Fiche méthode : probabilités

ECE 2 - Mathématiques
Julie Marcelin - Clemenceau
Fiche méthode : probabilités
Toutes les méthodes de cette che sont communes aux variables à densité et aux variables discrètes :
I Calculs de probabilités
1) Utilisation de la formule des probabilités totales
Il faut toujours penser à utiliser la formule des probabilités totales dans les cas suivants :
• Cas d'une succession d'épreuves aléatoires :
a) Lorsque l'on cherche la probabilité d'un évènement B qui correspond uniquement à une deuxième
épreuve : on décompose alors sur le système complet d'évènements de tous les résultats possibles de la
première épreuve (cf arbre de probabilités).
b) Lorsque l'on cherche la probabilité d'un évènement An+1 (ou la loi d'une variable aléatoire Xn+1 qui
correspond uniquement à la (n+1)-ième épreuve) : on décompose alors sur le système complet d'évènements de tous les résultats possibles de la n-ième épreuve (cf arbre de probabilités).
On obtient alors une relation de récurrence entre l'ordre n et l'ordre n + 1.
Remarque : il peut parfois arriver que l'on vous demande de décomposer sur le système complet d'évènements de la première épreuve. Dans ce cas bien sûr, vous suivez les indications de l'énoncé.
• Utilisation de la loi d'un couple :
Attention :on n'utilise jamais la formule des probabilités totales pour calculer la loi d'un couple
ou une probabilité conditionnelle ! !
c) Calcul d'une loi marginale : Lorsque l'on connait la loi d'un couple P ((X = k) ∩ (Y = l)) ou P(X=k) (Y = l)
et que l'on cherche la loi d'une seule variable (P (Y = l) par exemple) : on prend alors le système complet
d'évènements de toutes les valeurs prises par L'AUTRE VARIABLE.
d) Egalité ou inégalité faisant intervenir 2 variables aléatoires : Lorsque l'on cherche la loi d'une
variable aléatoire Z = f (X, Y ) fonction de deux variables aléatoire ( P (X + Y = k), P (XY = k)...)
ou plus généralement la probabilité d'une égalité / inégalité faisant intervenir deux variables aléatoires
(P (X1 = X2 ), P (X1 < X2 )) : on choisit alors le système complet d'évènement des valeurs prises par l'une
des 2 variables. Si l'une des variables est à densité, il faut forcément choisir l'autre (la variable DISCRETE)
car une variable à densité n'a pas de système complet d'évènements !
2) Méthode générale de calcul d'une probabilité :
1. D'abord vérier s'il s'agit d'un des cas d'application de la formules
des probabilités totales.
Dans le cas contraire :
2. Traduire l'évènement en français.
3. Ecrire cet évènement comme unions 2 à 2 incompatibles d'intersections des évènements élémentaires correspondant aux épreuves
successives, en donnant des noms à ceux-ci si l'énoncé ne l'a pas
fait.
4. Décomposer la probabilité des unions 2 à 2 incompatibles en somme
des probabilités.
5. Calculer les probabilités des intersections avec la formule des probabilités composées (sauf éventuellement si les évènements sont indépendants), en utilisant l'énoncé pour calculer les probabilités conditionnelles successives.
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Julie Marcelin - Clemenceau
Si on n'arrive pas à traduire un évènement, il faut toujours penser à passer par
l'évènement contraire : il est peut-être beaucoup plus simple à traduire ! !
C'est le cas par exemple pour P (X > k) : si la variable est innie à valeurs entiers naturels par exemple,
il vaut mieux traduire (X 6 k) (il y a un nombre ni de valeurs inférieures à k ) que de traduire (X > k)
où on tombe sur une somme innie.
On nit alors le calcul par la formule P (X > k) = 1 − P (X 6 k).
Remarque importante :
3) Calcul de la loi d'une variable aléatoire
Y
1. 2 cas particuliers à vérier où elle dépend d'une autre variable aléatoire :
(a) Si notre variable est fonction d'une autre variable connue du type Y = f (X) : On se ramène
à X : pour calculer P (f (X) = k)), on résout l'équation f (X) = k d'inconnue X pour tomber
sur X = g(k) dont on sait calculer la proba (ceci est d'ailleurs aussi vrai pour les variables à
densité mis à part que l'on calcule P (f (X) 6 x) ).
(b) S'il s'agit d'une loi marginale (on connait déjà la loi du couple (X, Y ) : P ((X = i) ∩ (Y = j))
ou la loi de Y sachant X : PX=i (Y = j) ) : on applique la formule des probas totales sur le
s.c.e de l'autre variable.
2. Sinon :
(a) Soit on reconnait une loi usuelle ;
(b) Soit on est ramené à des calculs de probas et on utilise la méthode
1).
4) Calcul de probabilités conditionnelles
Pour calculer PB (A), souvent demandé sous la forme PX=i (Y = j) :
Dans la très grande majorité des cas, on la calcule comme une loi d'une variable aléatoire c'est-à-dire
qu'on utilise la méthode de la partie 3) en utilisant l'information "je sais que X est égal à i" pour
traduire facilement.
Si on n'arrive pas à traduire : soit parce qu'il n'y a pas de situation probabiliste, soit parce que la
proba conditionnelle n'est pas dans le bon sens, on revient à la dénition d'une probabilité conditionnelle.
5) Calcul de la loi d'un couple
Pour calculer la loi d'un couple on est ramenés à la méthode de calcul de la proba d'une intersection :
P ((X = i) ∩ (Y = j)) :
1. Soit A ⊂ B alors P (A ∩ B) = P (A) et P (A ∩ B) = P (B \ A) = P (B) − P (A).
2. Soit X et Y sont indépendantes alors on transforme la proba de l'intersection en produit des probas.
3. Soit Y = f (X) alors on traduit l'évènement (X = i)∩(Y = j) en ne faisant intervenir que la variable
aléatoire X .
4. Soit Y dépend de X alors on fait intervenir la formule des probas composées.
5. Sinon, on traduit l'évènement (X = i) ∩ (Y = j) par la méthode
1).
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Julie Marcelin - Clemenceau
II Calculs d'espérances, de variances, de covariances.
1) Calculs d'espérances
Pour calculer E(Y ) :
1. Soit Y est somme ou combinaison linéaire de variables aléatoires alors on utilise la linéarité de
l'espérance.
2. Soit Y est produit de variables
espérances.
indépendantes
alors l'espérance du produit est le produit des
3. Soit Y = f (X) où X est une variable aléatoire connue alors on utilise le théorème de transfert.
4. Sinon, on utilise la dénition de l'espérance.
2) Calculs de variances
Pour calculer V (Y ) :
1. Soit Y s'écrit Y = aX , on utilise : V (aX) = a2 V (X).
2. Soit Y s'écrit Y = X + a, on utilise V (X + a) = V (X).
P
P
3. Soit Y est somme de variables indépendantes alors on utilise V ( Xk ) =
V (Xk ). (Si X = Y +Z
non indépendantes, on utilise V (X + Z) = V (X) + V (Z) + 2cov(X, Z) mais c'est extrêmement rare).
4. Sinon, on utilise le théorème de Koenig-Huygens.
3) Calcul d'une covariance.
1. si X et Y prennent un petit nombre de valeurs ou si on a déjà calculé E(XY ), ou si on vous a fait
étudier la variable XY , on utilise Koenig Huygens : Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ).
2. Sinon, il faut penser à utiliser : cov(X, Y ) = 12 (V (X + Y ) − V (X) − V (Y )). (souvent les lois des
variables X , Y et X + Y ont déjà été calculées dans l'énoncé).