Télécharger

TSI2
no4
A, B Mn(K)P B =P−1AP
(B) = ((P−1A)P) = (P(P−1A)) = (A)
BE f ∈ L(E)f
fBf)
B0P
B0f=P−1Bf)P
BfB0f
f
f, g, h ∈ L(E)f=g◦h−h◦g A B g h
E
f= (g◦h−h◦g)
= (AB −BA)
= (AB)−(BA)
= 0
f=g◦h−h◦g=⇒f= 0
E n = 2 f
f λ f
A=λ0
0λ
tr f= tr A= 2λ= 0 λ= 0
f
f
A=a b
c−a
A2=a2+bc 0
0a2+bc 
(f) = 0 =⇒f2
f−→ u∈E, −→ u f(−→ u)E
f2λ f2(−→ u) = λ−→ u
(−→ u ,f(−→ u))f=0λ
1 0 
E f

dim E= 3 E(−→ e1,−→ e2,−→ e3)f
A=
2−2 1
0−1 1
1−1−1
A2=
5−3−1
1 0 −2
101
, A3=
9−6 3
0 0 3
3−3 0
A3= 3(A+I)
f3= 3(f+idE)
A A2
f(−→ e1)=2−→ e1+−→ e3
f2(−→ e1)=5−→ e1+−→ e2+−→ e3
(−→ e1,−→ e2,−→ e3)−→
e1, f(−→ e1), f2(−→ e1)=
125
001
011
6= 0
−→
e1, f(−→ e1), f2(−→ e1)E
f3(−→ e1)=3f(−→ e1)+3−→ e1f3= 3(f+idE)
−→
e1,f(−→ e1),f2(−→ e1)f=
003
103
010
E n f
f
−→
u∈E−→ u f(−→ u)
A f (−→ u , −→ u2,...,−→ un)
A=
0a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
an1an2. . . ann
a11 = 0 f(−→ u)∈F= (−→ u2,...,−→ un)
i∈ {2, . . . , n}
f(−→ ui) = a1i−→ u+a2i−→ u2+· · · +ani−→ un
g(−→ ui) = p(f(−→ ui)) = a2i−→ u2+· · · +ani−→ un
B g (−→ u2,...,−→ un)
B=
a22 . . . a2n
an2. . . ann
A
B) = A)g) = f)f
g)=0

TSI2
f
f
n−1
f∈ L(E)
•f f = 0
•f−→ u−→ u f(−→ u)F
−→
u f(−→ u). p F −→ u g ∈ L(F)
g(−→ x) = p◦f(−→ x)−→ x∈F
g) = f g)=0 g
(−→ u2,...,−→ un)F g
f(−→ u , −→ u2,...,−→ un)
∀f∈ L(E)E f
Mn(K)D= (1,2, . . . , n)ϕMn(K)
∀A∈ Mn(K), ϕ(A) = DA −AD
aij A i j
DA −AD
i×aij −aij ×j
(i−j)×aij DA −AD
i6=j aij = 0
ϕ
dim Ker ϕ=n
N n ×n
Im ϕ⊂Ndim Im ϕ=n2−dim Ker ϕ=n2−n= dim N
Im ϕ=N
Im ϕ
f M(f)
M(f)∈Im ϕ
A M(f) = DA −AD g h
L(E)f=g◦h−h◦g
E f E
f⇐⇒ ∃g, h ∈ L(E)f=g◦h−h◦g