Savoirs-faire sur les nombres complexes.

Savoirs-faire sur les nombres complexes.
1) Passer de l'écriture algébrique à celle exponentielle (ou trigonométrique), et réciproquement.
2) Savoir remplacer des calculs vectoriels par des calculs sur des affixes (notamment dans le
cas d'un barycentre, en particulier si m est l'affixe du milieu de [AB], on a, avec des
notations évidentes : m=1/2 (a+b) ).
3) Savoir calculer une distance entre deux points du plan complexe (utiliser le module de la
différence).
4) Savoir calculer un angle orienté (utiliser le quotient -dans le bon ordre- des affixes des deux
vecteurs de l'angle).
5) Le quotient calculé au point précédent s'il est réel caractérise des situations d'alignement (et
dans le même ordre si le quotient est réel positif) et des situation de perpendicularité (si le
même quotient est imaginaire pur).
6) Donner (directement ou -si ROC- en le prouvant) l'écriture complexe d 'une rotation, d'une
translation, d'une homothétie.
7) Savoir utiliser l'écriture précédente pour calculer l'image d'un point donné par une des
transformations citées au point précédent.
8) Savoir identifier une écriture complexe : z'=az+b (trois cas à connaître en fonction de a, si la
transformation comporte un centre d'affixe c, on le détermine sachant que c'est un point fixe
i.e. Qu'on a : c=ac+b).
9) Savoir déterminer avec les complexes l'équation paramétrique ou l'équation cartésienne d'un
cercle. En particulier, l'équation paramétrique permettra de déterminer l'image d'un cercle
donné par une application du plan complexe donné par l'énoncé.
10) Savoir déterminer si 4 points (A(a),B(b),C(c),D(d))sont cocycliques (i.e sur le même
cercle) :
1. En utilisant une représentation paramétrique du cercle candidat.
2. En déterminant la forme exponentielle de z-o (où z est successivement l'affixe de
chacun des points et o l'affixe du centre du cercle supposé) ou, plus simplement,
le module de z-o.
3. En utilisant la caractérisation angulaire de la cocyclicité, qui avec les complexes
revient à montrer que les arguments de (c-a)/(c-b) et (d-a)/(d-b) sont égaux.
11) Savoir résoudre une équation de degré 2 dans l'ensemble des complexes.
12) Savoir utiliser des solutions évidentes ou des changements de variables (t=z^2) pour se
ramener à des équations de degré 2.
13) Savoir déterminer les racines carrées d'un nombre complexe (passer par la forme
exponentielle).
14) Savoir déterminer si un triangle ABC est équilatéral : plusieurs méthodes suivant les
questions qui précèdent dans l'énoncer :
1. 3 côtés (ici modules) égaux.
2. 2 côtés (ici module) égaux et un angle (argument du quotient associé).
3. 3 angles égaux.
4. B est l'image de C par la rotation de centre A et d'angle pi/3 (ou -pi/3, faire une
figure pour ne pas se tromper).