Enoncé et corrigé pdf

Pondichéry 2011. Enseignement spécifique
EXERCICE 3 (5 points) (commun à tous les candidats)
Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme indiqué sur
la figure ci-dessous.
5 points
0 point
0 point
3 points
On suppose que les lancers sont indépendants et que le joueur touche la cible à tous les coups.
1) Le joueur lance une fléchette.
On note p0 la probabilité d’obtenir 0 point.
On note p3 la probabilité d’obtenir 3 points.
On note p5 la probabilité d’obtenir 5 points.
1
1
p3 et que p5 = p0 , déterminer les valeurs de p0 , p3 et p5 .
2
3
2) Une partie de ce jeu consiste à lancer trois fléchettes au maximum. Le joueur gagne la partie s’il obtient
un total (pour les 3 lancers) supérieur ou égal à 8 points. Si au bout de 2 lancers, il a un total supérieur ou égal
à 8 points, il ne lance pas la troisième fléchette.
On a donc p0 + p3 + p5 = 1. Sachant que p5 =
On
On
On
On
note
note
note
note
G2 l’événement : « le joueur gagne la partie en 2 lancers ».
G3 l’événement : « le joueur gagne la partie en 3 lancers ».
P l’événement : « le joueur perd la partie ».
p(A) la probabilité d’un événement A.
5
a) Montrer, en utilisant un arbre pondéré, que p(G2 ) =
.
36
7
.
On admettra dans la suite que p(G3 ) =
36
b) En déduire p(P).
3) Un joueur joue six parties avec les règles données à la question 2.
Quelle est la probabilité qu’il gagne au moins une partie ?
4) Pour une partie, la mise est fixée à 2 ¤.
Si le joueur gagne en deux lancers, il reçoit 5 ¤. S’il gagne en trois lancers, il reçoit 3 ¤.
S’il perd, il ne reçoit rien.
On note X la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur pour une partie.
Les valeurs possibles pour X sont donc : −2, 1 et 3.
a) Donner la loi de probabilité de X.
b) Déterminer l’espérance mathématique de X. Le jeu est-il favorable au joueur ?
http ://www.maths-france.fr
1
c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.
⃝
Pondichéry 2011. Enseignement spécifique
EXERCICE 3 : corrigé
1) On a p5 =
2
1
p0 puis p3 = 2p5 = p0 .
3
3 !
L’égalité p0 + p3 + p5 = 1 fournit alors
1+
2 1
+
3 3
p0 =
"
1
1
1
, p3 = et p5 = .
2
3
6
p0 = 1 puis p0 =
1
1
1
, p3 = et p5 = .
2
3
6
2) a) Représentons la situation par un arbre.
1/
2
0
1/3
3
6
1/
5
0
Total : 0 point
3
Total : 3 points
5
0
Total : 5 points
Total : 3 points
3
Total : 6 points
5
0
Total : 8 points
Total : 5 points
3
Total : 8 points
5
Total : 10 points
Les événements amenant au gain de la partie en deux lancers sont (3 points, 5 points), (5points, 3 points) et (5 points, 5 points).
1 1
1
1 1
1
1 1
1
Leurs probabilités respectives sont × =
et × =
et × =
. Donc
3 6
18
6 3
18
6 6
36
p(G2 ) =
1
1
5
1
+
+
=
.
18 18 36
36
p(G2 ) =
5
.
36
b) D’après la formule des probabilités totales, la probabilité que le joueur gagne la partie est
p(G) = p(G2 ) + p(G3 ) =
et donc p(P) = 1 − p(G) = 1 −
7
12
1
5
+
=
=
36 36
36
3
1
2
= .
3
3
p(P) =
2
.
3
3) Notons Y le nombre de fois que l’événement P est réalisé. La variable aléatoire Y est régie par un schéma de
Bernoulli. En effet,
• 6 expériences identiques et indépendantes sont effectuées ;
2
• chaque expérience a deux issues : « l’événement P est réalisé » avec une probabilité p = ou « l’événement P est
3
1
réalisé » avec une probabilité 1 − p = .
3
2
La variable aléatoire Y suit donc une loi binomiale de paramètres n = 6 et p = .
3
La probabilité que le joueur gagne au moins une partie est p(Y ! 5). Or
p(Y ! 5) = 1 − p(Y = 6) = 1 −
http ://www.maths-france.fr
! "6
! " ! "6 ! "0
1
665
2
6
2
=1−
=
.
3
3
3
729
6
1
c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.
⃝
La probabilité que le joueur gagne au moins une partie est
665
ou encore 0, 91 à 10−2 près.
729
4) a) Loi de probabilité de X.
7
5
2
D’après les questions précédentes, p(X = −2) = p(P) = puis p(X = 1) = p(G3 ) =
et p(X = 3) = p(G2 ) =
.
3
36
36
Résumons ces résultats dans un tableau.
b) L’espérance de X est E(X) =
Valeurs prises par X : xi
−2
1
3
p(X = xi )
2
3
7
36
5
36
2
7
5
4 22
24 11
13
× (−2) +
×1+
×3=− +
=− +
=− .
3
36
36
3 36
18 18
18
E(X) = −
13
.
18
Puisque E(X) < 0, le jeu est défavorable au joueur.
http ://www.maths-france.fr
2
c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.
⃝