exercice_divisibilité dans Z

Exercices sur la divisibilité dans
Exercice 1
Trouver tous les entiers n pour lesquels la fraction
ℤ
n17
est entière.
n4
Exercice 2
Déterminer tous les entiers naturels a et b tels que a 2−4 b2 =20 .
Exercice 3
Démontrer que la somme de trois entiers relatifs consécutifs est divisible par 3.
Exercice 4
Démontrer que pour tout entier naturel n, n 2 n3 est pair.
Exercice 5
Écrire les divisions euclidiennes de a par b avec :
1. a = -271 et b = 19 ;
2. a = 332 et b = -27.
Exercice 6
Quand on le divise par 4, le reste est 3, mais quand on le divise par 5, le reste est 1 et le
quotient est inchangé. Quel est ce nombre ?
Exercice 7
n désigne un entier naturel.
Déterminer, selon les valeurs de n, le reste de la division euclidienne de 5 n + 21 par n + 3.
Exercice 8
Calculer le PGCD des couples d'entiers suivants :
1. (181 ; 1027) ;
2. (747 ; 310).
Exercice 9
Déterminer deux entiers naturels a et b sachant que leur PGCD est 9 et leur somme 72.
Exercice 10
Déterminer deux entiers naturels a et b sachant que leur PGCD est 121 et leur produit
439230.
Exercice 11
Quel est le PGCD de deux entiers pairs consécutifs ?
Exercice 12
Démontrer que si n est pair et m est impair alors : PGCD(n, m) = PGCD
 
n
,m
2
.