Lycée Thiers - MP Devoir maison 3 2016

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On note Mn (R) l’ensemble des matrices carrées d’ordre n à coefficients réels.
b. En déduire que si ϕ appartient à G alors, il existe un réel λ tel que pour
tout M de Mn (R), ϕ(M ) = λTr(M ).
Soit N l’ensemble des matrices de Mn (R) dont les coefficients diagonaux sont tous
nuls.
c. Conclure que dim G = 1.
3. Pour tout j compris entre 1 et n2 soit ϕj la forme linéaire définie sur Mn (R)
telle que pour tout entier k compris entre 1 et n2 , ϕj (ek ) = δjk .
Soit C l’ensemble des matrices de Mn (R) de la forme XY − Y X où X et Y sont
deux matrices de Mn (R). Les éléments de C s’appellent des commutateurs.
Montrer que (ϕp+1 , . . . , ϕn2 ) est une famille libre d’éléments de G. En déduire
que n2 − 1 6 p.
Soit H l’ensemble des matrices de Mn (R) de trace nulle.
PARTIE I
Les éléments de N sont des commutateurs
4. Conclure que F = H.
PARTIE III
Toute matrice de trace nulle est un commutateur
Soit D une matrice diagonale de Mn (R) telle que pour tout i et j compris entre 1 et
n, si i 6= j alors dii 6= djj .
1. Montrer que N est un sous espace vectoriel de Mn (R) et déterminer sa dimension.
1. Soit u un endomorphisme de Rn . Montrer que si pour tout x de Rn , x et u(x)
sont liés alors u est une homothétie. (On pourra raisonner dans la base canonique (b1 , . . . , bn ) de Rn et utiliser u(b1 + bi ) pour i > 2).
2. Calculer pour tout M de Mn (R) le terme général de DM − M D.
3. Soit ϕ l’endomorphisme de Mn (R) qui a une matrice M associe la matrice
DM − M D.
Dans toute la suite, u désignera un endomorphisme non nul de trace nulle.
Déterminer le noyau de ϕ ainsi que sa dimension.
2. Justifier l’existence d’un vecteur x de Rn tel que la famille (x, u(x)) soit libre.
4. Montrer alors que Imϕ = N .
3. Soit A une matrice de Mn (R) non nulle de trace nulle.
a. Montrer
une matrice P inversible telle que A = P A0 P −1 avec
qu’il existe
0 Y
A0 =
où A00 est un élément de Mn−1 (R) de trace nulle, Y est
Z A00
une matricea une
 ligne et n − 1 colonnes et Z est la matrice colonne à n − 1
1
0
 
lignes Z =  . .
 .. 
0
PARTIE II
Etude de l’espace vectoriel engendré par les commutateurs
On note F l’espace vectoriel engendré par C et p = dim F.
On désigne par G l’ensemble des formes linéaires ϕ définies sur Mn (R) telles que
pour tout M dans F, ϕ(M ) = 0.
Soit (e1 , . . . , ep ) une base de F que l’on complète en une base (e1 , . . . , en2 ) de
Mn (R).
b. Si
R est une
matrice
inversible
1
0
1 0
0 Y
.
0 R
Z A00
0 R−1
1. Montrer que F ⊂ H et que G est un sous espace vectoriel de L(Mn (R), R).
2.
2016-17
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a. Pour tout couple (i, j) d’entiers compris entre 1 et n, on note Eij la matrice
de Mn (R) dont tous les termes sont nuls sauf celui situé à l’intersection
de la ligne i et de la colonne j.
Calculer pour i 6= j, Eii Eij − Eij Eii et Eij Eji − Eji Eij
de
Mn−1 (R),
calculer
4. En raisonnant par récurrence sur n, montrer qu’il existe une matrice Q inversible de Mn (R) telle que A = QBQ−1 où B est une matrice dont tous les
coefficients diagonaux sont nuls.
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5. En utilisant la première partie, montrer que si A appartenant à Mn (R) est une
matrice de trace nulle, alors il existe deux matrices G et H de Mn (R) telles que
A = GH − HG.
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