TS Probabilités BAC

PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
TS
Type BAC
1 (Métropole 2012)
Pour embaucher ses cadres une entreprise fait appel à un cabinet de recrutement. La procédure retenue est
la suivante. Le cabinet effectue une première sélection de candidats sur dossier. 40 % des dossiers reçus sont
validés et transmis à l’entreprise. Les candidats ainsi sélectionnés passent un premier entretien à l’issue duquel
70 % d’entre eux sont retenus. Ces derniers sont convoqués à un ultime entretien avec le directeur des ressources
humaines qui recrutera 25 % des candidats rencontrés.
1. On choisit au hasard le dossier d’un candidat.
On considère les évènements suivants :
r D : « Le candidat est retenu sur dossier »,
r E : « Le candidat est retenu à l’issue du premier entretien »,
1
r E : « Le candidat est recruté ».
2
a. Reproduire et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.
...
...
...
E2
...
E2
E1
D
...
...
E1
D
b. Calculer la probabilité de l’évènement E1 .
c. On note F l’évènement « Le candidat n’est pas recruté ».
Démontrer que la probabilité de l’évènement F est égale à 0, 93.
2. Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans cette entreprise. Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres. On admet que la probabilité que chacun d’eux soit recruté est égale à
0, 07.
On désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats.
a. Justifier que X suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
b. Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. On arrondira à 10−3 .
3. Quel est le nombre minimum de dossiers que le cabinet de recrutement doit traiter pour que la probabilité
d’embaucher au moins un candidat soit supérieure à 0, 999 ?
2 (Nouvelle-Calédonie novembre 2009)
Dans un zoo, l’unique activité d’un manchot est l’utilisation d’un bassin aquatique équipé d’un toboggan et
d’un plongeoir. On a observé que si un manchot choisit le toboggan, la probabilité qu’il le reprenne est 0, 3.
Si un manchot choisit le plongeoir, la probabilité qu’il le reprenne est 0, 8. Lors du premier passage les deux
équipements ont la même probabilité d’être choisis.
Pour tout entier naturel n non nul, on considère l’évènement :
r T : « le manchot utilise le toboggan lors de son n-ième passage. »
n
r P : « le manchot utilise le plongeoir lors de son n-ième passage. »
n
On considère alors la suite (un ) définie pour tout entier naturel n > 1 par : un = p (Tn )
où p (Tn ) est la probabilité de l’évènement Tn .
1. a. Donner les valeurs des probabilités p (T1 ) , p (P1 ) et des probabilités conditionnelles pT1 (T2 ) , pP1 (T2 ).
1
b. Montrer que p (T2 ) = .
4
c. Recopier et compléter l’arbre suivant :
un
...
...
Tn+1
...
Pn+1
...
Tn+1
...
Pn+1
Tn
Pn
d. Démontrer que pour tout entier n > 1, un+1 = 0, 1un + 0, 2.
e. A l’aide de la calculatrice, émettre une conjecture concernant la limite de la suite (un ).
2
2. On considère la suite (vn ) définie pour tout entier naturel n > 1 par vn = un − .
9
1
. Préciser son premier terme.
a. Démontrer que la suite (vn ) est géométrique de raison
10
b. Exprimer vn en fonction de n. En déduire l’expression de un en fonction de n.
c. Calculer la limite de la suite (un ). Ce résultat permet-il de valider la conjecture émise en 1. e. ?
3 (Nouvelle-Calédonie mars 2009)
Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre plusieurs cibles. La probabilité que
1
3
la première cible soit atteinte est . Lorsqu’une cible est atteinte, la probabilité que la suivante le soit est .
2
4
1
Lorsqu’une cible n’est pas atteinte, la probabilité que la suivante soit atteinte est .
2
On note, pour tout entier naturel n non nul :
r A l’évènement : « la n-ième cible est atteinte ».
n
r A l’évènement : « la n-ième cible n’est pas atteinte ».
n
r a la probabilité de l’évènement A
n
n
r b la probabilité de l’évènement A .
n
n
1. Donner a1 et b1 . Calculer a2 et b2 . On pourra utiliser un arbre pondéré.
1
1
1
3
2. Montrer que, pour tout entier naturel n > 1, an+1 = an + bn puis an+1 = an + .
4
2
4
2
2
3. Soit (un ) la suite définie pour tout entier naturel n non nul, par un = an − .
3
a. Montrer que la suite un est une suite géométrique. Préciser la raison et le premier terme u1 .
b. En déduire l’expression de un en fonction de n, puis l’expression de an en fonction de n.
c. Déterminer la limite de la suite (an ).
d. Déterminer le plus petit entier naturel n tel que : an > 0,666 5.
4 (Pondichéry 2011)
Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme indiqué sur
la figure ci-dessous.
5 points
0 point
0 point
3 points
On suppose que les lancers sont indépendants et que le joueur touche la cible à tous les coups.
1. Le joueur lance une fléchette.
On note p0 la probabilité d’obtenir 0 point.
On note p3 la probabilité d’obtenir 3 points.
On note p5 la probabilité d’obtenir 5 points.
1
1
On a donc p0 + p3 + p5 = 1. Sachant que p5 = p3 et que p5 = p0 déterminer les valeurs de p0 , p3 et p5 .
2
3
2. Une partie de ce jeu consiste à lancer trois fléchettes au maximum. Le joueur gagne la partie s’il obtient un
total (pour les 3 lancers) supérieur ou égal à 8 points. Si au bout de 2 lancers, il a un total supérieur ou égal
à 8 points, il ne lance pas la troisième fléchette.
On note G2 l’évènement : « le joueur gagne la partie en 2 lancers ».
On note G3 l’évènement : « le joueur gagne la partie en 3 lancers ».
On note P l’évènement : « le joueur perd la partie ».
a. Montrer, en utilisant un arbre pondéré, que p (G2 ) =
On admettra dans la suite que p (G3 ) =
7
36
5
.
36
b. En déduire p(P).
3. Un joueur joue six parties avec les régles données à la question 2.
Quelle est la probabilité qu’il gagne au moins une partie ?
4. Pour une partie, la mise est fixée à 2 e.
Si le joueur gagne en deux lancers, il reçoit 5 e. S’il gagne en trois lancers, il reçoit 3 e. S’il perd, il ne reçoit
rien.
On note X la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur pour une partie.
a. Donner la loi de probabilité de X.
b. Déterminer l’espérance mathématique de X. Le jeu est-il favorable au joueur ?