IV/CINEMATIQUE

Caractéristiques du mouvement  
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1/ INTRODUCTION )'((
La cinématique est l’étude des mouvements sans se préoccuper des causes
responsables de ces mouvements (comme les forces par exemple…)
Le point matériel est tout corps matériel dont les dimensions sont théoriquement nulles
et pratiquement négligeables par rapport à la distance parcourue.
L’état de mouvement ou de repos d’un corps sont deux notions essentiellement
relatives : par exemple une montagne est au repos par rapport à la terre mais en mouvement
par rapport à un observateur qui regarde la terre de loin et pour lequel le globe terrestre (avec
tout ce qu’il renferme) est en perpétuel mouvement.
Quiconque veut étudier un mouvement doit à priori s’imposer un référentiel (ou un repère)
par rapport auquel le mouvement est analysé. Ceci se traduit par le fait qu’un mouvement ne
peut se définir que par rapport à un repère.
Cette étude du mouvement s’effectue selon l’une des deux formes :
-vectorielle : en utilisant les vecteurs : position OM ,vitesse
v
et l’accélération a .
-algébrique : en définissant l’équation du mouvement suivant une trajectoire
donnée.
2/ POSITION DU MOBILE ( ):
La position d’un point matériel
M
au temps
t
est repérée dans un
repère
(;,,)
Oi jk
par un vecteur position
OM
(figure 4.1). La formule 4.1 exprime le
vecteur position en coordonnées cartésiennes.
O
Z
X
Y
x
y
z
i
j
k
M
...
OM r x i y j z k
== + +
(4.1)
IV/CINEMATIQUE
;<<<<<<<<<<<<<< =<<<<><<<<?
A-IV/ CARACTERISTIQUES DU MOUVEMENT
+,-./0 102345
:::676067+%/2*6327&20
:::676067+%/2*6327&20

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3/ LES EQUATIONS HORAIRES (A BC;D):
Un point matériel est au repos dans un repère choisi si ses coordonnées
,,
xyz
sont
indépendantes du temps, et il est en mouvement si ses coordonnées varient en fonction du
temps.
(On a choisi des coordonnées cartésiennes, mais on aurait pu choisir n’importe
quelles autres coordonnées).
Ces coordonnées peuvent être notées par :
(), (), ()
xt yt zt
(4.2)
On appelle ces fonctions, les équations horaires du mouvement. On peut les
exprimer sous la forme :
(), (), ()
xftygtzht
=== (4.3)
La trajectoire K;L()
La trajectoire est l’ensemble des positions occupées par le mobile au cours de son
mouvement pendant des instants successifs. La trajectoire peut être matérielle ( la route
suivie par une automobile par exemple ) ou imaginaire (trajectoire de la lune par
exemple).
L’étude d’un mouvement plan se fait en coordonnées rectangulaires dans le repère
(;,)
ROi j
où la position est définie par les deux coordonnées : )(),( tytx
La fonction )(xyx s’appelle équation cartésienne de la trajectoire
)K;L> NOK;P C;D(.
On obtient l’équation de la trajectoire par élimination du temps entre les
deux équations horaires.
Exemple 4.1 : Les équations horaires du mouvement d’un point matériel tiré dans l’espace
sont
24
2
x t ; y 0 ; z -5t t
===+
(toutes les unités sont dans le système
international).
1/ Trouver l’équation cartésienne de la trajectoire, quelle est sa forme ?
2/ Ecrire l’expression du vecteur position au temps
2
ts
=
Réponse :
1/ On tire
t
de l’équation de
x
qu’on remplace dans
z
:
2
2
x
xtt
==
2
1.25. 2.
zxx
=+C’est l’équation d’une parabole.
2/ Expression du vecteur position :
2(2)
(2)
..
(2). ( 5 4). 4 12
412
t
t
OM x i y j z k
OM t i t t k OM i k
OM i k
=
=
=++
=++=
=

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Exemple 4.2 : Le mouvement d’un point matériel est défini dans un repère cartésien par ses
deux équations horaires :
)cos(
)sin(
+=
+
=
tay
tax
Quelle est donc la trajectoire suivie ?
Réponse :
En élève au carré les deux équations, puis on fait la somme membre à membre pour
aboutir à l’équation d’un cercle de rayon
a
:
222
222
222
sin ( . )
cos ( . )
xa t
xya
ya t
=+
+=
=+
4/ LE VECTEUR VITESSE (?L S;DT):
On considère que la vitesse est la distance parcourue par unité de temps.
Vecteur vitesse moyenne )VWXY ?L S;DT (
Regardons la figure 4.2 : entre l’instant
t
où le mobile occupe la position
M
,et
l’instant
'
t
où le mobile occupe la position
'
M
,le vecteur vitesse moyenne est défini comme
étant l’expression 4.4.
'
'
'
moy moy
MM
MM
v ; v
tt t
==
BCD4/0
M
M’
(t)
v
T
O
'
MM
Vecteur vitesse instantanée ) ?L S;DT>Z(
Le vecteur vitesse instantanée, c'est à dire au temps
t
,est la dérivée )(Y[(du
vecteur position par rapport au temps :
'
'
'
lim lim
'
ttt
tt
OM OM OM dOM
v
tt t dt
===
t
dOM
v
dt
=
(4.5)
IMPORTANT :Le vecteur vitesse instantanée )(t v est porté par la tangente à la
trajectoire au point
M
;il est toujours orienté dans le sens du mouvement
(Figure 4.3).
Dans le repère cartésien par exemple, on en déduit l’expression du vecteur vitesse
instantanée à partir de l’expression du vecteur position en dérivant :
... ...
OM r xi y j zk v xi y j zk
== + + =++ (4.6)

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v
CONVENTIONS ) (
Notation de Newton : on note la dérivée par rapport au temps en mettant un
point sur le symbole de la variable. Si la dérivée est par rapport à une variable
autre que le temps, la notation est de mettre une apostrophe(’) après le symbole
de la variable à dériver.
Notation de Leibnitz :On note la dérivée de
y
,par exemple, par rapport au
temps, par
dt
dy .
Ainsi nous pouvons écrire ; ;
dx dy dz
xy z
dt dt dt
== =
Module du vecteur vitesse instantanée )   (
22
2
vxyz
=++ (4.7)
L’unité de la vitesse dans le système international
MKS
est 1 ./  =smsm .
Les composantes des vecteurs
OM
et v en coordonnées cartésiennes sont donc :
x
y
Rz
R
xv
x
OM y v y v
zzv
=
=
=
5/ LE VECTEUR ACCELERATION ) S;DTYL;SK(:
Nous considérons que l’accélération est la variation de la vitesse par unité de temps.
Vecteur accélération moyenne )S;DTSK;LYaWXY (
';
'
moy moy
v
vv v
a a
tt t t
== =
(4.8)
M’
O
M
v
'v
moy
a
Trajectoire
Fig 4.4
En considérant deux instants différents
t
et
'
t
correspondants aux vecteurs position
:::676067+%/2*6327&20

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OM et 'OM et les vecteurs vitesse instantanée v et 'v (figure 4.4), le vecteur accélération
moyenne est défini par l’expression 4.8
Vecteur accélération instantanée )S;DTSK;LYbZ> (
Le vecteur accélération instantanée d’un mouvement est défini comme étant la
dérivée du vecteur vitesse instantanée par rapport au temps.
2
'' 2
'd
lim lim
'
tt tt
v v v dv OM
a
tt t dt
dt
====
2
2
dv d OM
a
dt dt
==
(4.9)
On peut écrire maintenant en résumé les expressions des vecteurs position, vitesse et
accélération en coordonnées cartésiennes, avec les conventions de Newton et Leibnitz :
22
22 2
... ... ...
... . . .
2
OMrxiyjzk vxiyjzk a xiyjzk
dx dy dz d x d y d z
v i j k a i j k (4.10)
dt dt dt dt dt dt
== + + =++ =++
=++ =++
Important :Le vecteur accélération est toujours dirigé vers la partie concave de la
trajectoire. (figure4.5)
Module du vecteur accélération instantanée    ()
Ce module est donné par la formule 4.11
)(t
a
22
2
axyz
=++
CONCLUSION :Dans un repère cartésien les vecteurs position, vitesse et accélération sont :
... . . . . . .
xxx
yyy
Rzzz
RR
xy z x y z
xv xv a
x
r y vyv ayv a
zzv zv a
OM r xi y j zk v v i v j v k a a i a j a k
===
====
===
== + +=++=++
(4.12)
:::676067+%/2*6327&20