reduction-des-endomorphismes

Lycée Technique de Taza
FILIÈRE MP
CPGE de Taza
0
Feuille d’exercices n= 4
Réduction des endomorphismes
???

 3

Exercice 1. — Soit A =  −4

4
1
−1
8

0 
0 

−2
1. Vérifier que A n’est pas diagonalisable.
2. Déterminer Ker(A − I)2 .

 a

3. Montrer que A est semblable à une matrice de la forme  0

0
0
b
0
0
c
b



.

4. Calculer An pour n entier naturel donné.
Exercice 2. — Soient n ∈ N∗ , A ∈ GLn (K) et PA (X) le polynôme caractéristique de A.
Calculer le polnôme caractéristique de A−1 .
Exercice 3. — Soit A ∈ Mn (R) telle que : A3 − A2 + A − In = 0 . Montrer que detA = 1.
Exercice 4. — Soit A ∈ Mn (K) telle que : rg(A) = 1 . Montrer les équivalences :
A diagonalisable ⇐⇒ A2 , 0 ⇐⇒ tr(A) , 0.
Exercice 5. — Soient E un K−espace vectoreil de dimension 3 , f ∈ L(E) f 2 = f 3 et dim(Ker( f − IdE )) = 1.


 1 0 0 


Montrer qu’il existe une base de E dans laquel la matrice de f est  0 0 a  avec a ∈ {0, 1}.


0 0 0
Exercice 6. — Soient E un K-espace vectoreil de dimension finie et f ∈ L(E) tel que le polynôme minimal
de f est (X − 1)2 (X − 2) .Trouver le le polynôme minimal de f + Id
!
!
2 1
1 1
Exercice 7. — Trouver le polynôme minimal de M =
et de N =
−1 1
0 1

 0 1 1

Exercice 8. — Soit A =  1 0 1

0 0 1

 0 1


 1 0
Exercice 9. — Soit M =  .
 . . . .
 .

1 ...



 ∈ M3 (K) . Calculer le le polynôme minimal de A et en déduire A−1 ,A3 .

...
..
.
..
.
1
1
..
.





 ∈ Mn (R)

1 

0
1. Montrer que M est diagonalisable.
2. Déterminer le le polynôme minimal de M.
3. Calculer Mp , pour p ∈ N.
Exercice 10. — Existe t-elle dans Mn (R) une matrice de polynôme minimal : X2 + 1.
1
M.El KATI
Lycée Technique de Taza






Exercice 11. — M = 




1. Donner :
1 1
1 1
..
. 0
.. ..
. .
1 0
...
0

... 1 

. . . 0 
. 
..
. ..  ∈ Mn (R) avec n ≥ 3.
1


.. ..
.
. 0 

... 0 1
trM , detM et rg(M − In ).
2. Réduire M.
Exercice 12. — Soient n ≥ 2 et A ∈ E = Mn (K) telle que trA , 0.
Soit f l’endomorphisme de E défini par : f (M) = trA.M − trM.A.Montrer que f est diagonalisable.
Exercice 13. — Soient E un C−espace vectoreil de dimension n ≥ 1 et u un endomorphisme nilpotent de
E , soit Pu le polynôme caractéristique de u.
1. Montrer que :
Pu (X) = (−X)n .
2. Soit v ∈ GL(E) tel que v ◦ u = u ◦ v , on pose f = u + v.
(a) Montrer que v et f ont les mêmes valeurs propres.
(b) Montrer que w = v−1 ◦ u est nilpotent.
(c) En déduire que f et v ont le même polynôme caractéristique.
Exercice 14. — Soient n ≥ 1 et A, B ∈ Mn (K) , on se propose de montrer que AB et BA ont le même
polynôme caractéristique.
1. Montrer le résultat lorsque A est inverssible.
2. On suppose A quelconque.
(a) Montrer qu’il existe ε > 0 tel que , l’intervalle ]0, ε[ ne contient aucune valeur propre de A.
(b) En déduire χAB = χBA .
Exercice 15. — Soit (u, v) une famille orthonormalle de deux vecteurs de Rn (muni de sa structure
euclidienne usuel).
Etudier l’endomorphisme f : z −→ z + (u.z).v + (v.z).u (Ind : Travailler dans une base orthonormée).
Exercice 16. — Soit P ∈ C[X] tel que P(0) = 0 et P0 (0) , 0 . Soient E un espace vectoreil sur C et f ∈ L(E)
tel que P( f ) = 0.
1. On suppose que 0 n’est pas valeur propre de f .
Déterminer le noyau et l’image de f .
2. On suppose que 0 valeur propre de f .
Montrer que Ker( f ) = Ker( f 2 ) . Que dire de Ker( f ) et Im( f ).
Exercice 17. — Soient E un K−espace vectoreil de dimension n ≥ 1 et f ∈ L(E).
1. On note que H f = {u ∈ L(E)/ f ◦ u = 0}.
Montrer que H f est un sous-espace vectoreil de L(E) dont on donnera la dimension.
2. Soit F : L(E) −→ L(E) l’application définie par ∀u ∈ L(E) F(u) = f ◦ u.
(a) Montrer que F est un endomorphisme de L(E).
(b) Montrer que f et F ont les mêmes valeurs propres.
(c) Montrer que f est diagonalisable si et seulement si F est diagonalisable.
Exercice 18. — Soit E un K−espace vectoreil de dimension n ≥ 1 , et f un endomorphisme de E admettant
n valeurs propres deux à deux distintes.
1. Montrer qu’il existe e ∈ E telle que (e, f (e), .., f n−1 (e)) est une base de E.
2
M.El KATI
Lycée Technique de Taza
2. Quelle est la matrice de f dans cette base ?







Exercice 19. — On demande les éléments propres de la matrice : M = 





2
−1
0
−1
2
0
..
.
−1
..
.
−1
..
.
0
...
..
.
0
...
..
.
..
.
..
.
−1
0
..
.







0  ∈ Mn (R)


−1 

2
Exercice 20. — Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie n, soient u et v deux endomorphismes de
E tels que uv − vu = u.
1.
2.
3.
4.
Montrer que uk v − vuk = kuk pour tout k ∈ N.
En déduire que u est nilpotent.
Montrer que u et v sont cotrigonalisables (il existe une base de trigonalisation commune).
Montrer que le résultat de la question 3. reste vrai si on suppose seulement que uv − vu ∈ Vect(u, v).
Exercice 21. — E = C0 (R, R). Pour f élément de E , ϕ( f ) est l’application définie par :
Z
1 x
∗
∀x ∈ R , (ϕ( f ))(x) =
f (t)dt et (ϕ( f ))(0) = f (0)
x 0
1. Montrer que ϕ est un endomorphisme de E.
2. Etudier l’injectivité et la surjectivité de ϕ.
3. Déterminer les éléments propres de ϕ.
Exercice 22. — Soient u et v deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. On suppose
que u et v commutent et que v est nilpotent. Montrer que det(u + v) = detu.
Exercice 23. — Décomposition de Dunford. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie non nulle et f
un endomorphisme de E dont le polynôme caractéristique est scindé sur K. Montrer qu’il existe un couple
d’endomorphismes (d, n) et un seul tel que d est diagonalisable, n est nilpotent , nd = dn et f = d + n.
Exercice 24. — Soit A une matrice carree de format n.
Montrer que A est nilpotente si et seulement si ∀k ∈ [1, n] , Tr(Ak ) = 0.
Exercice 25. — Soient A, B ∈ Mn (R) telles que AB − BA = A.
1. Calculer Ak B − BAk , pour tous k ∈ N.
2. En déduire que la matrice A est nilpotente.
Exercice 26. — matrices stochastiques. Soit A = (ai, j )1≤i, j≤n ∈ Mn (R) telle que ∀(i, j) ∈ [1, n]2 , ai, j ∈ [0, 1] et
n
X
∀i ∈ [1, n] ,
ai, j = 1.
j=1
1. Montrer que 1 est valeur propre de A.
2. Soit λ une valeur propre de A.
(a) Montrer que |λ| ≤ 1 .
(b) Montrer qu’il existe un réel ω de [0, 1] tel que |λ − ω| ≤ 1 − ω. Conséquence géométrique ?


 0 b . . . b 


 a 0 . . . ... 


Exercice 27. — Soient a et b deux réels tels que |a| , |b|. soit A =  .

 . . . . . . .

b 
 .


a ... a 0
Montrer que les images dans le plan complexe des valeurs propres de A sont cocycliques.
3
M.El KATI
Lycée Technique de Taza
Exercice 28. — Décomposition de Jordan.
1. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n. Soit v un endomorphisme nilpotent de E, d’indice
de nilpotence r avec 0 < r < n : vr−1 , 0 et vr = 0 . Soit a un vecteur de E tel que vr−1 (a) , 0, soit H un
hyperplan de E ne contenant pas vr−1 (a).
r−1
\
Montrer que E = F ⊕ G, avec F = Vect(a, v(a), , vr−1 (a)) et G =
(vk )−1 (H) .
k=0
2. Soit f un endomorphisme d’un C-espace vectoriel E de dimension finie. Un sous-espace vectoriel F
de E, stable par f , est dit indécomposable s’il n’existe pas de décomposition F = F1 ⊕ F2 avec F1 et
F2 stables par f , F1 , {0} , F2 , {0}.
Soit F un sous-espace stable indécomposable de dimension n, soit g l’endomorphisme de F induit
par f . Montrer qu’il existe une base C de F dans laquelle la matrice de g est de la forme :







MC (g) = Jn (λ) = 





λ
1
0
..
.
..
.
0
λ
..
.
...
?
?
4
...
..
.
1
.. ..
.
.
.. ..
.
.
... 0
0
0
..
.







0 


1 

λ
avec λ ∈ C
?
M.El KATI