resume complexe

Cours : Les Nombres Complexes
I. Définitions :
On appelle un nombre complexe le nombre z = a + ib où (a,b) ² et i le nombre tel que i²=-1
- a est appelée la partie réelle de z , notée : Re(z) ; b est appelée la parie imaginaires de z notée
Im(z).
- l’écriture du nombre complexe z = Re(z) +i Im(z) s’appelle la forme cartésienne de z ou bien
la forma algébrique de z.
- si a=0 z est dit imaginaire pure, si b=0 z est dit réel .
- l’ensemble des nombres complexes est noté : . On remarque bien que   .
- ( , + ,×) est un corps.
On appelle le conjugué du nombre complexe z le nombre 
=   .
On appelle le module du nombre complexe z le réel positif : =² + ².
II. Propriétés :
-à tout nombre complexe z = a+ib on peut lui associer le point du plan, rapporté au repère
,
,  , le point M(a,b).On dit que le nombre z est l’affixe du point M.
Le Module
= , =
 = =
 ×=× , =
=
 , 
=
Le Conjugué
 + =
+′
,
=
′
=
 , 
=
 +
= ,    =
 Si z alors =
 Si z i alors =
 ×
=² ,  =
Le Graphique
III. Aspect graphique :
Dans l’ensemble  Dans le repère Cartésien
j,i,O 
 z = a + ib  M(a ,b)
 ZB - ZA 
AB
2BA zz
ZI
 I est le milieu de [AB]
²b²az 
 OM
AB zz 
 AB
O I
O
J
M(z)
_
z
a
b
-a
-b
M(-z)
_
M
(
_
z
_
)
_
z
_
z
Par Mr : HADJ SALEM Habib

)v(Aff )u(Aff 
 (
0
v
) 
v//u
)v(Aff )u(Aff 
i (
0
v
) 
vu  
 z  M (xx’)
 z i  M (yy’)
IV. Forme trigonométrique & exponentielle :
Soit z = a+ib 0 et on pose r= =² + ² 0
On peut écrire =(
+ ) donc on a
111
22 
r
b
;
r
a
et
r
b
r
a
alors il existe
tel que :
sin
r
b
et cos
r
a
. Donc z = r( cos +i sin ) : c’est la forme
trigonométrie de z.
est appelé l’argument de z notée : arg(z)
V. Astuces pour déterminer l’argument :
0
6 4 3
2
Sin 0
2
1
2
2
2
3
1
cos 1
2
3
2
2
2
1
0
Si arg(a+ib) [2 ]alors :
 arg(a-ib) -  [2]; arg(-a+ib) - [2]
 arg(-a-ib) + [2 ]
0 a si ,2arg(z) et az
0 a si ,20arg(z) et az
:alors az
0 b si ,2arg(z) et bz
0 b si ,2
2
arg(z) et bz
:alors ibz
2
VI. Propriétés :
 arg(z)
2)OM,Ox(
2)AB,Ox()zzarg( AB 
2)CD,AB()
zz
zz
arg( AB
CD 
z
=a-ib
-z
=-a+ib
z
Par Mr HADJ SALEM Habib

2)'zarg()zarg()'zzarg( 
2)zarg(n)zarg( n
2
1)zarg()
z
arg( 
2)'zarg()zarg()
'z
z
arg( 
2
2
)zarg()zarg(
)zarg()zarg(
)nsin(i)ncos() sin(i)cos( n
(formule de Moivre).
 Z=r(cos +i sin )=[r , ]=r ei c’est la
forme polaire et la forme exponentielle d’un
nombre complexe.
Propriétés de la forme polaire :
','rr','r,r
n,r,r n
n
,
r,r 11
 ',
'r
r
','r ,r
La forme polaire est la plus utilisée pour les
simplifications des formes trigonométriques et
la résolution des équations du type : zn=a+ib.
Propriétés de la forme exponentielle :
iii e)e( et ) sin(i)cos(e 
Euler de formules
)sin(iee
)cos(ee
ii
ii
2
2
)'(i
'i
i
in
n
ie
e
e
;ee
i
i
)'(i'ii e
e
;eee   1
22
011
ii
ii ei ;ei ;e ;e 
Par Mr HADJ SALEM Habib
. Racines et Equations :
On considère l’équation zn =a où a ℂ
On dit que z est la racine niéme de a pour résoudre l’équation on utilise la forme polaire ou
exponentielle
En effet on pose z = [r , ϴ ]alors
2)aarg(n
arn
Soit l’équation suivante : a z² +b z +c =0 où (a,b,c) ℂ
3.
On calcule le discriminant =b²-4ac
Si  ℝ + alors
a
b
z";
a
b
'z 22
Si  ℝ - alors
a
ib
z";
a
ib
'z 22
Si ℂ alors on considère δ = x+iy tel que δ ² =
2a
b-
zet
)Im(xy
)Re(²y²x
²y²x
2