Enoncé et corrigé pdf

Pondichéry 2011. Enseignement spécifique
EXERCICE 3 (5 points) (commun à tous les candidats)
Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme indiqué sur
la figure ci-dessous.
5points
0point0point
3points
On suppose que les lancers sont indépendants et que le joueur touche la cible à tous les coups.
1) Le joueur lance une fléchette.
On note p0la probabilité d’obtenir 0 point.
On note p3la probabilité d’obtenir 3 points.
On note p5la probabilité d’obtenir 5 points.
On a donc p0+p3+p5=1.Sachantquep5=1
2p3et que p5=1 3p0,déterminerlesvaleursdep0,p3et p5.
2) Une partie de ce jeu consiste à lancer trois fléchettes au maximum. Le joueur gagne la partie s’il obtient
un total (pour les 3 lancers) supérieur ou égal à 8 points. Si auboutde2lancers,ilauntotalsupérieurouégal
à8points,ilnelancepaslatroisièmefléchette.
On note G2l’événement : « le joueur gagne la partie en 2 lancers ».
On note G3l’événement : « le joueur gagne la partie en 3 lancers ».
On note Pl’événement : « le joueur perd la partie ».
On note p(A)la probabilité d’un événement A.
a) Montrer, en utilisant un arbre pondéré, que p(G2)= 5
36 .
On admettra dans la suite que p(G3)= 7
36 .
b) En déduire p(P).
3) Un joueur joue six parties avec les règles données à la question 2.
Quelle est la probabilité qu’il gagne au moins une partie ?
4) Pour une partie, la mise est fixée à 2¤.
Si le joueur gagne en deux lancers, il reçoit 5¤.S’ilgagneentroislancers,ilreçoit3¤.
S’il perd, il ne reçoit rien.
On note Xla variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur pour une partie.
Les valeurs possibles pour Xsont donc : −2,1et 3.
a) Donner la loi de probabilité de X.
b) Déterminer l’espérance mathématique de X.Lejeuest-ilfavorableaujoueur?
http ://www.maths-france.fr 1 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

Pondichéry 2011. Enseignement spécifique
EXERCICE 3 : corrigé
1) On a p5=1
3p0puis p3=2p5=2 3p0.
L’égalité p0+p3+p5=1fournit alors !1+2
3+1 3"p0=1puis p0=1 2,p3=1 3et p5=1 6.
p0=1
2,p3=1 3et p5=1 6.
2) a) Représentons la situation par un arbre.
0
3
5
0
3
5
0
3
5
0
3
5
1/2
1/3
1/6
Total : 0 point
Total : 3 points
Total : 5 points
Total : 3 points
Total : 6 points
Total : 8 points
Total : 5 points
Total : 8 points
Total : 10 points
Les événements amenant au gain de la partie en deux lancers sont (3points,5points),(5points,3points)et (5points,5points).
Leurs probabilités respectives sont 1
3×1 6=1 18 et 1 6×1 3=1 18 et 1 6×1 6=1 36 .Donc
p(G2)= 1
18 +1 18 +1 36 =5 36 .
p(G2)= 5
36 .
b) D’après la formule des probabilités totales, la probabilitéquelejoueurgagnelapartieest
p(G)=p(G2)+p(G3)= 5
36 +7 36 =12 36 =1 3
et donc p(P)=1−p(G)=1−1
3=2 3.
p(P)=2
3.
3) Notons Yle nombre de fois que l’événement Pest réalisé. La variable aléatoire Yest régie par un schéma de
Bernoulli.Eneffet,
•6expériences identiques et indépendantes sont effectuées ;
•chaque expérience a deux issues : « l’événement Pest réalisé » avec une probabilité p=2
3ou « l’événement Pest
réalisé » avec une probabilité 1−p=1
3.
La variable aléatoire Ysuit donc une loi binomiale de paramètres n=6et p=2
3.
La probabilité que le joueur gagne au moins une partie est p(Y!5).Or
p(Y!5)=1−p(Y=6)=1−!6
6"!2
3"6!1 3"0
=1−!2
3"6
=665
729 .
http ://www.maths-france.fr 1 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

La probabilité que le joueur gagne au moins une partie est 665
729 ou encore 0, 91 à10−2près.
4) a) Loi de probabilité de X.
D’après les questions précédentes, p(X=−2)=p(P)= 2
3puis p(X=1)=p(G3)= 7 36 et p(X=3)=p(G2)= 5 36 .
Résumons ces résultats dans un tableau.
Valeurs prises par X:xi−2 1 3
p(X=xi)2
3
7
36
5
36
b) L’espérance de Xest E(X)= 2
3×(−2)+ 7 36 ×1+5 36 ×3=−
4
3+22 36 =−
24
18 +11 18 =−
13
18 .
E(X)=−
13
18 .
Puisque E(X)<0,lejeuestdéfavorableaujoueur.
http ://www.maths-france.fr 2 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.