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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 1/22
CCP Maths 1 PC 2001 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Alexander Gewirtz (ENS Lyon) et Thomas Chomette
(ENS Ulm) ; il a été relu par Benoît Chevalier (ENS Ulm) et David Lecomte (ENS
Cachan).
Ce problème d’algèbre linéaire comporte deux parties.
•La première partie commence par des rappels et des questions sur les matrices
symétriques réelles. Ensuite, on cherche à déterminer, pour A∈ Mn,p(R)don-
née, une décomposition en valeurs singulières. On démontre également des re-
lations classiques entre les noyaux et images de Aet de tA.
•La deuxième partie de ce sujet introduit la notion de pseudo-inverse d’une
matrice. Le but de cette partie est d’étudier ce pseudo-inverse et de montrer
que celui-ci est bien défini. Enfin, pour finir, on illustre l’intérêt du pseudo-
inverse d’une matrice sur un problème d’optimisation dans R2: on peut calculer
facilement le projeté orthogonal d’un vecteur sur l’image de la matrice.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 2/22
Indications
Partie I
I.2 Utiliser le théorème de réduction des matrices symétriques réelles.
I.3.b Utiliser le fait que hAx, yin=hx, tAyip.
I.4.a Attention à l’erreur dans l’énoncé. Pour le produit par blocs, il faut lire −xIp
dans la deuxième matrice, et non Ip.
I.4.b Le déterminant est invariant par transposition.
I.5 Utiliser la relation entre les polynômes caractéristiques obtenue à la question
I.4.b.
I.6.a Aest supposée non nulle.
I.6.b Constater que r= rg ( tA A) et utiliser le théorème du rang.
I.6.c Calculer kAVik2.
I.6.d Remplacer Uipar µ−1
iAVi.Viest un vecteur propre de tA A.
I.6.e Calculer ktA Uik2.
I.6.f Regarder d’abord (U1,...,Ur)puis montrer que les deux familles sont ortho-
gonales.
I.7.b Les matrices Uet Vsont orthogonales.
I.9.a Vérifier que les applications linéaires coïncident sur la base de Rp.
I.9.b Utiliser la décomposition de Aobtenue à la question I.7.b et celle de Vobtenue
à la question I.9.a.
I.9.c Utiliser les questions I.6.d, e et f. (U1,...,Un)et (V1,...,Vp)sont des bases
orthonormales.
Partie II
II.3 Calculer l’image des bases canoniques.
II.4 Uet Vsont orthogonales.
II.5 Imiter la méthode des questions I.9.a et I.9.b.
II.6.a Utiliser la décomposition de AA+obtenue à la question II.5.
II.6.b Combiner les résultats des questions II.5 et I.9.c.
II.7 Utiliser les résultats des questions II.6.b et II.5.
II.9.b Utiliser la question II.5 et montrer que Bet A+coïncident sur la base
(U1,...,Un): distinguer les cas i6ret i > r.
II.10 Utiliser les questions I.9.b et II.5 puis substituer A+àA.
II.12.a Pour un projecteur p, Im (p−id ) = Ker (p)puis utiliser les résultats de la
question II.8 ainsi que Pythagore.
II.12.b Évaluer l’expression du théorème de Pythagore en X = H′.
II.12.c La borne inférieure est atteinte en H.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 3/22
Partie I
I.1 Soit A∈ Mn,p(R). Montrons que tA A est nulle si et seulement si Aest nulle.
•Supposons Anulle. Alors il est clair que tA A est nulle.
•Réciproquement, si la matrice tA A est nulle, ses coefficients diagonaux sont
en particulier nuls. Or si l’on désigne par ai,j le terme général de la matrice A,
le coefficient diagonal (i, i)de la matrice tA A n’est autre que :
n
P
k=1
ak,i2
Leur nullité implique donc la nullité de tous les termes ak,i.Aest alors la
matrice nulle.
Ainsi tA A = 0 ⇐⇒ A = 0
Nous n’avons utilisé pour montrer que Aest nulle que les coefficients dia-
gonaux de tA A. Une hypothèse en apparence plus faible serait de supposer
simplement que la matrice tA A est de trace nulle. Cela suffit bien entendu
pour conclure, vu que :
Tr tA A=
n
P
i=1
p
P
j=1
a2
i,j
Une autre preuve, utilisant la structure euclidienne de Rp, consiste à dire
que : si tA A est nulle, alors pour tout x∈Rp,tA Ax= 0.
Donc pour tout x∈Rp,txtA Ax= 0, soit pour tout x∈Rp,
t(Ax) Ax= 0.
C’est-à-dire ∀x∈RpkAxk2= 0
Soit encore pour tout x∈Rp,Ax= 0 et donc A = 0.
Cette preuve, quoique plus élegante que celle mettant en oeuvre le calcul
des coefficients de tA A, utilise cependant le résultat demandé à la question
I.3.a. C’est pourquoi nous ne la présentons qu’en remarque.
I.2 Dans toute la suite on suppose Anon nulle.
Les matrices tA A et AtAsont toutes deux des matrices symétriques réelles. Par
conséquent :
tA A et AtAsont diagonalisables au moyen de matrices orthogonales.
I.3.a Soient X,Ydeux éléments de Mn,1(R).
Soient (x1,...,xn)et (y1,...,yn)les coordonnées respectives de Xet Ydans la
base canonique de Rn. On a alors par définition du produit scalaire sur Rn:
hX,Yin=
n
P
k=1
xkyk
Or, en identifiant M1(R)et R, il vient tX Y =
n
P
k=1
xkyk. Ainsi, on a
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 4/22
hX,Yin=tX Y
I.3.b Soit Wun vecteur propre de tA A associé à la valeur propre λ. On a :
kAWk2=hAW,AWin=hW,tA AWip=hW, λWip=λkWk2
Par conséquent, kAWk2=λkWk2
I.3.c Soient λune valeur propre de tA A et Wun vecteur propre non nul associé
à la valeur propre λ.
D’après la question I.3.b, on a kAWk2=λkWk2. Or West non nul, donc kWk 6= 0.
Par suite, λ=kAWk2
kWk2
Donc λest un réel positif.
Ainsi ∀λ∈sp(tA A) λ∈R+
I.4.a Soit xun réel. Alors :
xInA
tA Ip−In0 tA−xIp=AtA−xIn−xA
0−xIp
De même, on a :
xInA
tA Ip−InA
0−xIp=−xIn0
−tAtA A −xIp
I.4.b On constate que :
−In0
tA−xIp=
t−InA
0−xIp
Par conséquent, ces deux matrices carrées ont même déterminant. Ainsi :
xInA
tA Ip−In0 tA−xIp
=
xInA
tA Ip−InA
0−xIp
Soit 
AtA−xIn−xA
0−xIp
=
−xIn0
−tAtA A −xIp
Par conséquent (−X)pχAtA(X) = (−X)nχtA A (X)
où χest le polynôme caractéristique.
Soit (−X)pΠ
λ∈sp(AtA)
(X −λ)ωλ= (−X)nΠ
λ∈sp(tA A)
(X −λ)ω′
λ
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