reduction-des-endomorphismes

Lycée Technique de Taza
CPGE de Taza FILIÈRE MP
Feuille d’exercices n0
=4
Réduction des endomorphismes
???
Exercice 1. — Soit A=
310
−4−1 0
4 8 −2
1. Vérifier que An’est pas diagonalisable.
2. Déterminer Ker(A−I)2.
3. Montrer que Aest semblable à une matrice de la forme 
a0 0
0b c
0 0 b
.
4. Calculer Anpour nentier naturel donné.
Exercice 2. — Soient n∈N∗,A∈ GLn(K) et PA(X) le polynôme caractéristique de A.
Calculer le polnôme caractéristique de A−1.
Exercice 3. — Soit A∈ Mn(R) telle que : A3−A2+A−In=0 . Montrer que detA =1.
Exercice 4. — Soit A∈ Mn(K) telle que : rg(A)=1 . Montrer les équivalences :
Adiagonalisable ⇐⇒ A2,0⇐⇒ tr(A),0.
Exercice 5. — Soient E un K− espace vectoreil de dimension 3 , f∈ L ( E ) f2 = f3 et dim ( Ker ( f−IdE )) =1.
Montrer qu’il existe une base de Edans laquel la matrice de fest 
100
0 0 a
000
avec a∈ {0,1}.
Exercice 6. — Soient E un K -espace vectoreil de dimension finie et f∈ L ( E ) tel que le polynôme minimal
de fest (X−1)2(X−2) .Trouver le le polynôme minimal de f+Id
Exercice 7. — Trouver le polynôme minimal de M= 2 1
−1 1 !et de N= 1 1 0 1 !
Exercice 8. — Soit A =
011
101
001
∈ M3 ( K ) . Calculer le le polynôme minimal de A et en déduire A−1 , A3 .
Exercice 9. — Soit M=
0 1 . . . 1
1 0 ....
.
.
.
.
.......1
1. . . 1 0
∈ Mn(R)
1. Montrer que Mest diagonalisable.
2. Déterminer le le polynôme minimal de M.
3. Calculer Mp, pour p∈N.
Exercice 10. — Existe t-elle dans Mn(R) une matrice de polynôme minimal : X2+1.
1 M.El KATI

Lycée Technique de Taza
Exercice 11. — M=
1 1 . . . . . . 1
1 1 0 . . . 0
.
.
.0 1 ....
.
.
.
.
..
.
.......0
1 0 . . . 0 1
∈ Mn(R) avec n≥3.
1. Donner : trM ,detM et rg(M−In).
2. Réduire M.
Exercice 12. — Soient n≥2 et A∈E=Mn(K) telle que trA ,0.
Soit fl’endomorphisme de Edéfini par : f(M)=trA.M−trM.A.Montrer que fest diagonalisable.
Exercice 13. —
Soient E un C− espace vectoreil de dimension n≥ 1 et u un endomorphisme nilpotent de
E, soit Pule polynôme caractéristique de u.
1. Montrer que : Pu(X)=(−X)n.
2. Soit v∈ GL(E) tel que v◦u=u◦v, on pose f=u+v.
(a) Montrer que vet font les mêmes valeurs propres.
(b) Montrer que w=v−1◦uest nilpotent.
(c) En déduire que fet vont le même polynôme caractéristique.
Exercice 14. — Soient n≥ 1 et A,B∈ Mn ( K ) , on se propose de montrer que AB et BA ont le même
polynôme caractéristique.
1. Montrer le résultat lorsque Aest inverssible.
2. On suppose Aquelconque.
(a) Montrer qu’il existe ε > 0 tel que , l’intervalle ]0, ε[ ne contient aucune valeur propre de A.
(b) En déduire χAB =χBA.
Exercice 15. — Soit ( u,v ) une famille orthonormalle de deux vecteurs de Rn (muni de sa structure
euclidienne usuel).
Etudier l’endomorphisme f:z−→ z+(u.z).v+(v.z).u(Ind : Travailler dans une base orthonormée).
Exercice 16. — Soit P∈C [ X ] tel que P (0) =0 et P0 (0) , 0 . Soient E un espace vectoreil sur C et f∈ L ( E )
tel que P(f)=0.
1. On suppose que 0 n’est pas valeur propre de f.
Déterminer le noyau et l’image de f.
2. On suppose que 0 valeur propre de f.
Montrer que Ker(f)=Ker(f2) . Que dire de Ker(f) et Im(f).
Exercice 17. — Soient Eun K−espace vectoreil de dimension n≥1 et f∈ L(E).
1. On note que Hf={u∈ L(E)/f◦u=0}.
Montrer que Hfest un sous-espace vectoreil de L(E) dont on donnera la dimension.
2. Soit F:L(E)−→ L(E) l’application définie par ∀u∈ L(E)F(u)=f◦u.
(a) Montrer que Fest un endomorphisme de L(E).
(b) Montrer que fet Font les mêmes valeurs propres.
(c) Montrer que fest diagonalisable si et seulement si Fest diagonalisable.
Exercice 18. — Soit E un K− espace vectoreil de dimension n≥ 1 , et f un endomorphisme de E admettant
nvaleurs propres deux à deux distintes.
1. Montrer qu’il existe e∈Etelle que (e,f(e), .., fn−1(e)) est une base de E.
2 M.El KATI

Lycée Technique de Taza
2. Quelle est la matrice de fdans cette base ?
Exercice 19. — On demande les éléments propres de la matrice : M =
2−1 0 . . . 0
−1 2 −1....
.
.
0−1......0
.
.
..........−1
0. . . 0−1 2
∈ Mn ( R )
Exercice 20. — Soit E un C -espace vectoriel de dimension finie n , soient u et v deux endomorphismes de
Etels que uv −vu =u.
1. Montrer que ukv−vuk=kukpour tout k∈N.
2. En déduire que uest nilpotent.
3. Montrer que uet vsont cotrigonalisables (il existe une base de trigonalisation commune).
4. Montrer que le résultat de la question 3 . reste vrai si on suppose seulement que uv −vu ∈Vect ( u,v ).
Exercice 21. — E=C0(R,R). Pour félément de E,ϕ(f) est l’application définie par :
∀x∈R∗,(ϕ(f))(x)=1
xZx
0
f(t)dt et (ϕ(f))(0) =f(0)
1. Montrer que ϕest un endomorphisme de E.
2. Etudier l’injectivité et la surjectivité de ϕ.
3. Déterminer les éléments propres de ϕ.
Exercice 22. — Soient u et v deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. On suppose
que uet vcommutent et que vest nilpotent. Montrer que det(u+v)=detu.
Exercice 23. — Décomposition de Dunford. Soit E un K -espace vectoriel de dimension finie non nulle et f
un endomorphisme de E dont le polynôme caractéristique est scindé sur K . Montrer qu’il existe un couple
d’endomorphismes (d,n) et un seul tel que dest diagonalisable, nest nilpotent , nd =dn et f=d+n.
Exercice 24. — Soit Aune matrice carree de format n.
Montrer que Aest nilpotente si et seulement si ∀k∈[1,n] , Tr(Ak)=0.
Exercice 25. — Soient A,B∈ Mn(R) telles que AB −BA =A.
1. Calculer AkB−BAk, pour tous k∈N.
2. En déduire que la matrice Aest nilpotente.
Exercice 26. — matrices stochastiques. Soit A =( ai,j )
1≤i,j≤n∈Mn
( R ) telle que ∀ ( i,j ) ∈ [1 ,n ]
2
, ai,j∈ [0 , 1] et
∀i∈[1,n] ,
n
X
j=1
ai,j=1.
1. Montrer que 1 est valeur propre de A.
2. Soit λune valeur propre de A.
(a) Montrer que |λ|≤1 .
(b) Montrer qu’il existe un réel ωde [0, 1] tel que |λ−ω|≤1−ω. Conséquence géométrique?
Exercice 27. — Soient aet bdeux réels tels que |a|,|b|. soit A=
0b. . . b
a0....
.
.
.
.
.......b
a. . . a0
Montrer que les images dans le plan complexe des valeurs propres de Asont cocycliques.
3 M.El KATI

Lycée Technique de Taza
Exercice 28. — Décomposition de Jordan.
1. Soit E un K -espace vectoriel de dimension finie n . Soit v un endomorphisme nilpotent de E , d’indice
de nilpotence r avec 0 <r<n : vr−1, 0 et vr =0 . Soit a un vecteur de E tel que vr−1 ( a ) , 0, soit H un
hyperplan de Ene contenant pas vr−1(a).
Montrer que E=F⊕G, avec F=Vect(a,v(a), , vr−1(a)) et G=
r−1
\
k=0
(vk)−1(H) .
2. Soit f un endomorphisme d’un C -espace vectoriel E de dimension finie. Un sous-espace vectoriel F
de E , stable par f , est dit indécomposable s’il n’existe pas de décomposition F = F1⊕F2 avec F1 et
F2stables par f,F1,{0},F2,{0}.
Soit F un sous-espace stable indécomposable de dimension n , soit g l’endomorphisme de F induit
par f. Montrer qu’il existe une base Cde Fdans laquelle la matrice de gest de la forme :
MC(g)=Jn(λ)=
λ1 0 . . . 0
0λ1....
.
.
.
.
..........0
.
.
.......1
0. . . . . . 0λ
avec λ∈C
? ?
?
4 M.El KATI