Fonctions polynomiales, racines

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Chapitre 7 : Fonctions
polynomiales, racines
Ici, Kest un corps commutatif quelconque.
IFonction polynomiale
Dénition :
Soit PPK[X],P=řkPNakXkoù les aksont nuls à partir d’un certain rang. La fonction polynomiale
associée à Pest la fonction :
˜
P:KÝÑ K
xÞÝÑ ˜ P(x) = ÿ
kPN
akxk
(7.1)
Attention : PPK[X], c’est un polynôme formel, ˜ PPF(K,K), c’est une fonction polynomiale.
Théorème :
Soit xPK. Alors, pour tous P1, P2PK[X]et tout λPK:
Č
P1+P2(x) = ˜ P1(x) + ˜ P2(x)(7.2)
Č
P1ˆP2(x) = ˜ P1(x)ˆ˜ P2(x)(7.3)
Ą
λP1(x) = λ˜ P1(x)(7.4)
˜
1(x) = 1K(7.5)
(La démonstration est immédiate).
On en tire alors les identités :
Č
P1+P2=˜ P1+˜ P2(7.6)
Č
P1ˆP2=˜ P1ˆ˜ P2(7.7)
Ą
λP1=λ˜ P1(7.8)
˜
1 = 1F(K,K)(7.9)
(Car @xPK,Č P1+P2(x) = ( ˜ P1+˜ P2)(x), et de même pour les autres).
Ainsi, l’application K[X]ÝÑ F(K,K)
PÞÝÑ ˜ P
est un morphisme de l’anneau (K[X],+,ˆ)vers l’anneau
(F(K,K),+,ˆ).
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1 Ismaël Bouya

II. RACINES CHAPITRE 7. FONCTIONS POLYNOMIALES, RACINES
II Racines
A) Dénition et caractérisation formelle
Soit PPK[X]et λPK.
On dit que λest une racine (dans K) de Plorsque ˜ P(λ) = 0K.
Théorème :
Soit PPK[X]et λPK. Alors λest racine de Psi et seulement si (X´λ)divise P.
Démonstration :
Déjà, (X´λ)est non nul.
On peut donc faire la division euclidienne de Ppar (X´λ):P= (X´λ)Q+R, où QPK[X]et RP
K0[X], soit R=rPK. Donc P= (X´λ)Q+r. Donc ˜ P=Č (X´λ)˜ Q+ ˜r, d’où ˜ P(λ) = 0Kˆ˜ Q(λ)+r=r.
Donc λest racine de Psi et seulement si r= 0 soit si (X´λ)divise P.
B) Multiplicité
Dénition :
Soit PPK[X]zt0Ku.
Soit λun scalaire. On suppose que λest racine de P. La multiplicité de λdans Pest, par dénition,
m=maxtkPN,(X´λ)kdivise Pu.(7.10)
La dénition est bien correcte car l’ensemble est non vide (contient 1) et est majoré (par deg(P)).
On peut convenir que λest de multiplicité 0lorsque λn’est pas racine de P.
C) Le premier théorème de factorisation
Théorème :
Soit PPK[X]zt0Ku. Soient λ1, λ2, . . . λpdes racines distinctes de Pde multiplicités au moins égales à
α1, α2, . . . αp.
Alors śp
i=1(X´λi)αidivise P.
Démonstration :
Les polynômes (X´λi, i PJ1, nKsont irréductibles dans K[X](car de degré 1). Ils tous distincts et
unitaires, donc les (X´λi)αi, i PJ1, nKsont premiers entre eux. De plus, ils divisent tous P. Donc leur
produit divise P.
Conséquence :
Soit PPK[X]zt0Kude degré nPN. Alors le nombre de racines de P(en les comptant selon leur
multiplicité) est inférieur ou égal à n.
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CHAPITRE 7. FONCTIONS POLYNOMIALES, RACINES III. DÉRIVATION FORMELLE
Démonstration :
Si Padmet les racines λ1, λ2, . . . λpdistinctes avec les multiplicités α1, α2, . . . αp, alors śp
i=1(X´λi)αi,
de degré řn
k=1 αk, divise Pdonc řn k=1 αkďn.
Conséquence (pratique) :
Si PPKn[X], et si on a trouvé n+ 1 racines distinctes à P, alors P= 0.
Conséquence :
On suppose Kinni. Alors l’application K[X]ÝÑ F(K,K)
PÞÝÑ ˜ P
est injective :
Si ˜ P=˜ Q, alors ˜ P´˜ Q= 0K, soit Č P´Q= 0K, c’est-à-dire @xPK,Č (P´Q)(x) = 0K. Donc Č P´Qa
une innité de racines. Donc P´Q= 0K. Donc P=Q.
Dans la suite du chapitre, Kest un sous corps de C.Kest donc inni (car il contient au minimum
Qpuisqu’il contient 0et 1et est stable par +,ˆet passage à linverse)
Ainsi, on a l’équivalence, pour tout P, Q PK[X]:˜ P=˜ Qðñ P=Q.
On peut donc retirer les ˜ mais on distinguera P=řkPNakXket la fonction xÞÑ P(x).
III Dérivation formelle
A) Dénition
Dénition :
Soit PPK[X],P=řkPNakXkoù les aksont nuls à partir d’un certain rang.
Alors le polynôme dérivé de Pest par dénition le polynôme :
P1=ÿ
kPN˚
kakXk´1(7.11)
On dénit par récurrence le polynôme dérivé nfois de P:
$
&
%
P(0) =P
@nPN˚, P (n+1) = (P(n))1(7.12)
Remarque :
Si on considère la fonction ˚ P:RÝÑ C
xÞÝÑ P(x)
, on remarque que (˚ P)1=˚
Ň
P1.
B) Propriétés
Propriété :
1. Si deg Pďn, alors P(n)est constant, non nul si et seulement si deg P=n.
2. (P+Q)1=P1+Q1,(P+Q)(k)=P(k)+Q(k)
3. (λ.P )1=λ.P 1,(λ.P )(k)=λ.P (k)
4. (PˆQ)1=P1Q+P Q1,(P Q)(k)=řk
i=0 (i
k)P(i)Q(k´i)
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III. DÉRIVATION FORMELLE CHAPITRE 7. FONCTIONS POLYNOMIALES, RACINES
5. (Pm)1=mP 1Pm´1,(mě1)
6. (P(Q))1=Q1ˆP1(Q)
Démonstration :
Si P=anXn+an´1Xn´1+. . . +a1X+a0, alors P1=nanXn´1+ (n´1)an´1Xn´2+. . . +a1. Donc
si deg P=ně1, alors deg P1=n´1, d’où par récurrence deg P(n)= 0. Et si deg PP t0,´8u, alors
P1= 0.
Pour le deuxième point, on a : @xPR,(P+Q)1(x) = P1(x) + Q1(x). Donc (P+Q)1´P1´Q1a une
innité de racines, donc (P+Q)1=P1+Q1.
De même pour les produits, puis par récurrence pour les dérivées k-ièmes.
Pour le dernier point, la démonstration ne convient pas si Qn’est pas à coecients réels. Dans ce
dernier cas (et aussi dans les autres) :
P(Q) = ÿ
kPN
akQk.(7.13)
Donc
(P(Q))1=ÿ
kPN˚
akkQ1Qk´1(7.14)
(d’après les points précédents), soit
(P(Q))1=Q1ÿ
kPN˚
akkQk´1=Q1P1(Q).(7.15)
Remarque :
(Xp)(i)=$
&
%
0si iąp
p!
(p´i)! Xp´isi 0ďiďp(7.16)
Ainsi,
D(i)(Xp)(0) = $
&
%
0si i‰p
p!si i=p(7.17)
C) Formule de Taylor pour les polynômes
Théorème :
Soit Pun polynôme, soit nPNtel que nědeg P. Alors pour tout a, b PK:
P(a+b) = P(a) + bP 1(a) + b2
2! P2(a) + . . . +bn n!P(n)(a)(7.18)
Démonstration :
Si a= 0 : on veut montrer que @xPK, P (x) = P(0) + xP 1(0) + . . . +xn
n!P(n)(0). On a P=řn
k=0 akXk.
Donc pour tout pPN:
D(p)(P) =
n
ÿ
k=0
akD(p)(Xk).(7.19)
Donc D(p)(P)(0) = p!ap. Donc ap=D(p)(P)(0)
p!.
Cas général : on pose Q(X) = P(a+X). Alors @kPN, Q(k)(X) = P(k)(a+X)(car (a+X)1= 1).
Donc @xPK, Q(x) = řn
k=0
Q(k)(0)
k!xk. Soit @xPK, P (a+x) = řn
k=0
P(k)(a)
k!xk.
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CHAPITRE 7. FONCTIONS POLYNOMIALES, RACINES III. DÉRIVATION FORMELLE
Théorème (Plus général) :
Soit PPK[X]. Soit nPNtel que nědeg P. Alors, pour tous A, B PK[X]:
P(A+B) =
n
ÿ
k=0
P(k)(A)
k!Bk.(7.20)
Démonstration :
Pour tout xPK,ona:
P(A(x) + B(x)) =
n
ÿ
k=0
(B(x))kP(k)(A(x))
k!(7.21)
(d’après le théorème précédent avec a=A(x)et b=B(x)). D’où l’égalité des polynômes formels P(A+B)
et řn
k=0 BkP(k)(A)
k!puisqu’ils coïncident sur K.
D) Application à la multiplicité
Théorème :
Soient PPK[X]zt0u,λPKet kPN˚. Alors λest racine d’ordre au moins kde Psi et seulement si :
P(0)(λ) = P(1)(λ) = . . . =P(k´1)(λ) = 0 (7.22)
Par conséquent, λest racine de Pd’ordre exactement ksi et seulement si :
P(0)(λ) = P(1)(λ) = . . . =P(k´1)(λ) = 0 (7.23)
et
P(k)(λ)‰0.(7.24)
Démonstration :
Soit nPNtel que nědeg Pet něk. Alors :
P(X) = P(λ+ (X´λ)) (7.25)
=P(λ)+(X´λ)P1(λ) + ¨ ¨ ¨ +(X´λ)k´1
(k´1)! P(k´1)(λ)
loooooooooooooooooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooooooooooooooooon
polynôme Rde degré ďk´1
+. . . +(X´λ)n
n!P(n)(λ)
loooooooooooooomoooooooooooooon
polynôme divisible par (X´λ)k
(7.26)
Donc Rest le reste dans la division euclidienne de Ppar (X´λ)k. On a donc les équivalences :
λest racine d’ordre au moins kde Pðñ (X´λ)kdivise P(7.27)
ðñ R= 0 (7.28)
ðñ
k´1
ÿ
i=0
(X´λ)iP(i)(λ)
i!= 0 (7.29)
ðñ @iPJ0, k ´1K,P(i)(λ)
i!= 0 (7.30)
Pour la dernière équivalence (l’un des sens étant évident) : si řk´1
i=0 (X´λ)iP(i)(λ)
i!= 0, alors @xP
K,řk´1
i=0 (x´λ)iP(i)(λ)
i!= 0, donc @yPK,řk´1
i=0 yiP(i)(λ)
i!= 0.
Ainsi, řk´1
i=0 XiP(i)(λ)
i!= 0, d’où @iPJ0, k ´1K,P(i)(λ) i!= 0.
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