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ds 5 Nombres Complexes
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Exercice 1. [5 pts] Équations
On se propose d’étudier les solutions de l’équation (E) z3+ 1 = 0
1. Vérifier que pour tout nombre complexe z, on a :
z3+ 1 = (z+ 1)(z2−z+ 1)
2. En déduire les solutions de (E) .
Donner chaque résultat sous forme algébrique puis sous forme exponentielle.
3. Placer les images A, B et C de ces solutions sur une figure en tenant compte des renseignements
suivants :
- l’affixe ade Aest un réel
- l’affixe bde Best un nombre complexe dont la partie imaginaire est strictement positive
4. Montrer que ABC est un triangle équilatéral et que Oest le centre du cercle circonscrit à ce
triangle.
Exercice 2. [5 pts] Forme exponentielle
1. On considère z1=eiπ
3,z2=eiπ 4et Z=z1
z2
a) Mettre sous forme algébrique z1et z2.
b) En déduire la forme algébrique de Z
c) Mettre Zsous forme exponentielle : que peut-on en déduire pour le cosinus et le sinus de
π
12 ?
2. On note z=1 + i
√2.
a) Mettre zsous forme exponentielle.
b) En déduire la forme exponentielle puis la forme algébrique de z2013
c) Soit nun entier naturel : pour quelles valeurs de nle nombre znest réel ?
Exercice 3. [10 pts] Lieux
Dans le plan rapporté au repère orthonormé (O , −→ u , −→ v), on note Aet Bles points d’affixes
respectives a= 3 −iet b=i.
On note Cle milieu du segment [AB]et Mun point quelconque du plan d’affixe z=x+iy (xet
yréels) .
On se propose d’étudier de deux façons différentes le quotient
Z=z−b
z−a
1. Figure.
Placer les points A,Bet C. Construire le cercle (C)de diamètre [AB]. Construire la droite
(AB)puis la droite (∆) médiatrice du segment [AB].
2. Déterminer l’affixe cdu point C.
Vérifier que si z=9
2−2i, alors Zest un réel.
Vérifier que si z= 3 + i, alors Zest un imaginaire pur.
3. Déterminer le nombre complexe zqui est tel que Z=i.
4. Dans cette question, on étudie l’expression de Zen fonction des réels xet y:
Z=(x+iy)−i
(x+iy)−(3 −i)

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a) Déterminer la partie réelle puis la partie imaginaire de Z
b) En déduire une équation de l’ensemble des points Mtels que le quotient Zest un réel.
Préciser l’ensemble obtenu.
c) De manière analogue, déterminer l’ensemble des points Mtels que le quotient Zest un
imaginaire pur.
5. Solution géométrique.
a) Montrer que Zest le quotient des affixes de deux vecteurs.
b) Quelle propriété géométrique est vérifiée par ces vecteurs lorsque Zest réel ? lorsque Zest
imaginaire pur ?
c) Retrouver les résultats de la question précédente.
6. Déterminer l’ensemble des points Mtels que Zest un nombre complexe de module 1.

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Exercice 1. Équations
1. On développe :
(z+ 1)(z2−z+ 1) = z3+z2−z2−z+z+ 1 = z3+ 1
2. L’équation (E) est donc équivalente à z+ 1 = 0 ou z2−z+ 1 = 0.
La première équation a une solution z0=−1.
Le discriminant de la deuxième équation est
∆=(−1)2−4×1×1 = −3
Elle a donc deux solutions complexes conjuguées :
z1=1−i√3
2et z2=1 + i√3 2
L’équation (E) a par conséquent trois solutions dans Cqui sont z0,z1et z2.
On peut écrire :
z0=−1 = cos π+isin π=eiπ
z1=1
2−i√3 2= cos −π 3+isin −π 3=e−iπ
3
z2=1
2+i√3 2= cos π 3+isin π 3=eiπ
3
3. Figure
O
−→
u
−→
v
A
B
C
4. On va calculer les trois côtés de ABC :
AB =|b−a|=
1
2+i√3 2+ 1
=
3
2+i√3 2
=r9
4+3 4=√3
AC =|c−a|=
1
2−i√3 2+ 1
=
3
2−i√3 2
=r9
4+3 4=√3
CB =|b−c|=
1
2+i√3 2−1 2+i√3 2
=
i√3 =√3
Le triangle ABC est donc équilatéral.
On peut alors remarquer que |a|=|b|=|c|= 1, ce qui se traduit par OA =OB =OC = 1.
Le point Oest donc le centre du cercle circonscrit à ce triangle.
Exercice 2. Forme exponentielle
1. a) Formes algébriques
z1= cos π
3+isin π 3=1 2+i√3 2=1 + i√3 2
z2= cos π
4+isin π 4=√2 2+i√2 2=√2 + i√2 2
b) Calcul de Zsous forme algébrique :

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4
Z=1 + i√3
√2 + i√2×√2−i√2 √2−i√2
=(√6 + √2) + i(√6−√2)
4
c) Calcul de Zsous forme exponentielle :
Z=eiπ
3
eiπ
4
=ei(π
3−π 4)=eiπ
12
On en déduit :
cos π
12 =R´e(Z) = √6 + √2 4
sin π
12 =Im(Z) = √6−√2 4
2. a) Soit rle module de z:
r=r1
2+1 2= 1
Soit θun argument de z:
cos θ=1
√2=√2
2
sin θ=1
√2=√2
2
⇐⇒ θ=π
4+k·2π
On en déduit z=eiπ
4
b) On obtient : z2013 =ei2013π
4.
On écrit alors : 2013 = 251 ×8+5, ce qui implique :
2013π
4= 251 ×2π+5π 4
Un autre argument de z2013 est donc 5π
4:
z2013 = cos 5π
4+isin 5π 4=−√2 2−i√2 2
c) Le nombre zna pour argument nπ
4et ce nombre est un réel lorsque :
nπ
4=kπ où k∈Z
Cette condition est équivalente à n= 4k: il faut donc que nsoit un multiple de 4 .
Exercice 3. Lieux
1. Figure.
O
−→
u
−→
v
A
B
C
∆

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2. Affixe du point C:c=a+b
2=3 2
Si z=9
2−2i:Z=
9
2−2i−i
9
2−2i−3 + i=
9
2−3i
3
2−i= 3
Le nombre Zest alors un réel.
Si z= 3 + i:Z=3 + i−i
3 + i−3 + i=3 2i=−3i 2
Le nombre Zest alors un imaginaire pur.
3. On cherche maintenant à résoudre pour z6= 3 −il’équation
Z=i⇐⇒ z−i
z−3 + i=i
⇐⇒ z−i=iz −3i−1
⇐⇒ (1 −i)z=−2i−1
⇐⇒ z=−1−2i
1−i×1 + i 1 + i
⇐⇒ z=1−3i
2
4. a) Calcul de Zsous forme algébrique
Z=(x+iy)−i
(x+iy)−(3 −i)
=x+i(y−1)
(x−3) + i(y+ 1) ×(x−3) −i(y+ 1) (x−3) −i(y+ 1)
=[x(x−3) + (y−1)(y+ 1)] + i[(x−3)(y−1) −x(y+ 1)]
(x−3)2+ (y+ 1)2
On en déduit les parties réelle et imaginaire de Z:
R´e(Z) = x2+y2−3x−1
(x−3)2+ (y+ 1)2
Im(Z) = −2x−3y+ 3
(x−3)2+ (y+ 1)2
b) Les points Mtels que le quotient Zest un réel ont des coordonnées qui vérifient :
Im(Z)=0 ⇐⇒ −2x−3y+ 3 = 0
(x , y)6= (3 ,−1)
On obtient la droite d’équation −2x−3y+ 3 = 0 privée du point de coordonnées (3 ,−1) .
Cette droite passe par Acar
−2xA−3yA+ 3 = −2×3−3× −1 + 3 = 0
Elle passe également par Bcar
−2xB−3yB+ 3 = −2×0−3×1 + 3 = 0
L’ensemble cherché est donc la droite (AB)privée de A.
c) Les points Mtels que le quotient Zest un imaginaire pur ont des coordonnées qui vérifient :
R´e(Z)=0 ⇐⇒ x2+y2−3x−1=0
(x , y)6= (3 ,−1)
On obtient le cercle d’équation x2+y2−3x−1privé du point de coordonnées (3 ,−1) .
On peut écrire l’équation du cercle sous la forme suivante :
x−3
22
+y2=13
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