TERMINALE S - Spécialité Chapitre 2 : Partie 2/3

TERMINALE S - Spécialité
Chapitre 2 : Partie 2/3
Théorème de Bézout
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1. Propriété
Soit a et b deux entiers relatifs non tous les deux nuls et d = PGCD (a, b), alors il existe u et v
entiers relatifs tels que au + bv = d.
De plus, l’ensemble des entiers au + bv (u et v entiers relatifs) est l’ensemble des multiples de d.
Démonstration :
De a= bq0+ r0, on tire
r0 = a- bq0= au0 + bv0 avec u0= 1, v0= - q0 qui sont des entiers.
De b = r0q1 + r1, on tire r1 = b- r0q1 d'où r1 = b- (au0 + bv0)q1 qui est de la forme au1 + bv1 avec u1 =
-u0q1 et v1 = 1 - v0q1 entiers.
pas à pas, on exprime chaque reste comme combinaison linéaire entière de a et b jusqu'à rk, c’est-àdire PGCD(a,b)
Réciproquement : Soit n = au+ bv où u et vsont deux entiers relatifs. Comme d divise a et b, d
divise au + bv = n. Toute combinaison linéaire entière de a et b est multiple de d.
Réciproquement, si n est un multiple de d, il existe un entier k tel que n= kd. Or il existe u et
ventiers tels que d = au + bv. Donc kd= aku+ bkv, c'est-à-dire n = aU + bV avec U = ku et V = kv
entiers. Tout multiple de d peut s'écrire comme combinaison linéaire entière de a et b.
2. Théorème de Bézout
Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe des entiers relatifs u et
v tels que au + bv = 1
Démonstration :
Si a et b sont premiers entre eux, d = 1 donc, par la propriété précédente, il existe u et v entiers tels
que au + bv = 1 .
• Réciproquement, s’i| existe u et v tels que au+ bv = 1 , un diviseur d commun à a et b divise au+
bv donc 1. Par suite d = 1 ou -1 et a et b sont donc premiers entre eux.
3. Exemple
A = 4 et b = 9 sont premiers entre eux. En effet on peut écrire:
4  (-2) + 9  1 = 1 ou 4  7 – 9  3 = 1 ou …
Les couples (-2, 1) ; (7, -3) et … sont tous des couples (u, v) vérifiant l’égalité au+ bv = 1.
4. Remarques
Il n’y a pas unicité du couple (u, v) tel que au + bv = l lorsque a et b sont premiers entre eux.
Pour tout entier n, (n + l)  1 – n  1 = 1donc deux entiers consécutifs n et n + l sont toujours
premiers entre eux.
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5. Méthode de détermination des nombres u et v
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Directement dans certains cas simples.
Avec l’algorithme d’Euclide dans les autres cas. On exprime pas à pas chacun des restes
comme combinaisons linéaires de a et de b, jusqu’au dernier reste non nul qui est
PGCD(a,b).
Si a et b sont premiers entre eux, on aura alors écrit l comme une combinaison linéaire de la
forme au + bv.
Ce procédé permet d’exprimer PGCD (a, b) comme combinaison linéaire de a et b, que a et b
soient premiers entre eux ou non.
Exemples :
E1 : trouver des nombres u et v tels que 7u + 17v = 1
a =7 et b = 17. On peut remarquer que 5  7 = 35 et 2  17 = 34 et 35 – 34 = 1 alors 5  7 + (-2) 
17 = 1
Le couple (u, v) = (5, -2) convient.
E2 : trouver des nombres u et v tels que 71u + 19v = 1
a
71
19
14
5
4
b
19
14
5
4
1
q
3
1
2
1
4
r
14
5
4
1
0
Donc
71 = 19  3 + 14
19 = 14  1 + 5
14 = 5  2 + 4
5=41+1
4=14+0
L1 : 14 = 71 – 19  3
L2 : 5 = 19 – 14  1
L3 : 4 = 14 – 5  2
L4 : 1 = 5 – 4  1
Donc PGCD(71,19) = 1
De L4, 1 = 5 – 4  1
De L3, 4 = 14 – 5  2 donc 1 = 5 – (14 – 5  2 )  1 = -14 + 5  3
De L2, 5 = 19 – 14  1 donc 1 = -14 + (19 – 14  1)  3 = 19  3 – 4  14
De L1, 14 = 71 – 19  3 donc 1 = 19  3 – 4  (71 – 19  3) = 19  15 – 4  71
Conclusion : 71u + 19v = 1 avec u = -4 et v = 15
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E2 : trouver des nombres u et v tels que 145u + 55v = 5
a
b q r
PGCD
=
Donc
d'où
145 55 2 35 145 = 55 x 2 + 35
L1
35 =
145 - 55 x 2
55 35 1 20 55 = 35 x 1 + 20
L2
20 =
55 - 35 x 1
35 20 1 15 35 = 20 x 1 + 15
L3
15 =
35 - 20 x 1
20 15 1 5
20 = 15 x 1 + 5
L4
5 =
20 - 15 x 1
15
15 = 5 x 3 + 0
L5
0 =
15 -
5 3 0
5 x 3
5
5
Donc PGCD = 5
De L4, 5 = 20 – 15  1
De L3, 15 = 35 – 20  1 donc 5 = 20 – (35 – 20  1) 1 = -35 + 20  2
De L2, 20 = 55 – 35  1
donc 5 = 20 – (35 – 20  1) 1 = -35 + 20  2 = -35 + (55 – 35  1 )  2 = 55  2 – 35  3
De L1, 35 = 145 – 55  2 donc
5 = 20 – (35 – 20  1) 1 = -35 + 20  2 = -35 + (55 – 35  1 )  2 = 55  2 – 35  3 =
55  2 – (145 – 55  2)  3 = - 145  3 + 55  8 = 145  (-)3 + 55  8
Conclusion : 145u + 55v = 5 avec u = -3 et v = 8
BONUS :
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