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Mouvement de translation
Etude cinématique
Le mouvement rectiligne uniforme :
C’est un mouvement dans lequel le vecteur vitesse reste constant. On écrit l’équation du vecteur
vitesse :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑣0 𝑖⃗ 
𝑣⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣0 = 𝑐𝑡𝑒
𝑎⃗ = ⃗0⃗
Telle que 𝑣0 la valeur de la vitesse, est constante. On en déduit, alors, l’équation horaire 𝑥 (𝑡) = 𝑣0 𝑡 +
𝑥0 avec 𝑥0 l’abscisse du mobile à l’origine des temps (t=0 s).
Le mouvement rectiligne uniformément varié :
C’est un mouvement dans lequel le vecteur accélération reste constant. On écrit l’équation du vecteur
accélération suivante :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎 𝑖⃗
𝑎⃗ = 𝑐𝑡𝑒
Telle que 𝑎0 la valeur de l’accélération, est constante
On en déduit, alors,
i.
ii.
L’équation de la vitesse : 𝑥(𝑡) = 𝑎 𝑡 + 𝑣0
1
l’équation horaire
: 𝑥(𝑡) = 2 𝑎𝑡 2 + 𝑣0 𝑡 + 𝑥0
Avec


-
𝑥0 l’abscisse du mobile à l’origine des temps (t = 0 s).
𝑣0 la vitesse initiale du mobile à l’origine des temps (t = 0 s).
Si au cours du temps la valeur de la vitesse absolue augmente (𝑎⃗𝑣⃗ > ⃗0⃗) le mouvement est dit rectiligne
uniformément accéléré. {𝑎 > 0 et 𝑣 > 0 } ou {𝑎 < 0 et 𝑣 < 0}.
⃗⃗) le mouvement est dit rectiligne
Si au cours du temps la valeur de la vitesse absolue diminue (𝑎⃗𝑣⃗ < 0
uniformément retardé. {𝑎 < 0 et 𝑣 > 0 } ou {𝑎 > 0 et 𝑣 < 0}.
Dans ce cas,
On peut déduire la relation des vitesses indépendante du temps :
𝑣 2 − 𝑣02 = 2𝑎 (𝑥 − 𝑥0 )

Cas de la chute libre verticale d’un solide :
Dans ce cas la valeur de l’accélération est constante est vaut ||𝑔⃗|| . On donne l’équation horaire, dont
le signe, dépend de l’orientation de l’axe d’étude.
-
Pour un axe orienté vers le haut xx’: 𝑎⃗ = 𝑔⃗ = − ||𝑔⃗||𝑖⃗
1
𝑥 = − ||𝑔⃗||𝑡 2 + 𝑣0 𝑡 + 𝑥0
2
Avec, v0 la vitesse initiale et x0 l’altitude de lancement.
-
Pour un axe orienté vers le bas xx’ ; 𝑎⃗ = 𝑔⃗ = + ||𝑔⃗||𝑖⃗ :
1
𝑥 = + ||𝑔⃗||𝑡 2 + 𝑣0 𝑡 + 𝑥0
2
Avec, v0 la vitesse initiale et x0 l’altitude initiale du mobile.

Cas de la chute sur un plan incliné d’un angle 𝜶 :
C’est la même que la chute libre, cependant, dans ce cas l’accélération est donnée par la formule :
𝑔⃗ = 𝑔𝑥 𝑖⃗ + 𝑔𝑦 𝑗⃗
Dans le repère (𝑂, 𝑖⃗, 𝑗⃗)  𝑔𝑥 = ||𝑔⃗|| . sin(𝛼)
𝑎 = 𝑎𝑥 = ||𝑔⃗|| . sin(𝛼)
Le mouvement rectiligne sinusoïdal :
Un point M est en mouvement sinusoïdal, tel que, l’équation horaire s’écrit sous la forme
𝑥(𝑡) = 𝑥𝑚 sin (𝜔𝑡 + 𝜑)
Telle que :




𝑥 (𝑡) : L’élongation ou abscisse du point M à un instant t.
𝑥𝑚 : L’amplitude du mouvement de M (c’est la valeur maximale de l’abscisse)
2𝜋
1
𝜔 = 𝑇 : La pulsation du mouvement (en rad.s-1), «T» la période (en s) et «𝑁 = 𝑇» la fréquence (en Hz).
𝜑 : la phase initiale à t = 0s (en rad), grandeur qui renseigne sur les conditions initiales (élongation et
vitesse) du mouvement.
Equation horaire :
𝑥(𝑡) = 𝑥𝑚 sin (𝜔𝑡 + 𝜑)
Vitesse instantanée :
𝑣 (𝑡 ) =
𝑑𝑥 (𝑡)
𝑑𝑡
𝑣(𝑡) = 𝑥𝑚 𝜔 cos (𝜔𝑡 + 𝜑)
𝜋
𝑣 (𝑡) = 𝑣𝑚 sin (𝜔𝑡 + (𝜑 + ))
2
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑣𝑚 = 𝑥𝑚 𝜔
Accélération instantanée :
𝑎 (𝑡 ) =
𝑑𝑣(𝑡) 𝑑²𝑥 (𝑡)
=
𝑑𝑡
𝑑𝑡²
𝑎(𝑡) = −𝑥𝑚 𝜔² sin (𝜔𝑡 + 𝜑)
𝑎(𝑡) = 𝑥𝑚 𝜔² sin (𝜔𝑡 + (𝜑 + 𝜋))
𝑎(𝑡) = 𝑎𝑚 sin (𝜔𝑡 + (𝜑 + 𝜋))
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑎𝑚 = 𝑥𝑚 𝜔
On considère aussi la formule :
𝑎(𝑡) = −𝜔2 𝑥(𝑡) ; 𝑥(𝑡) = 𝑥𝑚 sin (𝜔𝑡 + 𝜑)
Relation entre l’accélération et l’élongation :
𝑎 = −𝜔2 𝑥  𝑎 + 𝜔2 𝑥 = 0.