Chapitre 11 – Loi binomiale Table des matières

Chapitre 11 – Loi binomiale TABLE DES MATIÈRES – page -1
Chapitre 11 – Loi binomiale
Table des matières
I Exercices I-1
1 ................................................ I-1
2 ................................................ I-1
3 Coefficients binomiaux et triangle de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
4 ................................................ I-3
5 ................................................ I-3
6 ................................................ I-3
7 ................................................ I-3
8 ................................................ I-4
9 ................................................ I-4
II Cours II-1
1 Épreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
2 Schéma de Bernoulli, loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
3 Propriété des coefficients binomiaux, triangle de Pascal. . . . . . . . . . . . . . . . . . II-2
4 Espérance, variance et écart-type de la loi binomiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-3
III Calculatrices et logiciels III-1
1 Calcul d’un coefficient binomial à la calculatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III-1
2 Calcul d’une probabilité ou d’une loi de probabilité à la calculatrice . . . . . . . . . . III-1
3 Utilisation de logiciels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III-1
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Chapitre 11 – Loi binomiale I EXERCICES – page I-1
I Exercices
1
Un commercial sait par expérience que lorqu’il rend visite à un client, la probabilité d’obtenir une
commande est p= 0,4. Il rend successivement visite à 3 clients. On peut considérer ces visites comme
indépendantes les unes des autres.
Pour une visite, on note les évènements :
S(succès) « le client prend une commande » ; S(échec) « le client ne prend pas de commande ».
1. Tracer un arbre pondéré représentant la situation des 3 visites successives.
2. Calculer la probabilité que le commercial n’obtienne aucune commande.
3. Même question pour 1, puis pour 2, puis pour 3 commandes.
4. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de commandes. Dresser le tableau donnant
la loi de probabilité de X.
Quelques précisions de vocabulaire après ce premier exercice
Une visite de ce commercial chez un client, est une expérience aléatoire qui a deux issues : une
commande (succès) ou pas de commande (échec). On appelle cela une épreuve de Bernoulli 1.
Quand on répète cette épreuve plusieurs fois de manière identiques et indépendantes (3 fois dans
l’exercice précédent), on dit qu’on a un schéma de Bernoulli.
On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de succès.
La loi de probabilité de cette variable aléatoire est appelée loi binomiale. Dans l’exercice précédent,
il s’agissait d’une loi binomiale de paramètres n= 3 et p= 0,4.
2
Un footballeur tire successivement quatre penalties. Lorsqu’il tire un penalty, la probabilité de succès
est p= 0,75. On suppose que les quatre tirs successifs sont indépendants.
Répondre aux questions 2, 3, 4 ci-dessous en arrondissant à 10−3près, et pour la question 6, arrondir
à10−2près.
1. Tracer un arbre pondéré représentant la sit-
uation des quatre penalties successifs.
2. Calculer la probabilité que ce footballeur ait
trois succès.
3. Calculer la probabilité que ce footballeur
n’ait aucun succès.
4. Calculer la probabilité que ce footballeur ait
au moins un succès.
5. On appelle X la variable aléatoire égale au
nombre de succès. Dresser le tableau donnant
la loi de probabilité de X. Détailler les calculs
de probabilité manquants.
6. Représenter graphiquement cette loi de prob-
abilité par un diagramme en bâtons.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
01234
P(X = k)
X = k
1. Jacques Bernoulli est un mathématicien suisse né en 1654, mort en 1705. Il posa les principes du calcul des
probabilités.
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Chapitre 11 – Loi binomiale I EXERCICES – page I-2
3 Coefficients binomiaux et triangle de Pascal
Dans l’exercice précédent l’arbre pondéré est assez long à tracer, de plus le comptage du nombre de
chemins réalisant par exemple 2 succès pour 4 répétitions a été assez long.
Il faut donc en arriver à des formules de calculs. C’est le but de ce qui va suivre.
Dans un arbre pondéré qui représente un schéma de Bernoulli, répétition de népreuves de Bernoulli, le
nombre de chemins de l’arbre réalisant ksuccès pour nrépétitions s’appelle un coefficient binomial
et il se note n
k!.
Le tableau ci-dessous s’appelle triangle de Pascal 2.
1. Compléter la ligne 1 qui correspond à un « mini-arbre » pour une seule épreuve de Bernoulli
(succès / échec).
2. Compléter la ligne 2 qui correspond à un arbre pour deux épreuves successives de Bernoulli,
identiques et indépendantes.
3. Compléter les lignes 3 et 4 à l’aide des exercices précédents.
4. Dans la ligne 5, on peut déterminer 5
0!, 5
1!, 5
4!, et 5
5!, sans tracer d’arbre, en réfléchissant
un peu.
5. Pour 5
2!, voici des indications :
5
2!est le nombre de chemins réalisant 2 succès pour 5 répétitions.
Parmi ces chemins il y a ceux qui commencent par un succès, et les autres qui commencent par
un échec.
Déterminer le nombre de chemins dans chaque cas et conclure.
6. Déterminer 5
3!. Indication : s’il y a 3 succès, il y a 2 échecs.
n
k012345
1 1
0!= 1
1!=
2 2
0!= 2
1!= 2
2!=
3 3
0!= 3
1!= 3
2!= 3
3!=
4 4
0!= 4
1!= 4
2!= 4
3!= 4
4!=
5 5
0!= 5
1!= 5
2!= 5
3!= 5
4!= 5
5!=
2. Blaise Pascal, né en 1623, mort en 1662, est un mathématicien, physicien et philosophe français.
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Chapitre 11 – Loi binomiale I EXERCICES – page I-3
4
Dans une région pétrolifère, la probabilité qu’un forage conduise à une nappe de pétrole est p= 0,1.
On effectue successivement 5 forages, que l’on peut considérer comme identiques et indépendants.
Calculer la probabilité que deux forages conduisent à une nappe de pétrole. Détailler le calcul.
5
Une entreprise fabrique des assiettes. On sait que 6 % des assiettes fabriquées présentent un défaut.
On choisit au hasard 20 assiettes pour vérifier leur état.
Calculer la probabilité que 3 assiettes comportent des défauts. Détailler le calcul.
6
Dans un fast-food, on considère que la probabilité d’avoir un steack haché invendable est de 4 %.
Dans un lot de 300 steacks hachés, calculer la probabilité que 7 steaks soient invendables. Détailler
le calcul.
7
En France, la probabilité qu’une personne ait de l’hypertension est p= 0,3. On choisit dix personnes
au hasard et de manière indépendante et on vérifie si elles ont de l’hypertension. On appelle X la
variable aléatoire égale au nombre de personnes ayant de l’hypertension.
1. Compléter le tableau ci-dessous, qui donne la loi de probabilité de X. Arrondir à 10−4près.
2. (a) Calculer l’espérance E(X).
(b) Que signifie-t-elle ?
(c) Pouvait-on s’attendre au résultat ?
3. (a) Sur la feuille suivante, tracer le diagramme bâtons qui représente cette loi de probabilité.
Arrondir les probabilités à 10−2près.
(b) Où retrouve-t-on l’espérance E(X) sur ce diagramme bâtons ?
X=k012345678910
P(X=k)
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Chapitre 11 – Loi binomiale I EXERCICES – page I-4
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
0.18
0.20
0.22
0.24
0.26
0.28
012345678910
P(X = k)
X = k
8
Dans les transports en commun d’une ville il y a 9 % des voyageurs qui fraudent. Dans cette ville
on contrôle 200 personnes. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de fraudeurs sur ces
200 personnes. On admet que X suit une loi binomiale.
1. Quels sont les paramètres net pde cette loi binomiale ?
2. Après un grand nombre de jours de contrôles, quelle sera la moyenne de fraudeurs par jours ?
3. Il a 5 000 voyageurs par jour dans cette ville et le prix du ticket est 1,90 e. Quel doit être le
prix de l’amende pour que, en moyenne et à long terme, la compagnie de transports ne perde
pas d’argent avec les fraudeurs.
9
Un commercial dans un central d’appel contacte 60 clients par jour au téléphone et il sait que la
probabilité qu’une personne lui passe une commande est de 2 %. On appelle X la variable aléatoire
égale au nombre de personnes qui lui passent une commande sur ces 60 personnes.
1. Quelle loi suit la variable aléatoire X ? Préciser ses paramètres.
2. Calculer l’espérance de X.
3. Indiquer la signification du résultat précédent.
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