TaleS – Mathématiques (enseignement de spécialité) DS n°3

TaleS – Mathématiques (enseignement de spécialité)
DS n°3: « Divisibilité, division euclidienne, pgcd »
Le 18/10/2007
CORRECTION
Exercice 1 (3 pts)
Démontrer que pour tout entier naturel non nul n, le fraction
n+1
est irréductible.
n(n + 2)
Pour montrer qu'une fraction de deux nombres entiers est irréductible, il suffit de prouver que les
deux entiers sont premiers entre eux.
Soit d un diviseur commun de n + 1 et n(n + 2).
d|n + 1 et d|n(n + 2), donc d|n×(n + 1) − 1×n(n + 2)
Donc d|n2 + n − n2 − 2n, c'est à dire d|−n.
d|−n et d|n + 1, donc d|−n + n + 1
C'est à dire d|1.
propriété "beta-gamma"
propriété "beta-gamma"
Conséquence : n + 1 et n(n + 2) sont premiers entre eux et la fraction
n+1
est irréductible.
n(n + 2)
Remarque : on peut démontrer ce résultat rapidement en utilisant le théorème de Bezout.
En effet : (n + 1)2 = n2 + 2n + 1 ou encore n(n + 2) + 1.
On a donc (n + 1)×(n + 1) − 1×n(n + 2) = 1.
Posons u = n + 1 et v = −1.
L'équation (n + 1)u + n(n + 2)v = 1 admet des solutions (u, v), les entiers n + 1 et n(n + 2) sont
donc premiers entre eux.
Exercice 2 (3 pts)
Quand on divise l'entier n par 69, le reste est 35. Mais quand on divise ce même entier par 75, le
quotient est inchangé mais le reste est 17.
Quel est l'entier n ?
L1 : n = 69q + 35
L2 : n = 75q + 17
L1 − L2 : 0 = 6q − 18
18
q = = 3.
6
Donc n = 69 × 3 + 35 = 242
Exercice 3 (3 pts)
Déterminer tous les entiers n tels que la fraction
7n − 1
soit un entier.
n+3
7n − 1
est un entier si et seulement si n + 3|7n − 1.
n+3
TaleS – Spé Math 2007-2008
0708 - DS 3 - divisibilite, div eucl., pgcd - correction
n + 3|7n − 1 ó n + 3|7n − 1 − 7(n + 3)
ó n + 3| 7n − 1 − 7n − 21
ó n + 3|−22
ó n + 3 œ {−22 ; −11 ; −2 ; −1 ; 1 ; 2 ; 11 ; 22}
ó n œ {−25 ; −14 ; −5 ; −4 ; −2 ; −1 ; 8 ; 19}
Exercice 4 (2pts)
Déterminer par l'algorithme d'Euclide le pgcd de 2002 et 2015.
Algorithme d'Euclide :
2015
13
1
2002
0
154
13
Donc pgcd (2002 ; 2015) = 13
Exercice 5 (4pts)
On considère la suite (un) d'entiers naturels définis par :
u0 = 2
un+1 = 8un + 1
Montrer que, pour tout n ≥ 1, le chiffre des unités de un est 7.
Démonstration par récurrence :
Initialisation : n = 1.
u1 = 8u0 + 1 = 17. La propriété est vraie au rang 1.
Hérédité : Soit n ≥ 1 un entier fixé.
Supposons que le chiffre des unités de un soit 7, c'est à dire un = 10q + 7.
Démontrons que le chiffre des unités de un+1 est 7, c'est à dire un+1 = 10q' + 7.
un+1 = 8un + 1
= 8(10q + 7) + 1
= 80q + 56 + 1
= 80q + 50 + 7
= 10(8q + 5) + 7. cqfd
Conclusion : pour tout n ≥ 1, le chiffre des unités de un est 7.
Exercice 6 (5pts)
Soit a, b et b' trois entiers.
Dans les divisions de a par b et de a par b', les restes sont des entiers consécutifs.
Montrer que b et b' sont premiers entre eux.
L1 : a = bq + r
L2 : a = b'q' + r + 1
L2 − L1 : 0 = b'q' + 1 − bq
Ou encore bq − b'q' = 1.
D'après le théorème de Bezout, les entiers b et b' sont premiers entre eux.
TaleS – Spé Math 2007-2008
0708 - DS 3 - divisibilite, div eucl., pgcd - correction