MP Résumé 16 : Polynomes d`endomorphismes

MP Lycée Berthollet, 2014/2015 http://mpberthollet.wordpress.com
Résumé 16 : Polynomes d’endomorphismes
Dans tout ce cours Esera un K−espace vectoriel de dimension n∈N∗.
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1LE POLYNÔME CARACTÉRISTIQUE
uest ici un endomorphisme de E. J’ai pensé que ces rappels ne seraient pas
inutiles.
Définition 1.1 (Polynôme caractéristique d’un endomorphisme)
Le polynôme caractéristique de uest défini par :
χu(X)=(−1)ndet(u−XIdE).
Les racines de χusont les valeurs propres de u. Pour toute valeur propre λ
de u, on note Mult(λ)la multiplicité de λen tant que racine de χu.
Proposition 1.2 (Propriétés du polynôme caractéristique)
1. χuest un polynôme unitaire de degré n.
2. χu(X) = Xn+ (−1)n−1Trace (u)Xn−1+. . . + (−1)ndet u
3. Pour toute valeur propre λde u, on a 16dim(Eλ)6Mult(λ).
REMARQUES :
1. Si dim E= 2, alors χu(X) = X2−Trace (u)X+ det u.
2. Si uest un projecteur de rang r, alors χu(X)=(X−1)rXn−r.
3. Il faudrait savoir calculer le polynôme caractéristique d’un matrice compagnon.
Théorème 1.3 (Critère assurant qu’un endomorphisme est diagonalisable)
uest diagonalisable si et seulement si les deux propriétés suivantes sont véri-
fiées :
1. le polynôme caractéristique de u est scindé
2. ∀λ∈Sp(u),Mult(λ) = dim Eλ(u).
Proposition 1.4 (Cas particuliers)
1. Si λest une racine simple du polynôme caractéristique alors dim Eλ= 1.
Les racines simples ne nécessitent aucune vérification lorsque l’on sou-
haite s’assurer qu’un endomorphisme est diagonalisable.
2. Si le polynôme caractéristique est scindé et à racines simples alors u est
diagonalisable et les espaces propres sont des droites.
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2POLYNÔMES D’ENDOMORPHISMES ET DE MATRICES
§ 1. Autour de la sous-algèbre K[u].— ou K[M]si Mest une matrice carrée ;
Définition 2.1
Soit P(X) = a0+a1X+. . . +amXm∈K[X], et u∈L(E).
1. Soit k∈N∗. On note uk=uo . . . ou
| {z }
kfois
et u0=IdE.
2. On définit P(u) = a0IdE+a1u+. . . +amum=
m
X
k=0
akuk.
P(u) est un endomorphisme de E, comme u.
3. Soit A une matrice carrée à coefficients dans K.
On définit la matrice P(A) = a0I+a1A+. . . +anAn.
REMARQUES :
ATTENTION : Soit xun vecteur de E. P(u)(x)est un vecteur, mais Pu(x)n’a pas de
sens. De même, si Xest un vecteur colonne de taille n, P(A)Xest un vecteur colonne
de taille nmais P(AX)n’a pas de sens.
Propriétés 2.2
L’application ΦuK[X]−→ L(E)
P(X)7−→ P(u)
est un morphisme d’algèbres.
En particulier, cela signifie que (P Q)
| {z }
loi ×
(u) = P(u)◦Q(u)
| {z }
loi ◦
.
Proposition 2.3
Soient u∈L(E), A et B∈Mn(K),Pet Q∈K[X].
1. Les polynômes en ucommutent : P(u)oQ(u)=(P×Q)(u) = Q(u)oP (u).
2. Les polynômes en Acommutent : P(A)×Q(A)=(P×Q)(A) = Q(A)×
P(A).
3. Soit Hune matrice carrée inversible.
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(a) Si k∈N, alors H−1AkH= (H−1AH)k.
(b) H−1P(A)H=P(H−1AH).
(c) Si Aet Bsont semblables alors P(A)et P(B)aussi.
(d) Si Aest diagonalisable alors P(A)est diagonalisable.
(e) P(tA) = tP(A)et P(A) = P(A).
Proposition 2.4 (Lien entre le spectre de uet le spectre de P(u))
Soient u∈L(E)et P∈K[X].
1. Soient λ∈Ket x∈E. Si u(x) = λx alors P(u)(x) = P(λ)x.
2. Si λ∈Sp(u)alors P(λ)∈Sp(P(u)).
§ 2. Le polynôme minimal µu.— En utilisant le fait que tous les anneaux de
K[X]sont principaux, nous montrons :
Définition 2.5
Soit u∈L(E), où Eest de dimension finie. Il existe un unique polynôme µu
unitaire de K[X]tel que ker Φu=πuK[X]. Ce polynôme est appelé polynôme
minimal de u.
En clair, cela signifie :
Propriétés 2.6 (de µu)
Soit u∈L(E).
1. Le polynôme minimal de uest LE polynôme unitaire de degré minimal
parmi tous les polynômes annulateurs de u.
2. Pour tout P∈K[X],Pannule u⇐⇒ µudivise P.
3. µuest degré >1, et ce degré est 1si et seulement si uest une homothétie.
EXEMPLES :
1. Si uest une projection autre que OL(E)et IdE, alors µu(X) = X2−X.
2. Si d∈L(E)est nilpotent d’indice k, alors µd(X) = Xk.
Jetons un oeil à l’image de Φu:
Propriétés 2.7 (de Im Φu)
K[u] = {P(u)où P∈K[X]}=Vect (uk, k ∈N).
Notons d∈N∗le degré de µu.K[u]est une algèbre de dimension d, dont
IdE, u, . . . , ud−1est une base.
Enfin, notons l’existence d’un polynôme annulateur bien singulier.
Théorème 2.8 (Cayley-Hamilton)
Soit uun endomorphisme de E. La polynôme caractéristique de uest un po-
lynôme annulateur de u. Ainsi, µudivise χuet µuest de degré 6n.
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3DEK[u]AUX QUESTIONS SPECTRALES
Proposition 3.1 (Polynôme annulateur et spectre de u)
Supposons que Pest un polynôme annulateur de u:P(u) = OL(E).
1. Si λest une valeur propre de u alors P(λ)=0.
2. Si Pest un polynôme annulateur de u alors les valeurs propres de u sont
à rechercher parmi les racines de P.
3. Les valeurs propres de usont exactement les racines de µu.
Lemme 1 (théorème de décomposition des noyaux)
Soient P1, . . . , Pr∈K[X]des polynômes premiers entre eux deux à deux.
Alors
ker P1P2. . . Pr(u) = r ⊕
k=1 ker Pk(u).
En particulier, si de plus P(X) = P1(X)P2(X). . . Pr(X)annule u, alors
r
⊕
k=1 ker Pk(u) = E.
Théorème 3.2 (Critère pour qu’un endomorphisme soit diagonalisable)
Soit uun endomorphisme de E. On a l’équivalence entre les prédicats sui-
vants :
1. uest diagonalisable,
2. Il existe un polynôme Pscindé et à racines simples qui annule u.
3. µuest scindé à racines simples.
Dans ce cas, si λ1, . . . , λp∈Ksont les valeurs propres deux à deux distinctes
de u, on a
µu(X) =
p
Y
i=1
(X−λi).
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Corollaire 3.3 (Endomorphisme diagonalisable et sous-espace vectoriel stable)
Soit uun endomorphisme de Eet Fun sous-espace vectoriel stable par u.
Notons uF=u:x∈F7−→ u(x)∈Fl’endomorphisme induit par usur F.
Alors
(i) Le polynome minimal de uFdivise celui de u.
(ii) Si uest diagonalisable alors uFaussi.
Corollaire 3.4 (Diagonalisation simultanée)
Si uet vsont deux endomorphismes de Equi commutent, alors ils diagona-
lisent dans une même base, i.e il existe une base (e1, . . . , en)de Etelle que
pour tout i∈[[1, n]], eiest un vecteur propre de uet de v.
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4ENDOMORPHISME TRIGONALISABLE
Définition 4.1 (Endomorphismes trigonalisable)
Soit uun endomorphisme de E.
uest trigonalisable lorsqu’il existe une base Bde Edans laquelle la matrice
de uest triangulaire.
Théorème 4.2 (Critère assurant qu’un endomorphisme est trigonalisable)
On a équivalence entre les trois assertions suivantes :
1. uest trigonalisable
2. Son polynôme caractéristique est scindé.
3. uannule un polynome scindé.
4. µuest scindé.
Corollaire 4.3
Si u∈L(E)est trigonalisable, il existe une famille C1, . . . , Crde sous-espaces
vectoriels de Etels que
(i) C1⊕ · · · ⊕ Cr=E.
(ii) Chaque Ciest stable par u.
(iii) L’endomorphisme induit par usur Ciest la somme d’un nilpotent et
d’une homothétie
Ainsi, uest la somme d’un endomorphisme nilpotent net d’un endomor-
phisme diagonalisable dtel que d◦n=n◦d.
ANNEXE
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ALES PREUVES À CONNAITRE...
...sont celles de
1. le théorème 1 de décomposition des noyaux, mais seulement dans le cas
r= 2 la preuve de ker P1(u)∩ker P2(u) = {0E}, pour s’assurer que les
étudiants n’écrivent pas d’horreurs du type Pu(x), ...
2. la propriété 2.7
3. la proposition 3.1
4. le théorème 3.2
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