TERMINALE S - Spécialité
Chapitre 2 : Partie 2/3
Théorème de Bézout
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chap2bezout 1/3
1. Propriété
Soit a et b deux entiers relatifs non tous les deux nuls et d = PGCD (a, b), alors il existe u et v
entiers relatifs tels que au + bv = d.
De plus, l’ensemble des entiers au + bv (u et v entiers relatifs) est l’ensemble des multiples de d.
Démonstration :
De a= bq0+ r0, on tire
r0 = a- bq0= au0 + bv0 avec u0= 1, v0= - q0 qui sont des entiers.
De b = r0q1 + r1, on tire r1 = b- r0q1 d'où r1 = b- (au0 + bv0)q1 qui est de la forme au1 + bv1 avec u1 =
-u0q1 et v1 = 1 - v0q1 entiers.
pas à pas, on exprime chaque reste comme combinaison linéaire entière de a et b jusqu'à rk, c’est-à-
dire PGCD(a,b)
Réciproquement : Soit n = au+ bv où u et vsont deux entiers relatifs. Comme d divise a et b, d
divise au + bv = n. Toute combinaison linéaire entière de a et b est multiple de d.
Réciproquement, si n est un multiple de d, il existe un entier k tel que n= kd. Or il existe u et
ventiers tels que d = au + bv. Donc kd= aku+ bkv, c'est-à-dire n = aU + bV avec U = ku et V = kv
entiers. Tout multiple de d peut s'écrire comme combinaison linéaire entière de a et b.
2. Théorème de Bézout
Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe des entiers relatifs u et
v tels que au + bv = 1
Démonstration :
Si a et b sont premiers entre eux, d = 1 donc, par la propriété précédente, il existe u et v entiers tels
que au + bv = 1 .
• Réciproquement, s’i| existe u et v tels que au+ bv = 1 , un diviseur d commun à a et b divise au+
bv donc 1. Par suite d = 1 ou -1 et a et b sont donc premiers entre eux.
3. Exemple
A = 4 et b = 9 sont premiers entre eux. En effet on peut écrire:
4 (-2) + 9 1 = 1 ou 4 7 – 9 3 = 1 ou …
Les couples (-2, 1) ; (7, -3) et … sont tous des couples (u, v) vérifiant l’égalité au+ bv = 1.
4. Remarques
Il n’y a pas unicité du couple (u, v) tel que au + bv = l lorsque a et b sont premiers entre eux.
Pour tout entier n, (n + l) 1 – n 1 = 1donc deux entiers consécutifs n et n + l sont toujours
premiers entre eux.