’un quotient). Donc fse prolonge par continuit´ e
en 1en posant f(1) = −1
2.
Puisque limx→−1+(1 + x)=0+, alors la limite ` a droite de fen −1est ´ egale ` a+∞. Donc fn’admet pas de
limite finie en −1, ce qui signifie que fne se prolonge pas par continuit´ e en −1.
Exercice 3
Aix-Marseille Universit´ e,L1, 2013 – 2014 1Analyse I

1. Soit f:R\ {0} → Ret g:R\ {0} → Rdeux fonctions telles que fadmette 0comme limite en 0et g
soit born´ ee.
(a) Donner la d´ efinition d’une fonction ayant 0comme limite en 0.
La fonction f:R\ {0} → Ra pour limite 0en 0si
∀ > 0,∃η > 0,∀x∈R\ {0},(|x|< η ⇒ |f(x)|< ).(∗)
(b) Donner la d´ efinition d’une fonction born´ ee.
La fonction g:R\ {0} → Rest born´ ee si :
∃M≥0,∀x∈R\ {0},|g(x)| ≤ M.
(c) Montrer que la fonction h:R\ {0} → Rd´ efinie pour x∈R\ {0}par h(x) = f(x)g(x)admet 0
comme limite en 0.
Soit Mtel que ∀x∈R\{0},|g(x)| ≤ M. Fixons  > 0quelconque et soit η > 0associ´ e` a
Mdans la
relation (∗)ci-dessus.
Alors pour tout x∈R\ {0}tel que |x| ≤ η,
|h(x)|=|f(x)||g(x)| ≤ 
MM=.
Finalement, ceci ´ etant valable pour tout  > 0, on a montr´ e :
∀ > 0,∃η > 0,∀x∈R\ {0},(|x|< η ⇒ |h(x)|< ),
ce qui signifie que ha pour limite 0en 0.
Autre solution : en utilisant le th´ eor` eme des gendarmes : pour tout x∈R\ {0},
0≤ |h(x)|=|f(x)||g(x)|≤|f(x)|M,
or limx→0|f(x)|M= 0, donc limx→0h(x)=0.
2. (a) Donner la d´ efinition d’une fonction continue en x0∈R, puis celle d’une fonction continue sur R.
Soit f:R→Rune fonction et soit x0∈R. On dit que fest continue en x0si fa pour limite f(x0)
en x0, c’est-` a-dire :
∀ > 0,∃η > 0,∀x∈R,(|x−x0| ≤ η⇒ |f(x)−f(x0)| ≤ ).
La fonction fest continue sur Rsi fest continue en tout point de R.
(b) En quels points de Rla fonction h1:R→Rd´ efinie par h1(x) := sin(x) sin 1
xsi x6= 0 et h1(0) = 0
est-elle continue ?
La fonction x7→ sin 1
xest continue sur R\ {0}comme compos´
ee des fonctions sin et x→1/x qui
sont continues sur Ret R\ {0}respectivement. Donc la fonction h1est continue sur R\ {0}comme
produit de fonctions continues sur cet ensemble.
Examinons ` a pr´ esent la continuit´ e en 0. La fonction sin ´ etant continue en 0, on a limx→0sin(x) =
sin(0) = 0.
D’autre part, pour tout x∈R\ {0},
−1≤sin 1
x≤1,
donc la fonction x→sin( 1
x)est born´
ee sur R\ {0}.
En appliquant le r´ esultat de la question 1 (c), on en d´ eduit que limx→0h1(x) = 0 = h1(0). Donc h1
est continue en 0
Aix-Marseille Universit´ e,L1, 2013 – 2014 2Analyse I

(c) En quels points de Rla fonction h2:R→Rd´ efinie par h2(x) = sin 1
xsi x6= 0 et par h2(0) = 0
est-elle continue ?
la fonction h2est continue sur R\ {0}comme compos´ ee de fonctions continues.
Examinons ` a pr´ esent la continuit´ e en 0. La suite (xn)n∈Nd´ efinie par
xn=1
π
2+ 2nπ
converge vers 0.
Si la fonction h2´ etait continue en 0, la suite (h2(xn)) convergerait vers h2(0) = 0 (caract´ erisation
s´ equentielle de la continuit´ e).
Or pour tout n,h2(xn) = sin(π
2+ 2nπ)=1, donc la suite (h2(xn)) converge vers 1.
Conclusion : la fonction h2n’est pas continue en 0.
Exercice 4 Montrer que le polynˆ ome P(x) = x2014 + 5x17 −1admet une racine dans l’intervalle ]0,1[.
La fonction polynomiale Pest continue sur l’intervalle [0,1]. De plus, P(0) = −1<0et P(1) = 5 >0. Puisque
0∈]P(0), P (1)[, d’apr` es le th´ eor` eme des valeurs interm´ ediaires, il existe a∈]0,1[ tel que P(a)=0.
Exercice 5 Soit f: [0,+∞[→Rune fonction continue.
1. Soit a > 0. Quelle est la forme de l’ensemble image f([0, a]) ?
L’image d’un segment (intervalle ferm´ e born´ e) par une fonction continue est un segment. Donc f([0, a])
est un segment.
2. On suppose que fadmet une limite finie en +∞. D´ emontrer que fest born´ ee sur [0,+∞[.
Fixons  > 0et soit `la limite de fen +∞. Il existe A > 0, tel que ∀x≥A, |f(x)−`| ≤ . Fixons un tel
A. Alors pour tout x≥A,
−<f(x)−` < ,
c’est-` a-dire
`−<f(x)< ` +.
D’autre part, f([0, A]) est un segment [m, M ]. Posons α= min(`−, m)et β= max(`+, M). Alors
∀x∈[0,+∞[, α ≤f(x)≤β.
Donc fest born´ ee sur [0,+∞[.
3. fatteint-elle n´ ecessairement ses bornes ?
Ben non !
Prenez par exemple f(x) = −1
x+1 + 2. On a limx→+∞f(x) = 2 et fest strictement croissante sur R+,
donc f([0,+∞[) = [f(0),2[= [1,2[. Donc fn’atteint pas sa borne sup´ erieure 2.
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