Lycée Thiers - MP Devoir maison 3 2016

Lyc´ ee Thiers - MP Devoir maison 3 2016-17
On note Mn(R)l’ensemble des matrices carr´ ees d’ordre n` a coefficients r´ eels.
Soit Nl’ensemble des matrices de Mn(R)dont les coefficients diagonaux sont tous
nuls.
Soit Cl’ensemble des matrices de Mn(R)de la forme XY −Y X o` uXet Ysont
deux matrices de Mn(R). Les ´ el´ ements de Cs’appellent des commutateurs.
Soit Hl’ensemble des matrices de Mn(R)de trace nulle.
PARTIE I
Les ´el´ements de Nsont des commutateurs
Soit Dune matrice diagonale de Mn(R)telle que pour tout iet jcompris entre 1 et
n, si i6=jalors dii 6=djj .
1. Montrer que Nest un sous espace vectoriel de Mn(R)et d´ eterminer sa dimen-
sion.
2. Calculer pour tout Mde Mn(R)le terme g´ en´ eral de DM −MD.
3. Soit ϕl’endomorphisme de Mn(R)qui a une matrice Massocie la matrice
DM −MD.
D´ eterminer le noyau de ϕainsi que sa dimension.
4. Montrer alors que Imϕ=N.
PARTIE II
Etude de l’espace vectoriel engendr´e par les commutateurs
On note Fl’espace vectoriel engendr´ e par Cet p= dim F.
On d´ esigne par Gl’ensemble des formes lin´ eaires ϕd´ efinies sur Mn(R)telles que
pour tout Mdans F,ϕ(M) = 0.
Soit (e1, . . . , ep)une base de Fque l’on compl` ete en une base (e1, . . . , en2)de
Mn(R).
1. Montrer que F ⊂ H et que Gest un sous espace vectoriel de L(Mn(R),R).
2. a. Pour tout couple (i, j)d’entiers compris entre 1 et n, on note Eij la matrice
de Mn(R)dont tous les termes sont nuls sauf celui situ´ e` a l’intersection
de la ligne iet de la colonne j.
Calculer pour i6=j,EiiEij −Eij Eii et Eij Eji −EjiEij
b. En d´ eduire que si ϕappartient ` aGalors, il existe un r´ eel λtel que pour
tout Mde Mn(R),ϕ(M) = λTr(M).
c. Conclure que dim G= 1.
3. Pour tout jcompris entre 1 et n2soit ϕjla forme lin´ eaire d´ efinie sur Mn(R)
telle que pour tout entier kcompris entre 1 et n2,ϕj(ek) = δjk .
Montrer que (ϕp+1, . . . , ϕn2)est une famille libre d’´ el´ ements de G. En d´ eduire
que n2−16p.
4. Conclure que F=H.
PARTIE III
Toute matrice de trace nulle est un commutateur
1. Soit uun endomorphisme de Rn. Montrer que si pour tout xde Rn,xet u(x)
sont li´ es alors uest une homoth´ etie. (On pourra raisonner dans la base canon-
ique (b1, . . . , bn)de Rnet utiliser u(b1+bi)pour i>2).
Dans toute la suite, ud´ esignera un endomorphisme non nul de trace nulle.
2. Justifier l’existence d’un vecteur xde Rntel que la famille (x, u(x)) soit libre.
3. Soit Aune matrice de Mn(R)non nulle de trace nulle.
a. Montrer qu’il existe une matrice Pinversible telle que A=P A0P−1avec
A0=0Y
Z A00 o`
uA00 est un ´ el´ ement de Mn−1(R)de trace nulle, Yest
une matrice a une ligne et n−1colonnes et Zest la matrice colonne ` an−1
lignes Z=
1
0
.
.
.
0
.
b. Si Rest une matrice inversible de Mn−1(R), calculer
1 0
0R0Y Z A00 1 0
0R−1.
4. En raisonnant par r´ ecurrence sur n, montrer qu’il existe une matrice Qin-
versible de Mn(R)telle que A=QBQ−1o` uBest une matrice dont tous les
coefficients diagonaux sont nuls.
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5. En utilisant la premi` ere partie, montrer que si Aappartenant ` aMn(R)est une
matrice de trace nulle, alors il existe deux matrices Get Hde Mn(R)telles que
A=GH −HG.
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